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1、漳州一中 2013-2014 学年第二学期期末考 高二年数学（理科）试卷 考试时间： 120 分钟满分： 150 分 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 点M的直角坐标(3,1)化为极坐标是 A) 6 ,2( B) 6 5 ,2( C) 6 7 ,2( D) 6 ,2( 2已知随机变量服从正态分布(1,4)N，若(2)Pa，则(01)P A.a B.1a C.21a D. 1 2 a 3. 不等式 211x 的解集为 A. 2,0 B.1,0C. , 10,D. , 20, 4. 下列命题是真命题的是
2、A. 若acbc，则ba B. 若dcba,，则bdac C. 若ba，则 ba 11 D. 若dbcadc,，则ba 5. 某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如下表： 零件数x（个）10 20 30 加工时间y（分钟） 21 30 39 现已求得上表数据的回归方程ybxa中的b值为0.9 ，则据此回归模型可以预测， 加工 100 个零件所需要的加工时间约为 A84 分钟B94 分钟C102 分钟D112 分钟 6. 如图，用 12 ,K A A三类不同的元件连成一个系统. 当K正常工作且 12 ,A A至少有一个正 常工作时，系统正常工作. 已知 12 ,K A A正常工作的概率依
3、次为 0.9 、0.8 、0.8 ，则系统正常工作的概率为 A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 7参数方程 2 2 2cos (02 ) 1sin x y 表示的曲线是 A.线段 B.射线 C.双曲线的一支 D.圆 8. 下列结论中正确的是 A. 1 lg lg x x 的最小值为2 B. 1 x x 的最小值为2 C. 2 2 4 sin sin x x 的最小值为4 D.当02x时， 1 x x 无最大值 9. 箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新 取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为 A 4 5
4、 1 4 3 5 C CC B 9 4 9 5 3 C 4 1 5 3 D 9 4 9 5 3 1 4 C 10. 已知( ,)P x y是曲线 22 :1 43 xy C上的动点，则2zxy的最大值为 A.4 B. 5 C. 2 D. 3 11. 不等式 11 0 xyxy 对, x yR 恒成立，则的取值范围是 A0,B1 , C4, D, 4 12. 函数 ln sin2 x fxxe的图象的大致形状是 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13. 已知, x yR 且21xy，则xy的最大值为 . 14. 已知圆 22 :1A xy在伸缩变换 2 3 xx
5、yy 的作用下变成曲线C, 则曲线C的方程为 _. 15. 甲、乙两个小组各10 名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示现从这20 名 学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A； “抽出的学生英 DC BA 语口语测试成绩不低于85 分”记为事件B则(|)P A B的值是 16. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数( )x组成的集合： 对于函数 ( )x，存在一个正数M，使得函数( )x的值域包含于区间,M M。例如，当 3 1( ) xx， 2( ) sinxx时， 1( ) x A， 2( ) xB. 现有如下命题： 设函数( )f x的定义域为
6、D，则“( )f xA”的充要条件是“bR，aD， ( )f ab” ； 函数( )fxB的充要条件是( )f x有最大值和最小值； 若函数( )f x，( )g x的定义域相同，且( )f xA，( )g xB，则( )( )f xg xB； 若函数 2 ( )ln(2) 1 x f xax x （2x，aR）有最大值，则( )fxB. 其中的真命题有。 （写出所有真命题的序号） 三解答题（本大题共6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤） 17. ( 本小题满分10 分) 在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是 2cos 22sin x y （为参数）在极坐
7、标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴） 中，直线l的极坐标方程是sin()22 4 . （）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （）点P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最小值 18. ( 本小题满分10 分) 已知函数( )|2|3|f xxx的最小值为m. （）求m； （）当2abcm时，求 222 23abc的最小值 . 19. ( 本小题满分13 分) 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜， 则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3 ，各局 比赛结果
8、相互独立. （）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率； （）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和数学期望. 20 ( 本小题满分13 分) 甲、乙两台机床生产同一型号零件记生产的零件的尺寸为t(cm) ，相关行业质检部门 规定：若(2.9,3.1t，则该零件为优等品；若(2.8,2.9(3.1,3.2t，则该零件为 中等品；其余零件为次品现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50 件，经质 量检测得到下表数据： 尺寸2.7, 2.8(2.8, 2.9(2.9,3.0(3.0,3.1(3.1,3.2(3.2,3.3 甲 零 件 频数 2 3 20 20 4 1 乙零件 频数 3 5 17
9、 13 8 4 （） 设生产每件产品的利润为：优等品3 元，中等品1 元，次品亏本1 元. 若将频率 视为概率， 试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的数学 期望； （） 对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，试根据样本估计总 体的思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明 理由 . 参考公式： 2 2() ()()()() n adbc K ab cdac bd . 参考数据： 2 0 ()P Kk025 015 010 005 0025 0.010 0 k 1323 2072 2706 3841 5024 6.635 21. （本小
10、题共13 分） 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10 万元，每生产千件需另投入2.7 万元， 设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完， 每千件的销售收入为)(xR万元， 且 )10( 3 1000108 )100( 30 1 8.10 )( 2 2 x xx xx xR （）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式； （）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ （注：年利润=年销售收入年总成本） 22 ( 本小题满分15 分) 已知函数 2 ( )(1 2 ) x f xexmxm，其中mR. （）当1m时，求函数( )f x的单调递增区间；
11、 （）证明：对任意mR，函数( )f x的图象在点(0,(0)f处的切线恒过定点； （）是否存在实数m的值，使得函数( )f x在R上存在最大值或最小值？若存在，求 出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 漳州一中 2013-2014 学年第二学期期末考 高二年数学（理科）参考答案 一、选择题： 15. BDCDC 610.BABBA 11.C 12.B 二、填空题： 13. 1 8 14. 22 1 49 xy 15. 5 9 16. 三、解答题： 17.（本小题共 10分） 解：（） 曲线C的普通方程为 22 (2)4xy， 直线l的方程为40xy，, 5分 （）法一、圆心到直线l的距
12、离 24 3 2 2 d， PQ的最小值为 dr322. ,10分 法二、点P到直线l的距离 62 2cos 2cos(22sin)4 4 22 d 当cos1 4 时， min 322d,10分 18. （本小题共10 分） 解 ：（ ）|2|3|(2)(3)|=5xxxx， 当32x时 取 等 号 . 5m,5 分 （）由（ 1）得：25abc， 由柯西不等式得： 22221 (2)(12)(23) 3 abcabc,7 分 22215 23 2 abc，当 31 22 abc，时取 等. ,9 分 222 23abc的最小值为 15 2 .,10 分 19.（本小题共13 分） 解： 用
13、事件 i A表示第i局比赛甲获胜， 则 i A两两相互独立。, 1 分 （） 12123 ()PP A AA A A 12123 () ()() () ()P A P AP A P A P A 2 21 2 2 + 3 33 3 3 = 27 16 , ,4 分 （）的取值分别为 ，5,4,3 ,2,5 分 )2(xP 2 21 15 += 3 33 39 ，)3(xP 1 2 22 1 12 += 3 3 33 3 39 )4(xP 2 1 2 21 2 1 110 += 3 3 3 33 3 3 381 ， )5(xP 2 1 2 11 2 1 28 += 3 3 3 33 3 3 381
14、 ,9 分 所以的分布列为 X2 3 4 5 P5 9 2 9 10 81 8 81 , , 11 分 81 224 81 40 81 40 9 6 9 10 X E 元,13 分 20.（本小题共13 分） 解： （）设甲机床生产一件零件获得的利润为X元，它的分布列为 , ,3 分 则有()E X=30.8+1 0.14+ （-1 ） 0.06=2.48 （元） . 所 以 ，甲机 床生产 一件 零件的 利 润的数学 期 望为2.48 元. ,6 分 （）由表中数据得：甲机床优等品40 个，非优等品10 个；乙机床优等品30 个，非优 等品 20 个. 制作 22 列联表如下 : 甲机床乙机
15、床合计 优等品40 30 70 非优等 品 10 20 30 X 3 1 1 P 0.8 0.14 0.06 合计50 50 100 , ,9 分 假设零件优等与否和所用机床无关 计算 2 K= 2 100(402030 10)100 4.762 5050703021 . ,11 分 考察参考数据并注意到3.8414.7625.024，可知：对于这两台机床生产的零件，在 排除其它因素影响的情况下，根据样本估计总体的思想，约有95% 的把握认为“零件优 等与否和所用机床有 关” ,13 分 21. （本小题共13 分） 解： （）当100x时，10 30 1 .8)7.210()( 3 x xx
16、xxRW 当10x时，x x xxxRW7.2 3 1000 98)7.210()( 107 . 2 3 1000 98 10010 30 1.8 3 xx x x x x W, , 6 分 （）当100x时 ，由;0,)9,0(.90 10 1.8 2 Wxx x W时且当得 当 (9,10),0;xW时 当9x时，W取最大值，且 6 .38109 30 1 91.8 3 max W,9 分 当10x时，98W387 .2 3 1000 2987.2 3 1000 x x x x 当且仅当 max 1000 2.7, 39 xxW x 即时,12 分 综合、知9x时，W取最大值 所以当年产量
17、为9 千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大, 13 分 22.（本小题共15 分） 本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理认证能力、运算求解能力，考查化 归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想 等。 解： （）当1m时， 22 ( )(1),( )(3 ) xx f xexxfxexx, 1 分 令( )0fx得：3x或0x 所以( )fx的单调递增区间为 , 3 , 0,3 分 （） 2 ( )(2)1 x fxe xmxm, 4 分 (0)12,(0)1fm fm 所以函数( )f x的图象在点(0,(0)f处的切线方程为： (12)(1)(
18、0)ymmx 即： (mx,6 分 即：(2)(1)0m xxy，由 20 10 x xy 得： 2 1 x y 所以函数( )f x的图象在点(0,(0)f处的切线恒过定点 2, 1,8 分 （） 2 ( )(2)1 x fxe xmxm，令 2 (2)1txmxm， 22 (2)4(1)8mmmm 当0，即80m时，( )0fx恒成立， 所 以( )f x在R上 单 调 递 增 ， 此 时( )fx在R上 既 无 最 大 值 也 无 最 小 值。,10 分 当0，即8m或0m时， 方程 2 (2)10xmxm有两个相异实根记为 12 ,x x 12 ()xx， 由( )0fx得( )f x
19、的单调递增区间为 12 (,),(,)xx， 由( )0fx得( )f x的单调递减区间为 12 (,)x x,11 分 2 ( )(12) x f xe xmxm， 当x时，由指数函数和二次函数性质知( )f x 所以函数( )f x不存在最大 值. ,12 分 当x时， 2 12 ( ) x xmxm f x e ， 由指数函数和二次函数性质知( )0f x，( )0f x 法一、 所以当且仅当 2 ()0f x，即 2 22 120xmxm时，函数( )f x在R上才有最小 值。 , ,13 分 由 2 22 2 22 (2)10 120 xmxm xmxm 得： 2 20xm， 由韦达定理得： 2 2 (2)8 22 mmmm x，化简得： 2 840mm， 解得： 42 5m 或 42 5m . 综上得：当42 5m或42 5m时，函数( )f x在R上存在最大值或最小 值。 , ,15 分 法二、由指数函数和二次函数性质知( )0f x，( )0f x（接上） 所以当且仅当( )0f x有解时，( )f x在R上存在最小值。 即： 2 120xmxm在R上有解， 由 2 4(1 2 )0mm解得：42 5m或42 5m 综上得：当42 5m或42 5m时，函数( )f x在R上存在最大值或最小 值。 , ,15 分