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1、2019全国卷(理科数学 ) 1.A1,E32019 全国卷 已知集合 A=-1,0,1,2,B=x|x 2 1,则 A B= () A.-1,0,1B.0,1 C.-1,1D. 0,1,2 1.A解析 因为 A=-1,0,1,2,B=x|x 2 1=x|-1 x 1,所以 A B=-1,0,1. 2.L42019 全国卷 若 z(1+i)=2i,则 z=() A.-1-i B.-1+I C.1-i D.1+i 2.D解析 z= 2i 1+i = 2i(1 -i) (1+i)(1-i) =1+i. 3.I22019 全国卷 西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说 四
2、大名著 .某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100 位学生 ,其中阅读过西游记或红楼梦 的学生共有 90 位,阅读过红楼梦的学生共有80 位,阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位, 则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为() A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 3.C解析 设只阅读过西游记的学生有x 位,则 x+60+(80-60)=90,解得 x=10,所以阅读过西游记的学生 人数为 10+60=70,故该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 70 100=0.7. 4.J32019 全国卷 (1+2x2)(1+x)4的展
3、开式中 x 3的系数为 () A.12 B.16 C.20 D.24 4.A解析 因为 (1+2x 2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x )4,所以展开式中 x3的系数为 C4 3 +2C 4 1 =12. 5.D3 2019 全国卷 已知各项均为正数的等比数列 a n的前 4 项和为 15,且 a5=3a3+4a1 ,则 a 3=() A.16 B.8 C.4 D.2 5.C解析 设数列 an的公比为 q,由题知 a10,q0 且 q 1,则 ? 1(1 -? 4) 1-? = 15, ? 1? 4 = 3? 1? 2 + 4? 1, 解得 ?1= 1, ?= 2, 所以 a3=a
4、1q2=4. 6.B12 2019 全国卷 已知曲线 y=aex+x ln x 在点 (1,ae)处的切线方程为y=2x+b ,则() A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b= 1 D.a=e-1,b=-1 6.D解析 令 y=f(x)=aex+xln x,则 f(x)=aex+ln x+1,由题意知 ?(1)= 2 + ?, ?(1)= 2, 即 ?e = 2 + ?, ?e + 1 = 2, 解得 ?= e-1, ? = -1. 7.B82019 全国卷 函数 y= 2? 3 2 ? +2 -?在-6,6的图像大致为() AB CD 图 1-1 7.B解析 令 y=f
5、(x)= 2? 3 2 ? +2 - ?,易知 f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数 ,排除选项 C;f(4)= 243 24+2 -4= 128 16+ 1 16 0,排除选项 D;f(6)= 26 3 26+2 -6= 432 64+ 1 64 6.75,排除选项 A.故选 B. 8.G52019 全国卷 如图 1-2,点 N 为正方形 ABCD 的中心 , ECD 为正三角形 ,平面 ECD 平面 ABCD ,M 是线段 ED 的中点 ,则() 图 1-2 A.BM=EN ,且直线 BM ,EN 是相交直线 B.BM EN,且直线 BM ,EN 是相交直线 C.BM=EN ,且
6、直线 BM,EN 是异面直线 D.BM EN,且直线 BM,EN 是异面直线 8.B解析 连接 BD,则 N 为 BD 的中点 ,连接 MN ,CM,BE.如图所示 ,在 EDB 中,M,N 分别是 ED,BD 的中点 ,所以 MN BE,MN= 1 2BE,则四边形 MNBE 是梯形 ,BM,EN 是梯形的两条对角线 ,所以直线 BM,EN 相交 .设正方形 ABCD 的 边长为 a,由题意可得 BCM 为直角三角形 ,则 BM= ? 2 + ? 2 = 7 2 a. 记 CD 的中点为 H,连接 EH,HN,则 EHN 为直角三角形 ,则 EN= ? 2 + ? 2=a,故 BM EN.综
7、上所述 ,BM EN,且直 线 BM,EN 是相交直线 . 9.D3 , L12019 全国卷 执行图 1-3 的程序框图 ,如果输入的 为 0.01,则输出 s 的值等于() 图 1-3 A.2- 1 24 B.2- 1 25 C.2- 1 26 D.2- 1 27 9.C解析 x=1,s=0,s=0+1=1,x= 1 2, 1 20.01;s=1+ 1 2,x= 1 4, 1 40.01;s=1+ 1 2+ 1 4,x= 1 8, 1 80.01;s=1+ 1 2+ 1 4+ 1 8,x= 1 16, 1 160.01;s=1+ 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16,x= 1 32, 1
8、 320.01;s=1+ 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32 ,x= 1 64, 1 640.01;s=1+ 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64 ,x= 1 128, 1 128f 2- 3 2 f2 -2 3 B.f(log3 1 4)f 2- 2 3 f2 -3 2 C.f2- 3 2 f2 -2 3 f(log3 1 4) D.f2 -2 3 f2 -3 2 f(log 3 1 4) 11.C解析 因为 f(x)为偶函数且在 (0,+ )单调递减 ,log341,0f2- 2 3 f(2 0)=f(1),所以 f 2 -3 2 f2 -2 3
9、f(log 3 1 4). 12.C42019 全国卷 设函数 f(x)=sin(? + 5)(0),已知 f(x)在0,2 有且仅有 5 个零点 ,下述四个结论 :f (x)在 (0,2 )有且仅有 3 个极大值点 ;f (x)在(0,2 )有且仅有 2 个极小值点 ;f (x)在(0, 10)单调递增 ; 的取值范围是 12 5 , 29 10).其中所有正确结论的编号是 () A. B. C. D. 12.D解析 由 x 0,2 ,得 x+ 5 5 ,2? + 5.设 2 + 5=t,由题意及函数 y=sin x 的图像知 ,t 5 ,6 ),则 12 5 , 29 10),故 f(x)
10、在(0,2 )有且仅有 3 个极大值点 ,而 f(x)在(0,2 )可能有 2 个极小值点 ,也可能有 3 个极小值点 ,故正 确,不正确 ,正确; 当 x (0, 10) 时, x+ 5 ( 5 , ? 10 + 5) ,因为 12 5 , 29 10) ,所以 ? 10 + 5=. 13. 2 3 解析 因为|c|=(2? - 5?) 2=4?2 + 5? 2= 4 + 5=3,a c=a (2a- 5b)=2a2- 5a b=2,所以 cos = ? ? |?|?| = 2 3. 14.D22019 全国卷 记 Sn为等差数列 an的前 n 项和.若 a1 0,a2=3a1,则 ? 10
11、 ? 5 =. 14.4解析 设数列 an的公差为 d,由题意得 a1+d= 3a1,即 d=2a1,则 S5=5a1+ 54 2 d=25a1 ,S 10=10a1+ 109 2 d=100a1, 所以 ? 10 ?5 = 100?1 25?1 =4. 15.H52019 全国卷 设 F1 ,F 2为椭圆 C: ? 2 36+ ? 2 20=1 的两个焦点 ,M 为 C 上一点且在第一象限 .若 MF1F2为等腰三角 形,则 M 的坐标为. 15.(3, 15)解析 不妨设 F1为椭圆 C 的左焦点 ,由题意知 |MF1|=|F1F2|=8,则|MF2|=12-|MF1|=4.过 M 作 M
12、N 垂直 于 x 轴,垂足为 N,则在 Rt MF1N 和 Rt MF2N 中,分别有 |MN| 2=|MF 1|2-|NF1|2=64-|NF1|2,|MN|2=|MF2|2-|NF2|2=16- |NF2| 2,故|NF 1|2-|NF2|2=48,又|NF1|+|NF2|=|F1F2|=8,所以 |NF1|=7,|NF2|=1,所以 N 的坐标为 (3,0),即点 M 的横坐标为 3,又 M 为 C 上一点且在第一象限 ,可得 yM= 15,故 M 的坐标为 (3, 15). 16.G12019 全国卷 学生到工厂劳动实践 ,利用 3D 打印技术制作模型 ,如图 1-4,该模型为长方体A
13、BCD - A1B1C1D1挖去四棱锥 O -EFGH 后所得的几何体 ,其中 O 为长方体的中心 ,E,F,G,H 分别为所在棱的中点,AB=BC= 6 cm,AA1=4 cm .3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗 ,制作该模型所需原料的质量为 g. 图 1-4 16.118.8解析 由题易知 ,四边形 EFGH 是菱形 ,且 S四边形 EFGH= 1 2 6 4=12(cm 2),四棱锥 O -EFGH 的高为 3 cm, 其体积为 1 3 12 3=12(cm 3).又长方体 ABCD -A1B1C1D1 的体积为 6 6 4=144(cm3),故长方体 ABC
14、D -A1B1C1D1挖 去四棱锥 O -EFGH 后所得几何体的体积为144-12=132(cm3),132 0.9=118.8(g),所以 ,制作该模型所需原料的质 量为 118.8 g. 17.I22019 全国卷 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验 :将 200 只小鼠随机分成A,B 两 组,每组 100 只,其中 A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓 度相同 .经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图1-5 所 示的直方图 : 图 1-5 记 C 为事件 :“乙离子残留
15、在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为 0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b 的值; (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 17.解:(1)由已知得 0.70=a+0.20+0.15,故 a=0.35. b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2 0.15+3 0.20+4 0.30+5 0.20+6 0.10+7 0.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3 0.05+4 0.10+5 0.15+6 0.35+7 0.20+8 0.15=6.
16、00. 18.C82019 全国卷 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 asin ?+? 2 =bsin A. (1)求 B; (2)若 ABC 为锐角三角形 ,且 c= 1,求 ABC 面积的取值范围 . 18.解:(1)由题设及正弦定理得sin Asin ?+? 2 =sin Bsin A. 因为 sin A 0,所以 sin ?+? 2 =sin B. 由 A+B+C= 180 ,可得 sin ?+? 2 =cos ? 2, 故 cos ? 2=2sin ? 2cos ? 2. 因为 cos ? 2 0,故 sin ? 2= 1 2,因此 B=60 . (2)由题
17、设及 (1)知 ABC 的面积 SABC= 3 4 a. 由正弦定理得 a= ?sin? sin?= sin(120 -?) sin? = 3 2tan? + 1 2. 由于 ABC 为锐角三角形 ,故 0 = ? ? |?|?| = 3 2 . 因此二面角 B -CG -A 的大小为 30 . 20.B3,B12 2019 全国卷 已知函数 f(x)=2x3-ax 2+b. (1)讨论 f(x)的单调性 . (2)是否存在 a,b,使得 f(x)在区间 0,1的最小值为 -1 且最大值为 1?若存在 ,求出 a,b 的所有值 ;若不存在 ,说明理由 . 20.解:(1)f(x)=6x2-2a
18、x=2x(3x-a). 令 f(x)=0,得 x=0 或 x= ? 3. 若 a0,则当 x (- ,0) ( ? 3 , + ) 时,f(x)0,当 x (0, ? 3)时,f(x)0,当 x ( ? 3 ,0)时 ,f(x)0,故 f(x)在(- , ? 3) ,(0,+ )单调递增 ,在( ? 3 ,0) 单调递减 . (2)满足题设条件的a,b 存在. (i)当 a 0 时,由(1)知,f(x)在0,1单调递增 ,所以 f(x)在区间 0,1的最小值为 f(0)=b,最大值为 f(1)=2-a+b.此时 a,b 满 足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b= 1,即 a=0,b=-1.
19、(ii)当 a 3 时,由(1)知,f(x)在0,1单调递减 ,所以 f(x)在区间 0,1的最大值为 f(0)=b,最小值为 f(1)=2-a+b.此时 a,b 满 足题设条件当且仅当2-a+b=- 1,b=1,即 a=4,b=1. (iii)当 0a3 时,由(1)知,f(x)在区间 0,1的最小值为 f( ? 3) =- ? 3 27+b,最大值为 b 或 2-a+b. 若- ? 3 27+b=-1,b=1,则 a=3 2 3 ,与 0a 3 矛盾 . 若- a3 27+b=-1,2-a+b= 1,则 a=3 3或 a=-3 3或 a=0,与 0a3 矛盾 . 综上,当且仅当 a=0,b
20、=-1 或 a=4,b=1 时,f(x)在区间 0,1的最小值为 -1 且最大值为 1. 21.H4,H72019 全国卷 已知曲线 C:y= ? 2 2,D 为直线 y=- 1 2上的动点 ,过 D 作 C 的两条切线 ,切点分别为 A,B. (1)证明:直线 AB 过定点 ; (2)若以 E(0, 5 2)为圆心的圆与直线 AB 相切 ,且切点为线段 AB 的中点 ,求四边形 ADBE 的面积 . 21.解:(1)证明 :设 D(?, - 1 2),A(x1,y1),则? 1 2=2y1. 由于 y=x,所以切线 DA 的斜率为 x1,故 ? 1+ 1 2 ? 1-? =x1, 整理得 2
21、tx1-2y1+1=0. 设 B(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0. 故直线 AB 的方程为 2tx-2y+1=0. 所以直线 AB 过定点 (0, 1 2) . (2)由(1)得直线 AB 的方程为 y=tx+ 1 2.由 ?= ?+ 1 2 , ?= ? 2 2 可得 x2-2tx-1=0. 于是 x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1, |AB|= 1+ ? 2|x1-x2|=1+ ?2 (? 1+ ?2) 2 -4? 1?2=2(t2+1). 设 d1,d2分别为点 D,E 到直线 AB 的距离 ,则 d1= ? 2 + 1,d2
22、= 2 ? 2+1 . 因此,四边形 ADBE 的面积 S= 1 2|AB|(d 1+d2)=(t2+3)? 2 + 1. 设 M 为线段 AB 的中点 ,则 M(?,? 2 + 1 2) . 由于? ? ? ? ,而? ? =(t,t2-2),? ? 与向量 (1,t)平行,所以 t+(t2-2)t=0,解得 t=0 或 t= 1. 当 t=0 时,S=3;当 t= 1 时,S=4 2. 因此,四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2. 22.N32019 全国卷 选修 4-4:坐标系与参数方程 如图 1-7,在极坐标系 Ox 中,A(2,0),B( 2, 4) ,C( 2, 3 4 ),
23、D(2, ),弧? ? ,? ? ,? ? 所在圆的圆心分别是(1,0),(1, 2 ),(1, ),曲 线 M1是弧? ? ,曲线 M2是弧 ? ? ,曲线 M3是弧 ? ? . 图 1-7 (1)分别写出 M1,M2,M3的极坐标方程 ; (2)曲线 M 由 M1,M2,M3构成 ,若点 P 在 M 上,且|OP|= 3,求 P 的极坐标 . 22.解:(1)由题设可得 ,弧? ? ,? ? ,? ? 所在圆的极坐标方程分别为=2cos ,=2sin ,=-2cos . 所以 M1的极坐标方程为=2cos (0 ? 4),M 2的极坐标方程为 =2sin ( 4 ? 3 4 ),M3的极坐
24、标方程为=- 2cos ( 3 4 ?) . (2)设 P( , ),由题设及 (1)知 若 0 4,则 2cos = 3,解得 = 6; 若 4 3 4 ,则 2sin = 3,解得 = 3或 = 2 3 ; 若 3 4 ,则-2cos = 3,解得 = 5 6 . 综上,P 的极坐标为 ( 3, 6) 或( 3, 3 )或(3, 2 3 ) 或(3, 5 6 ). 23.N42019 全国卷 选修 4-5:不等式选讲 设 x,y,z R,且 x+y+z= 1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值 ; (2)若(x-2)2+(y-1) 2+(z-a)2 1 3成立 ,证
25、明 :a -3 或 a -1. 23.解:(1)由于 (x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1) 2+(z+1)2+2(x-1)(y+ 1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1) 3(x- 1)2+(y+1)2+(z+1)2, 故由已知得 (x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 4 3,当且仅当 x= 5 3,y=- 1 3,z=- 1 3时等号成立 . 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为 4 3. (2)证明:由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2) 3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2, 故由已知得 (x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 (2+?)2 3 ,当且仅当 x= 4-? 3 ,y= 1-? 3 ,z= 2? -2 3 时等号成立 . 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为 (2+?) 2 3 . 由题设知 (2+?)2 3 1 3,解得 a -3 或 a -1.