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1、武威市凉州区2014 届高三下学期第二次诊断考试数学（理）试题 2. 已知复数 13 3 i z i ，z是 z 的共轭复数，则z的模等于（） A.1 B.2 C.4 D. 1 4 3已知等比数列 n a的公比为正数，且1,4 2 2 475 aaaa，则 1 a=( ) A 2 1 B 2 2 C2 D 2 4. 下列判断错误的是（） A “ 22 bmam”是“ a b ”的充分不必要条件 B命题“01, 23 xxRx”的否定是“01, 23 xxRx” C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D若qp为假命题，则p，q 均为假命题 5. 在一次实验中，测得
2、, x y的四组值分别是1,2A，2,3B， 3,4C，4,5D，则y与x之间的回归直线方程为（ ） 输入 开始 p 1,0kS 输出 k 开始 Sp 1 2 k SS 1kk 否 是 A1yxB2yx C21yxD1yx 6. 执行如图所示的程序框图，若输出的5k，则输入的整数p的 最大值为 ( ) A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 7已知xlog23log23，ylog0.5，z0.9 1.1，则 ( ) Axyz Bzyx Cyzx Dyxz 8已知双曲线)0, 01 2 2 2 2 b（a b y a x 的左,右焦点是 F1，F2，设 P是双曲线右支上一点， 21F F
3、在 PF1 上的投影的大小恰好为PF1且它们的夹角为 6 ， 则双曲线的离心率 e为( ) A 21 2 B 31 2 C 31D21 9. 设实数yx,满足约束条件： 0,0 02 063 yx yx yx ，若目标函数 (0,0)zaxby ab 的 最大值为 12，则 ba 23 的最小值为（） A. 4 B. 2 C. 2 2 D.22 10 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体 的外接球的表面积为( ) A 8 3 B 16 3 C 48 3 D 64 3 11. 若 52345 012345 (23)xaa xa xa xa xa x，则 12345 2345
4、aaaaa等于 ( ) A.8 B. -1 C. 10 D.1 12 已知定义在 R上的函数f(x) 满足f(1) 1， 且f(x) 的导数f(x) 在 R上恒有f(x) 1 2，则不等式 f(x 2) x 2 2 1 2的解集为 ( ) A(1，) B(， 1) C(1，1) D( ， 1)(1， ) 第卷非选择题（共 90 分） 二、填空题（本题共 4个小题，每小题 5分，共 20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位 置） 13. 已知等差数列 an的公差为正数，且a3a7 12，a4a64，则S20为 _ 14若任取,0,1x y，则点( , )P x y满足 2 yx的概率为 _。
5、15. 如图，正方形ABCD的边长为 1，延长BA至E，使1AE， 连接EC、ED，则CED2cos_ 16对大于或等于2 的正整数的幂运算有如下分解方式： 312 2 5313 2 75314 2 , 532 3 11973 3 191715134 3 , 根据上述分解规律，若 11531 2 m， 3 p分解中最小正整数是21，则pm_ 三、解答题：本题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分12 分） 已知向量 2 1 cos31sinx，b），x，（a, 函数2abaxf （1）求函数xf的最小正周期T; （2）已知cba,分别为ABC内角 A，
6、B，C的对边 , 其中为锐角 , 4,32ca, 且1Af, 求，b和ABC的面积 18. （本小题满分12 分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标 值大于或等于102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和 B 配方）做试 验，各生产了100 件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频率分布表 指标值分组90，94) 94，98) 98， 102) 102，106) 106，110 频数8 20 42 22 8 B配方的频率分布表 指标值分组90，94) 94，98) 98，102) 102， 106) 106
7、， 110 频数4 12 42 32 10 （）分别估计用A配方， B配方生产的产品的优质品率； （）已知用 B配方生成的一件产品的利润y( 单位：元) 与其质量指标值t 的关系式为 1024 102942 94,2 ， t， t y从用 B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元） ， 求 X的分布列及数学期望. （以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的 质量指标值落入相应组的概率） 19. （本小题满分12 分） 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，2,2 11BCBCCC , ABC是以 BC为底边的等 腰三角形，平面ABC 平面 BCC1B1,E 、F 分别为棱
8、AB 、CC1的中点。 （1）求证： EF平面 A1BC1 （2）若 AC CC1，且 EF与平面 ACC1A1所成的角的正 弦值为 3 2 ，求二面角 C-AA1-B 的余弦值。 20. （本小题满分12 分） 已知椭圆 C ： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率 2 2 e，左、右焦点分别为 21 FF 、，抛 物 线xy24 2 的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点 (1) 求椭圆 C的方程； (2) 已知圆 M ： 3 2 22 yx的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以 AB为直径的圆是 否 经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由， 21. （本小题满分1
9、2 分） 已知函数 2 ( )ln(1)1f xpxpx . （1）讨论函数)(xf的单调性； （2）当1p时，( )f xkx恒成立，求实数k的取值范围； （3）证明： * 111 ln(1)1() 23 nnN n . 请考生在第22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22 （本小题满分10 分） 选修 4 - 1 ：集合证明选讲 如图，AB为O的直径，过点B作O的切线BC，OC交O于 点E，AE的延长线交BC于点D。 （1）求证：CE 2 = CDCB； （2）若AB = BC = 2 ，求CE和CD的长
10、。 23 （本小题满分10 分） 选修 4 - 4 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，已知点 P(0,3)，曲线C的参数方程为 5cos 15sin x y （ 为 参数）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 3 2cos() 6 。 （1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由； （2）设直线l与曲线C的两个交点为A、B，求| |PAPB的值。 24 （本小题满分10 分） 选修 4 - 5 ：不等式选讲设函数( )| 27 |1f xx。 （1）求不等式( )|1|f xx的解集； （2）若存在x使不等式( )f xax成立，求实数a的取值范围。 因为
11、，所以，,8 分 则，所以，即 则,10 分 从而,12 分 18. （本小题满分 12 分） 解: （）由实验结果知，用A 配方生产的产品中优质的平率为 228 =0.3 100 ，所 以用 A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3 。 由实验结果知， 用 B配方生产的产品中优质品的频率为 3210 0.42 100 ，所以 用 B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42 （ ） 用B 配 方 生 产 的100 件 产 品 中 ， 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间 90,94 , 94,102 , 102,110 的频率分别为 0.04 ，,0.54,0.42，因此 P(X=-2)
12、=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即 X的分布列为 X的数学期望值 EX=-20.04+20.54+40.42=2.68 19. （本小题满分 12 分） 解:（1）2,2 11 BCBCCC，BCC1是以BC为斜边的等腰直角三角形 , 取 BC的 中 点O， 连 接OCAO 1 , 设bOA， 则 11,BCOCBCAO 面ABC面 11B BCC，且面ABC面BCBBCC 11 ， AO面 11BBCC ，OC1面ABC 以O为坐标原点，以OC、 1 OC、OA为zyx,轴建立 空间直角坐标系 )0,0, 1(),1 , 1(),0 ,0(),0, 1, 0
13、(),0,0, 1( 11 BbAbACC )0 , 2 1 , 2 1 (), 2 , 0, 2 1 (F b E) 2 , 2 1 , 1(),0, 1(),0, 1 , 1( 111 b EFbCABC设平面 11BC A的一个法 向量为) 1 ,(bbn0 22 bb bEFn EFn，又EF面 11BC A/EF面 11BC A 4分 （2）设平面 11A ACC的一个法向量为),( 111 1zyxn 又),0, 1(),0 ,1 , 1( 1 bACCC 则 0 0 111 11 nCA nCC ， 0 0 11 11 bzx yx ，令1 1 z，则) 1 ,( 1bbn 又)
14、 2 , 2 1 , 1( b EF EFn EFn EFn 1 1, cos= 3 2 44 5 12 2 2 b b b 6分 X P x y z O 解得, 1b或 2 10 b， AC CC 1， b=1 8 分 所以)1 , 1 ,1 ( 1n同理可求得平面 BAA1的一个法向量)1, 1 , 1( 2n | ,cos 21 21 21 nn nn nn= 3 1 11分 来 又二面角BAAC 1 为锐二面角，故余弦值为 3 1 12分 20. （本小题满分 12 分） 解：(1) 因为椭圆 C的离心率 2 2 e，所以 2 2 a c ，即ca2 因为抛物线xy24 2 的焦点)0
15、 ,2(F恰好是该椭圆的一个顶点， 所以2a，所以1c，1b所以椭圆 C的方程为1 2 2 2 y x (2)(i)当直线 l的斜率不存在时 因为直线 l 与圆 M相切，故其中的一条切线方程为 3 6 x 由 , 1 2 , 3 6 2 2 y x x 不妨设) 3 6 , 3 6 (A，) 3 6 , 3 6 (B， 则以 AB为直径的圆的方程为 3 2 ) 3 6 ( 22 yx (ii)当直线 l的斜率为零时 因为直线 l 与圆 M相切，所以其中的一条切线方程为 3 6 y 由 , 1 2 , 3 6 2 2 y x y 不妨设) 3 6 , 3 6 (A，) 3 6 , 3 6 (B，
16、 则以 AB为直径的圆的方程为 3 2 ) 3 6 ( 22 yx 显然以上两圆都经过点O(0，0) (iii)当直线 l 的斜率存在且不为零时 设直线 l 的方程为mkxy 由 , 1 2 , 2 2 y x mkxy 消去y，得0224) 12( 222 mkmxxk， 所以设),( 11 yxA，),( 22 yxB，则 12 4 2 21 k km xx， 12 22 2 2 21 k m xx 所以)( 2121 mkxmkxyy 12 2 )( 2 22 2 2121 2 k km mxxkmxxk 所以 2121 yyxxOBOA 12 223 2 22 k km 因为直线 l
17、和圆 M相切，所以圆心到直线l 的距离 3 6 1 | 2 k m d， 整理，得)1 ( 3 2 22 km， 将代入，得0OBOA，显然以 AB为直径的圆经过定点O(0，0) 综上可知，以 AB为直径的圆过定点 (0，0) 21. （本小题满分 12 分） 解： （1）( )f x的定义域为（ 0，+） ， x pxp xp x p xf 2 12 12 当1p时，( )fx0，故( )f x在（0，+）单调递增； 当0p时，( )fx0，故( )f x在（0，+）单调递减； 当 0p1 时，令( )fx=0，解得 12 p p x. 则当 12 ,0 p p x时，( )fx0；, 12
18、 p p x时，( )fx0. 故( )f x在 12 ,0 p p 单调递增，在 , 12 p p 单调递减 （2）因为0x，所以 当1p =时，kxxf)(恒成立 x x kkxx ln1 ln1 令 x x xh ln1 )(，则 max )(xhk, 因为 2 ln )( x x xh，由0)( xh得1x， 且当)1 ,0(x时，0)( xh；当),1 (x时，0)( xh. 所以)(xh在)1 ,0(上递增，在), 1(上递减 . 所以1) 1()( max hxh，故1k （3）由（ 2）知当1k时，有xxf)(，当1x时，xxf)(即1lnxx， 令 n n x 1 ，则 nn
19、 n11 ln ，即 n nn 1 ln) 1ln( 所以 1 1 1 2 ln， 2 1 2 3 ln，, ， nn n11 ln ， 相加得 nn n1 2 1 1 1 ln 2 3 ln 1 2 ln 而)1ln( 1 2 3 1 2 ln 1 ln 2 3 ln 1 2 lnn n n n n 所以 n n 1 3 1 2 1 1)1ln(，)( * Nn 请考生在第22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 答时 用 2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 ()证明：连接 BE. BC为O 的切线
20、ABC 90 AB为O的直径AEB 90 ,2分 DBE OBE 90, AEO OEB 90 OB OE,OBE OEBDBE AEO ,4 分 AEO CED CED CBE, C C CED CBE ， CECD CBCE CE 2 CD CB ,6分 ()OB 1,BC2 ，OC 5 ， CE OC OE 5 1 ,8 分 由()CE 2 CD?CB 得(51) 2 2CD ，CD 35,10分 23. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 解：()直线: 2cos()3 6 l，即3 cossin3， 直线 l 的直角坐标方程为33xy， 点(0,3)P在直线 l 上
21、. ,5 分 ()直线 l 的参数方程为 ty tx 2 3 3 , 2 1 （t 为参数），曲线C 的直角坐标方程为 22 1 515 xy 将直线 l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程， 有 22213 3()( 3)15,280 22 tttt，036，设方程的两根为 12 ,t t ， 121 2 88PAPBttt t,10 分 24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 解：()原不等式等价于1172xx 当1x时，)1(1)72(xx ，解得 xx7不存在； 当 2 7 1x时，)1(1)72(xx ，解得 2 7 33xx ； 当 2 7 x时，)1(1)72(x
22、x ， 解得5 2 7 5xx. 综上，不等式的解集为5, 3,5 分 () 方法一：由函数)(xfy与函数axy的图象可知， 当且仅当2 7 2 aa或时，函数)(xfy与函数axy的图象有交点， 故存在 x使不等式( )f xax成立时，a的取值范围是), 7 2 )2,(,10 分 方法二：( )f xax即axx172 ， （）当 2 7 x，能成立06)2(xa， 若02a ，则 066) 2( 2 7 6)2(axa ， 2a满足条件； 若02a ，则 6)2( 2 7 6)2(axa, 由06) 2( 2 7 a解得：2 7 2 a . 7 2 a,7 分 （）当 2 7 x时，能成立08)2(xa， 若02a，则在 2 8 a x时就有08)2(xa ， 2a满足条件； 若02a ，则 088)2(xa ， 2a不满足条件；