《几何画板》教程——从入门到精通(0616233435).pdf

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1、. . 几何画板教程从入门到精通 用几何画板做数理实验 首先请下载安装好几何画板软件，打开几何画板，可以看到如下的窗口，各部分的功能如图所示： 图 1-0.1 我们主要认识一下工具箱和状态栏，其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。 . . 案例一 四人分饼 有一块厚度均匀的三角形薄饼，现在要把它平 均分给四个人，应该如何分？ 图 1-1.1 思路： 这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。 方案一： 画三角形的三条中位线，分三角形所成的四部 分面积相等， （其实四个三角形全等）。如图 1-1.2。 图 1-1.2 方案二： 四等分三角形的任意一边，由等底等高的三角 形面积相

2、等，可以得出四部分面积相等，如图1-1.3。 图 1-1.3 用几何画板验证： 第一步：打开几何画板程序，这时出现一个新绘图文件。 说明：如果几何画板程序已经打开，只要由菜单“文件”“新绘图”，也可以新建一个绘图文件。 第二步： (1)在工具箱中选取“画线段”工具； (2)在工作区中按住鼠标左键拖动，画出一条线段。如图 1-1.4。 注意：在几何画板中，点用一个空心的圈表示。 图 1-1.4 第三步： (1)选取“文本”工具；(2)在画好的点上单击左 键，可以标出两点的标签，如图1-1.5： 注意：如果再点一次，又可以隐藏标签，如果想改标签 为其它字母，可以这样做： 用“文本”工具双击显示的标

3、签，在弹出的对话框中进 行修改， (本例中我们不做修改)。如图 1-1.6 A B 图 1-1.5 . . 图 1-1.6 在后面的操作中，请观察图形，根据需要标出点或线的 标签，不再一一说明 第四步： (1)再次选取“画线段”工具，移动鼠标与点A 重合，按左键拖动画出线段AC ；(2)画线段 BC，标出标 签 C，如图 1-1.7。 注意：在熟悉后，可以先画好首尾相接的三条线段后再 标上标签更方便。 A B C 图 1-1.7 第五步： (1) 用“选择”工具单击线段AB，这时线段上 出现两个正方形的黑块，表示线段处于被选取状态；(2) 由菜单“作图”“中点”，画出线段AB 的中点，标上 标

4、签。得如图1-1.8。 注意：如果被选取的是点，点的外面会有一个粗黑圆圈。 在几何画板中，选取线段是不包括它的两个端点的，以 后的问题都是这样，如果不小心多选了某个对象，可以 按 Shift 键后用左键再次单击该对象取消选取。 A B C D 图 1-1.8 第六步：用同样的方法画出其它两边的中点。得如图 1-1.9。 技巧：最快的方法是：按住Shift不放，用“选择”工 具分别点击三条线段，可以同时选取这三条线段，再由 “作图”“画中点” ( 或按快捷键Ctrl+M) ，就可以同 时画好三条边的中点。 A B C D E F 图 1-1.9 第七步：用“画线段”工具连结DE、 EF、FD，得

5、如图 1-1.10： 技巧：画线段的另一方法，在保证画线工具出现的是“画 线段”按钮 ( 不必选取 ) 的前提下。 选取两点后，由菜单“作图”“画线段”，( 或按快捷 键 Ctrl+L),可以画出连结两点的线段。 本例最快的做法： 1、选取“画点”工具，按住Shift 键不放在工作区中画 三个点，这时三个顶点都保持选取状态 2、按 Ctrl+L, 可以同时画出三条边并且三边同时被选取； A B C D E F 图 1-1.10 . . 3、按 Ctrl+M ，可以同时画出三边中点且三中点同时被选 取； 4、按 Ctrl+L, 可以同时画出小三角形三条边，标上标签即 可。 第八步： (1) 按住

6、 Shift 键不放，用“选择“工具选取点 A、D、F；(2) 由菜单“作图”“多边形内部”填充多 边形内部； (3) 保持内部的选取状态，由菜单“度量” “面积”，可以量出ADF 的面积，如图1-1.11。 A B C D E F 面积 ADF = 0.77 cm 2 图 1-1.11 第九步： (1) 用同样的方法，填充并度量三角形 BDE 、ECF、DEF；(2) 选取 DEF 的内部，由菜 单“显示”“颜色”，选择其它颜色，如蓝色， 得到如图1-1.12。 A B C D E F 面积 ADF = 0.77 cm 2 面积 DBE = 0.77 cm 2 面积 ECF = 0.77 c

7、m 2 面积 DEF = 0.77 cm 2 图 1-1.2 注意：在制作过程中，要经常保存文件，以免因意外原因造成文件丢失，以下每一个例子都是这样，不 再加以说明。 归纳结论： 拖动顶点A、B、C 中的任一个，可以改变三角形的大小和形状，请观察不同情况下，四部分的面 积是否总是相等？这样做可以完成分饼的任务吗？ 说明：这是通过实验来验证数学规律，不能保证结论一定是正确，一般来说，有一些结果经过了人 类的长期实践， 大家都公认了它的正确性，这时会把这个结论作为公理直接使用；而大多数情况下，实 验得到的结果仍然需要进行推理证明。那么， 实验有什么用呢？实验可以帮助我们认识规律，更容易接 受知识，

8、并且常常可以让我们找到解决问题的方向。 如有问题，请到http:/ 几何画板分版，下载案例一供参考。 练习： 1、对于方案二，四等分面积的问题就转化为四等分线段的问题，四等分线段可以用哪些方法？ 2、为了方便在改变等分的份数（例如要分成五份）时方法仍然能用，这里介绍利用平行线等分线段的 方法把一条线段四等分。 第一步： (1) 选取“画射线”工具；(2)移动鼠标到与点A 重合， 按住左键拖动， 画出一条以点A 为端点的射线AD ， 得如图 1-1.13。 A B C D 图 1-1.13 . . 第二步： (1) 选取“画点” 工具，移动鼠标到射线AD 上， 在靠近点A 处单击画出一个点E，得

9、如图1-1.14； (2) 按住 Shift 键不放，用“选择”工具，依次选取点A、 E，由菜单“变换”“标记向量A-E” 。 说明：标记了一个向量后，可以在后面的平移变换中按 这个向量来平移，保证出现若干段相等的线段， 标记向量时，一定要注意选选择点的先后顺序。 E A B C D 图 1-1.14 第三步： (1) 用“选择”工具选取点E，由菜单“变换” “平移”，在弹出的对话框中点“确定”即可得一点 ；(2) 选取 ，做同样的操作可以得，这样 做下去，直到得到你想要的若干段相等的线段，这里是 四段，如图1-1.15。 E E D A B C E E 图 1-1.15 第四步： (1) 连

10、结 B； （2）同时选取线段B、 点 E、 、 ，由菜单“作图”“平行线”，画出了一组平 行线，如图1-1.16。 A B C D E E E E 图 1-1.16 第五步： (1) 用“选择”工具单击平行线和AB 相交处， 得到三个四等分点； (2) 选取所有平行线、射线AD 及 AD 上的点 (除 A 外)， 由菜单“显示”“隐藏对象”，可以隐藏制作过程中 的辅助线。得如图1-1.17。 以下只要连结点C 和三个四等分点就行了， 注意： 在最后结果中不需要看到的对象，一般是把它隐 藏，如果你选取后删去了它，你会发现你要的四等分点 也会消失，这是因为这些点是受辅助线控制的，隐藏的 对象只是看

11、不到，但它仍然起作用。隐藏和删除是不同 的。 如有问题， 请到 http:/ 几何画板分版， 下载案 例一的练习供参考。 A B C 图 1-1.17 、自己比较一下这两种方法，在只需要四等分的情况下，哪种方法方便？，在需要其它等分的情况下， . . 哪种方法更具有一般性？ 案例二 三角形的内角和 现有一块三角形的木板，用来制作一个半圆形的木 盖，请设计一个浪费比较小并且便于施工的方案。 图 1-2.1 思路：以三角形较短一边的一半为半径，以三个顶点为圆心画弧，得到三个扇形后拼成半圆，如图 1-2.2： 图 1-2.2 那么，如何知道拼成的一定是一个半圆呢？下面用几何画板做一个实验来说明。 方

12、案： 画一个三角形；量三个内角的度数；用几何画板的计算功能计算三个内角的和。如果对于任意的 三角形，总有内角和是1800，那么说明拼成的一定是一个半圆形。 用几何画板验证： 第一步：新建一个几何画板绘图文件。画出三角形ABC 第二步： (1) 选取“选择”工具，按住Shift 不放， 依次选取点B、A、C；(2) 由菜单中的“度量” “角度”，量出 BAC 的度数， 用同样的方法度量其它两个角。如图1-2.3 说明：由于每个人画的图不同，度数不一定和图 1-2.3 一样）。 注意：选一个角的关键是角的顶点要第二个选。 A B C BAC = 45.0? ABC = 74.6? ACB = 60

13、.4? 图 1-2.3 第三步：由菜单“度量”“计算”弹出一个计算 器，依次点击 “ BAC= ”、 “+”、 “ ABC= ” “+”、“ ACB= ”、“确定”，如图1-2.4。 说明： “ BAC= ”在本例中是 “ BAC=45.0 0”， 这里用省略号表示，是因为每个人画的图不同，量 出的度数有可能不同，以后类似的问题都这样来表 示。 技巧：弹出计算器的方法有：(1) 由菜单“度量” “计算”； (2) 双击工作区中的任一度量值，如 “BAC= ” ； (3) 在工作区中击鼠标右键，由 “度 量”“计算”。 A B C BAC = 45.0? ABC = 74.6? ACB = 60

14、.4? BAC + ABC + ACB = 180.0? 图 1-2.4 . . 归纳结论： 请按要求操作后填写下表： 序号操作现象三个角的和等于 1 观察 BAC=_ ABC=_ ACB=_ 2 用鼠标拖动其中一个顶点改变三 角形变成钝角三角形 BAC=_ ABC=_ ACB=_ 3 用鼠标拖动其中一个顶点改变三 角形变成直角三角形 BAC=_ ABC=_ ACB=_ 4 用鼠标拖动其中一个顶点任意改 变三角形的形状 三个内角的和总是 结论三角形的内角和总是_ 如有问题，请到http:/ 几何画板分版，下载案例二供参考。 练习： 1、自己画一个凸四边形，度量它的内角，计算内角和，验证凸四边形

15、的内角和是3600。 如有问题，请到http:/ 几何画板分版，下载案例二练习1 供参考。 2、用“选择”工具同时选取点A、B，由菜单“度量”“距离”，可以度量出线段AB 的长度，请你 用上面所学的知识验证“三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边”。 如有问题，请到http:/ 几何画板分版，下载案例二练习2 供参考。 . . 案例三 最佳行走路线 如图 1-3.1：你身在草原上，现在要走到公路边去等车，请设计一个最佳行走路线。 图 1-3.1 思路： 把人所处位置看作一个点，公路看作一条直线，行走的路线看作线段，由垂线段最短可以找到最 佳行走路线。 方案： 画一条直线，过直线

16、外一点引直线的垂线段和斜线段，度量线段的长，动态验证垂线段最短。 用几何画板验证： 第一步：新建一个几何画板绘图文件。 第二步： (1) 按住工具箱中的画线工具不放，在弹出的 工具条中选取 “画直线” 工具， 按住鼠标左键拖动画出 一条直线； (2) 用“画点”工具在直线外画一点，如图 1-3.2。 AB C 图 1-3.2 第三步： (1) 按 Shift 键，用鼠标选取点C 和直线 AB ， (不要选取点A 和 B)； (2) 由菜单“作图”“垂线”， 画出了过点C 垂直于 AB 的直线，如图1-3.3 说明： 虽然点 A、B在直线 AB上，但选取直线时并没有 选取直线上的点， 在后面的学

17、习中， 如果要求选取直线、 线段、 圆等对象， 这时不要把对象上的点也选取，除非 特别指明要选取这些点。 AB C 图 1-3.3 第四步： (1) 用“选择” 工具单击垂足处，定义出垂足， 标上标签D； (2) 选取垂线CD(不要选取点C、D)、点 A、B，由“显 示”“隐藏”，把选取的对象隐藏，用“文本”工具 在直线上点一下，标出直线的标签j；(3) 选“画线段” 工具，连结线段CD，如图 1-3.4。 说明：点A、B是控制直线AB的点，通过拖动这两点， 可以改变直线的方向和位置，一般情况下， 如果不想再 改变直线的位置， 或不再画其它线经过这两个点，可以 j C D E 1-3.4 .

18、. 在制作完成后把它隐藏。 第五步： (1) 选取“画线段”工具；(2) 移动鼠标到点 C 处，按下左键拖动，当鼠标位于直线j 上时松开，如 图 1-3.5。 技巧： CE是直线 j 的斜线段，所以要保证一个端点是C， 另一个端点E只能在直线j 上移动，怎样才能保证呢？， 在画图的过程中， 移动鼠标到点C时，注意观察状态栏 中有“从点C” ，这时按下左键可以保证一个端点为C， 移动鼠标到直线j 时，状态栏中有“到点位于直线j ” 时松开， 这样点 E一定在直线上， 不能拖到直线外。在 几何画板中，状态栏的作用非常重要。 j C D E 图 1-3.5 第六步：同时选取点C、D，由“度量”“距离

19、”， 量出 CD，同理量出CE，如图 1-3.6。 j C D E CD = 1.68 cm CE = 2.16 cm 图 1-3.6 归纳结论： 拖动点 E 在直线 j 上移动，观察CD 与 CE 的大小，什么时候CE=CD？，除了这个位置外的其它位置 CD 与 CE 哪一个比较大？ 以上操作说明：从直线处一点引直线的所有线段中，_最短，因而最佳行走路线是走点到直线 的垂线段。 如有问题，请到http:/ 几何画板分版，下载实例三供参考。 练习： 1、在图 1-3.6 的基础上，增加一个点F，通过度量CDF、 CEF，如图 1-3.7，拖动点 E，观察什么情 况下两个角相等，除了CD 外，

20、CE 在其它位置能和直线j 垂直吗？ j C D EF CD = 1.68 cm CE = 2.16 cm CDF = 90? CEF = 51? 图 1-3.7 如有问题，请到http:/ 几何画板分版，下载案例三练习供参考。 . . 案例四横梁有多长 如图1-4.1，一个三角形屋架，屋面的宽度是 13 米，立柱长5 米，那么横梁有多长？ 图 1-4.1 思路： 这是直角三角形中应用勾股定理的问题，那么，是不是任意的直角三角形三边都有这种关系？ 方案： 大家都已经证明过勾股定理，但现在我们用不同的方法来重新认识一下这个老朋友。用几何画板 画一个直角三角形，度量三条边，计算两直角边的平方和，计

21、算斜边的平方，不断改变图形的大小形状 (但保持直角不变)，验证定理是否总是成立。 用几何画板验证： 第一步：新建一个几何画板绘图文件。 第二步：在工作区中画一条线段AB，如图 1-4.2。BA 图 1-4.2 第三步： (1) 按住 Shift，用“选择”工具选取点A 和 线段 AB；(2) 由菜单“作图”“垂线”，作出点 A 垂 直于线段AB 的直线。如图1-4.3 注意： 不要选另外一个端点B，那样过 B点也会有一条 直线与 AB垂直，本例中我们不需要同时画两条垂线。 技巧：只有这样画的图才能在你拖动点改变图形的大小 和形状时总是保持垂直的关系，如果只是画出一条自己 看上去 “垂直” 的直

22、线， 就不能在改变形状时保持垂直 关系。 BA 图 1-4.3 第三步： (1) 选“画点”工具；(2) 移动鼠标到垂线上 单击，如图图1-4.4 注意： 观察状态栏中出现“点位于直线上”时单击，这 样画的点永远位于直线上，不会拖到外面。 AB C 图 1-4.4 第三步： (1) 选取垂线CD，由“显示”“隐藏直线” ， 把垂线隐藏；(2) 用画线段工具画出线段AC 、线段 BC，如图 1-4.5。 技巧：最后的图中应该是线段，但为了保证变化过程中 保持垂直关系， 必须先画辅助垂线，最后在不需要时把 它隐藏 。 AB C 图 1-4.5 . . 第四步：用“文本”工具单击三角形的三边，得到如

23、图 1-4.6 所示， j m n AB C 图 1-4.6 第五步：用“文本”工具双击标签n，在弹出的对话框中作如下 改动：如图1-4.7。 图 1-4.7 用同样的方法改j 为 c，改 m 为 b，如图 1-4.8。 说明：这样做是为了照顾我们的数学习惯，或者是题目本身的要 求，这种改点或线的标签的方法，在操作过程中会经常用到。 c b a AB C 图 1-4.8 第七步： 同时选取线段a、b、c，由菜单 “度量”“长 度” ，可以同时量出三条边的长度，如图1-4.9 c b a AB C c = 2.70 cma = 3.03 cm b = 1.39 cm 图 1-4.9 第八步：弹出

24、计算器，依次点击“b=” 、 “ ” 、 “2” 、 “+” 、 “c=” 、 “” 、 “2” ，然后按“确定” ，可以计算 出 b2+c2的值；同样可以算出a2的值， 得到如图1-4.10， 说明：这里“ ”表示乘方运算。 c b a AB C c = 2.70 cma = 3.03 cm b = 1.39 cm b 2 + c2 = 9.20 cm2 a 2 = 9.20 cm2 图 1-4.10 . . 归纳结论： 序号操作现象b2+c2与 a2相等吗？ 1 观察 b2+c2=_ a 2=_ 2 用鼠标拖动点B 到另一位置。 b2+c2=_ a 2=_ 3 用鼠标拖动点B 到另一位置。

25、 b2+c2=_ a 2=_ 4 任意拖动三角形顶点改变直角三角形的形状， 结论b2+c2_a2 可以看到， 总是有两直角边的平方和等于斜边的平方，本例中的横梁用勾股定理算得一半为12 米， 全长为 24 米。 如有问题，请到http:/几何画板分版，下载实例四供参考。 练习： 1、量出直角三角形的两锐角的度数，验证直角三角形的两锐角互余。 如有问题，请到http:/几何画板分版，下载案例四练习1 供参考。 2、学画一个矩形，先完成本例到第三步得图1-4.11，这里只是把原来的点C 改成了 D。 AB D 图 1-4.11 （1）选取点D 和线段 AB，由“作图”“平行线”， 画出过 D 平行

26、 AB 的直线；（2）选取点B 和直线 AD ， 同样画出过点B 平行于AD 的直线；（3）用“选择” 工具定义出第四个顶点，标记标签为C；如图 1-4.12 AB D C 图 1-4.12 （4）隐藏三条直线，画出线段AD 、DC、CB，即得矩 形 ABCD ，如图 1-4.13。 说明：拖动点A 、B可以改变矩形的大小和位置并可以 旋转一定的角度； 拖动点 D只能改变矩形在纵向上的大 小，拖动点 C不会改变矩形的大小，但可以改变矩形的 位置， 但无论如何改变，这个图形一定是矩形，你可以 通过度量角和边来证实这一点。 A B D C 图 1-4-13 3、先画出如图1-4-14 的图形，然后

27、用类似于第2 题的方法画一个平行四边形， A B C 图 1-4-14 . . 案例五三角形的高 三角形的高可能出现在哪些位置？ 思路： 应该对于直角、锐角、钝角三种不同类形的三角作不同的回答。 方案： 如果用笔在纸上画图，只能三种类型中各画一个图来说明，现在借助几何画板，我们可以动 态地改变三角形的形状，使不同类形的三角形的高可以动态改变。 用几何画板验证： 第一步： (1) 选取“画点” 工具画三个点； (2) 选取“画 直线” 工具后， 什么都不用做；(3) 选取“选择” 工具， 在屏幕上拉一个虚线框框住画好的三点；(4) 由菜单 “作图”“画直线”(快捷键是 Ctrl+L) ，可以画出

28、 过这三点的三条直线，标上标签，如图1-5.1。 技巧： (1) 如果要选取的对象比较多，可以用“选择” 工具在工作区中拉一个虚线框框住这些对象，这时可能 会多选了一些你并不想选的，可以按 Shift键后，单击 该对象取消选择状态；(2) 上面第二步选“画直线”工 具的操作会影响菜单中会不会出出“画直线”的选项， 如果你没有做这一步，菜单中通常出现“画线段”，也 就是说，几何画板中的有些菜单命令和按钮的显示状态 是相关的。 A BC 1-5.1 第二步：过点A 作直线BC 的垂线，并单击垂足，定 义出垂足D，用同样的方法作出垂线BE 和 CF，如图 1-5.2， A BC D E F 图 1-

29、5.2 第三步：按住Shift 键，用“选择”工具选取所有的直 线，注意不要选到点；由菜单“显示”“隐藏直线” ， 可以隐藏所有直线，得到如图1-5.3 BC D E F A 图 1-5.3 第四步： (1) 同时选取点A、B，(2) 选取“画线段”工 具，然后按Ctrl+L ，画出线段AB;(3) 用同样的方法画 出线段 BC、AC、AD 、BE、CF，得到如图1-5.4。 技巧：上面说Ctrl+L 是画直线，但当你先画了“画线 段”的工具后，它的功能会自动变边画线段。 注意：为什么不一开始就画三条线段组成三角形呢？这 是本例的要点，因为如果一开始画的是线段，点D 、E、 A BC D E

30、F 图 1-5.4 . . F 被定义为垂线和线段的交点，如果你拖动三角形变为 钝角三角形， 垂线和线段没有交点，这样会导致有两条 高消失。现在的点D、E、F 分别是垂线和直线的交点， 再拉动三角形成钝角三角形时，高不会消失。 第五步： (1) 拖动点 A，使 ACB 变 成钝角，（如图 1-5.5） ；(2) 选取点 C 和 D， 按 Ctrl+L ， 画出线段CD； (3) 保 持线段 CD 的选取状态，由菜单“显 示”“线型”“虚线”，改CD 为虚线，符合通常的习惯， 用同样的方法画线虚线段CE， A BC D E F A BCD E F 图 1-5.5 第六步：拖动点A 使使 ABC

31、变成钝角后用同样的方 法作出虚线段BF。最后完成图1-5.6 A BC D E F 图 1-5.6 归纳结论； 序号操作 三角形三条高的 位置 三条高（或高的延长 线）交于一点吗？ 1 观察 2 用鼠标拖动点C 到另一位置。 使 ABC 仍为锐角三角形，再观 察， 3 用鼠标拖动点A 到另一位置。 使 ABC 变为直角三角形，再观 察， 4 用鼠标拖动点A 到另一位置。使 ABC 为钝角，再观察 结论三角形的三条高或高的延长线_. 如有问题，请到http:/几何画板分版，下载案例五供参考。 练习： 观察三角形的三条中线，三条角平分线的位置关系。 其中画中点的方法：选取线段，由菜单“作图”“中点

32、”（或按 Ctrl+M ）可以作出线段的中点， 接着就可以画中线了； 画角平分线的方法：如按Shift ，依次点选点B、A、C，可以作出 BAC 的平分线，确定角平分 线和对边的交点后，隐藏角平分线，再连出线段就行了。 . . 1、请自己画一个三角形作出它的三条中线，然后按要求填写实验报告。 序号操作 三角形三条中线 的位置 三条中线交于一点 吗？ 1 观察 2 用鼠标拖动点C 到另一位置。 使 ABC 仍为锐角三角形，再观 察， 3 用鼠标拖动点A 到另一位置。 使 ABC 变为直角三角形，再观 察， 4 用鼠标拖动点A 到另一位置。使 ABC 为钝角，再观察 结论三角形的三条中线_. 如有

33、问题，请到http:/几何画板分版，下载案例五练习1 供参考。 2、请自己画一个三角形，作出它的三条角平分线，然后按要求填写实验报告。 序号操作 三角形三条角平 分线的位置 三条角平分线交于一 点吗？ 1 观察 2 用鼠标拖动点C 到另一位置。 使 ABC 仍为锐角三角形，再观 察， 3 用鼠标拖动点A 到另一位置。 使 ABC 变为直角三角形，再观 察， 4 用鼠标拖动点A 到另一位置。使 ABC 为钝角，再观察 结论三角形的三条角平分线_. 如有问题，请到http:/几何画板分版，下载案例五练习2 供参考。 . . 案例六挂画的学问 要把一幅画挂在墙上，画的上下边框要和横梁平行，左右与立柱

34、的距离相等，应该如何钉上 挂钉？ 图 1-6.1 思路：这个问题可以转化为和线段的垂直平分线有关的问题。 方案： 挂绳拉紧后， 挂点到像框边框两端的距离应该相等，考虑到平行和等距的条件，只要横梁的中垂 线与边框中垂线二线合一就行了，所以只要画横梁的中垂线，把挂绳的中点定位在横梁中垂线上即可。 下面验证“线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等”。 用几何画板验证： 第一步：画一条线段AB。如图 1-6.2 AB 图 1-6.2 第二步： (1) 用选择工具选取线段AB ，(2) 由菜单 “作 图”“中点”（快捷键是Ctrl+M ） ，画出线段AB 的 中点 C，如图 1-6.3 注意： 不要

35、多选其他对象， 如果你多选了其他对象，“中 点”这个选项是灰色的不可用，一般来说， 只要选择的 对象不符合要求的条件，就不可能使用相应的菜单项。 AB C 如图 1-6.3 第三步： (1) 用“选择”工具按住左键拉一个框经过点 C 和线段 AB（但不要框住A、B 两点） ，这样可以同时 选取点 C 和线段 AB， (2) 由菜单“作图”“垂线”， 画出过点C 垂直于线段AB 的垂线，即是线段 AB 的垂 直平分线。如图1-6.4 注意： 如果你画的图不是这样，过点 A或 B也有了垂线， AB C . . 那是因为你多选了点A或点 B。图 1-6.4 第四步：选取“画点”工具，在中垂线上画一点

36、，标记 为 P，如图 1-6.5 AB C P 图 1-6.5 第五步： (1) 画出线段PA、PB；(2) 选取点 P、A，由菜单 “度量”“距离”，量得 PA，同样量出PB。 第六步： (1) 同时选取点P 和中垂线； (2) 由菜单“编辑” “操作类按钮”“动画”，在弹出的对话框中，设置如 图 1-6.6 图 1-6.6 这样在屏幕上会出出一个“动画”按钮，当双击这个按钮时， 点 P 会在直线上双向地移动。便于我们动态地观察。 最后结果如图1-6.7。 注意： 不要多选其它对象， 这里只需要点P在中垂线上运动。 A B C P PA = 2.59 cm PB = 2.59 cm 动画 图

37、 1-6.7 归纳结论： 序号操作现象结论 (是否相等 ) 1 拖动点 P 到另一位置， 这时 PA=_ PB=_ PA_PB 2 拖动点 P 到第二个位置 这时 PA=_ PB=_ PA_PB 3 拖动点 P 到第三个位置 这时 PA=_ PB=_ PA_PB 4 双击“动画”按钮， 点 P 在 AB 的中垂 线上不停的运动，PA_PB 结论只要点 P 在线段 AB 的中垂线上，实验过程中PA_PB. 如有问题，请到http:/几何画板分版，下载案例六供参考。 练习 : 1、我们将在前面作图的基础上，进一步验证等腰三角形、等边三角形的一些性质。 . . 第七步： (1) 选取垂直平分线，将它

38、隐藏；(2) 画出线 段 PC。得到如图1-6.8。 A B C P PA = 2.59 cm PB = 2.59 cm 动画 图 1-6.8 第八步：用量距离的方法量AC、 BC， 量 PAB、 PBA 、 APB 、 PCB、 APC、 BPC 的度数，得到如图 1-6.9。 A B C P PA = 3.17 cm PB = 3.17 cm 动画 AC = 1.47 cm BC = 1.47 cm PAB = 62.47? PBA = 62.47? PCB = 90.00? APC = 27.53? BPC = 27.53? BPA = 55.06? 图 1-6.9 归纳结论： 序号操作

39、现象结论 1 用鼠标拖动（或双击动画 按钮）不断地改变点P 位 置。 PA 和 PB 总是相等吗？ _ PAB 是_三角 形。 2 PAB 和 PBA 总是相 等吗？ 等腰三角形的两底角 _ 3 PCB 总是等于90 度 吗？ _ PC 是等腰三角底边上 的_ 4 AC 和 CB 的长总是相等 吗？ _ PC 是等腰三角形底边 上的 _. 5 APC 和 BPC 总是相 等吗？ _ PC 是等腰三角形顶角 的 _. 结论 等腰三角形的两底角_，底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三线 _. 也可以拖动使APB=60 0，再观察边角的变化。 如有问题，请到http:/ 几何画板分版，下载案例六练

40、习1 供参考。 2、学画一个菱形，接第1 题，先画出如图1-6.10 的图形，由于点P 在线段 AB 的垂直平分线上，所以 PA=PB。 B A C P 图 1-6.10 . . （1）选择线段AB ，由“变换”“标记镜面” ，标记 AB 为镜面，线段上出现闪烁后消失的两个 方框。 说明：标记镜面后，一个对象如果关于这个镜面反射，这时就好象人照镜子一样，人离镜面近，人 像离镜面也近，用数学的说法，镜面就是对称轴，反射可以得到对称点或对称图形。 技巧：标记镜面的另两种方法：（1）直接双击直线（线段、射线）； （2）选取直线（线段、射线） 后用快捷键Ctrl+G. （2）同时选取点P、线段PA、P

41、C、PB； （3）由“变 换”“反射”，得到如图1-6.11。 （4）用“文本”工具改各点标签为你想要的，例如得 图 1-6.12。 说明：在几何画板中，画特殊四边形的方法不只一种， 但不管用哪种方法，都要符合图形的几何关系，也就是 当改变大小了位置时，矩形仍是矩形，菱形仍是菱形。 B A C P C A O D B 图 1-6.11 图 1-6.12 如有问题，请到http:/ 几何画板分版，下载案例六练习2 供参考。 . . 案例七 抽水房的位置 在一条河的同一旁有两个村庄A 和 B，现在要在河边建一个抽水房，应该建在什么位置， 才能使所用的水管的钱最少? 图 1-7.1 思路： 用钱最少

42、，一般要求所用的水管最短，转化为数学问题，即是在表示河流的直线上找一个点C， 使 AC+BC 最小。 方案： 作点 A 关于河流的对称点A，连 A B 交河流于C，计算 AC+CB ；在河流上另取一点D，计算 AD+DB ，通过拖动点D 在直线上移动，验证AC+CB 最小，从而说明C 为最佳点。 用几何画板验证： 第一步：（1）画出表示村庄的点A、B； （2）画一条直 线表示河流， 隐藏直线上的两个点，设置直线的标签为 “河流”，如图 1-7.2。 说明：标签可以用中文表示，这种技巧常用来标注点或 线等对象的功能，例如： 给某一点标上 “拖动我改变图 形” 。 河 流 B A 图 1-7.2

43、第二步：（ 1）选取表示河流的直线；（2）由菜单“变换”“标记镜面” ，直线上出现闪烁后消 失的两个方框。 第三步：（1）选取点A，由菜单“变换”“反射”， 得点 A 关于直线（河流）的对称点；（2）用文本工具 标出标签，默认的是字母A ，得到如图1-7.3 河 流 A B A 图 1-7.3 . . 第四步：（1）用“画线段”工具连结A B； （2）用“选 择”工具在线段和河流相交处单击，作出线段和河流的 交点，标出交点的标签C，如图 1-7.4。 河 流 A B A C 图 1-7.4 第五步： （1）用“画点”工具在河流上画一个点，标记 为 D； （2）用“画线段” 工具连结AC 、AD

44、 、BD 、AD， 如图 1-7.5。 河 流 A B A C D 图 1-7.5 第六步：（1）同时选取点A、点 C； （2） 由菜单“度量“距离”，量出 AC ； （3） 用同样的方法量出A C、CB、AD 、A D、 DB ，如图 1-7.6。 说明： 量出点 A、C的距离， 由数学定义可 知，这就是线段的长；量线段的长还可以 直接选取线段AC ， （不要选取点A、C） ， “度量”“长度”，但这样的方法无法直 接量出图1-7.6 中 CB的长，还要进一步作 图。 河 流 A B A C D AC = 0.45 c m AC = 0.45 c m CB = 0.92 c m AD = 0

45、.89 c mAD = 0.89 c m DB = 0.63 c m 图 1-7.6 第七步： （1）调出计算 器 ；（ 2 ） 依 次 点 击 “ AC= ”、“ + ”、 “CB= ” 、 “确定”，可 以计算出AC+CB 的值； （ 3 ） 同 样 去 计 算 A C+CB 、 AD+DB、 A D+DB ，拖动到适当位 置得到如图1-7.8。 河 流 A B A C D AC = 0.45 c mAC = 0.45 c m CB = 0.92 c m AD = 0.89 c mAD = 0.89 c m DB = 0.63 c m AC + CB = 1.37 cm AC + CB =

46、 1.37 c m AD + DB = 1.52 c m AD + DB = 1.52 cm 图 1-7.8 . . 归纳结论： (一) 序号操作现象D 点是否是最佳点 1 观察 AC+CB=_ AD+DB=_ 2 拖动点 D 远离点 C， 上面的两个和差距 变_ （大或小） 3 拖动点 D 靠近点 C， 上面的两个和差距 变_ （大或小） 4 拖动点 D 与点 C 重合， 上面的两个和 _ 结论以上现象说明，只有取点_处，才能使所用的水管最短， （二） 序号操作现象有无相等的关系 1 观察 AC+CB=_ AC+CB=_ AD+DB=_ AD+DB=_ 2 拖动点 D 远离点 C， AC+C

47、B=_ AC+CB=_ AD+DB=_ AD+DB=_ 3 拖动点 D 靠近点 C， AC+CB=_ AC+CB=_ AD+DB=_ AD+DB=_ 4 拖动点 D 与点 C 重合， AC+CB=_ AC+CB=_ AD+DB=_ AD+DB=_ 结论 以上现象说明，研究AC+CB 、AD+DB的关系，可以转为研究A C+CB 和 AD+DB 的关系， 而这个关系可以简单地用三角形的两边之和_第三边来 说明。 如有问题，请到http:/几何画板分版，下载案例七供参考。 练习： 画一条直线，在直线的一旁画一个三角形，标记直线为“镜面”（即对称轴），选取三角形的全部 （包括顶点和边） ， “反射”出它关于直线对称的图形， 1、 用鼠标拖动改变三角形的形状，体会“对称的图形是全等形”， 2、 连结对称点，通过过量角和量线段，体会“对称点的连线被对称轴垂直平分”。 如有问题，请到http:/几何画板分版，下载案例七练习供参考。 . . 案例八 选择厂址 如图， 河南区新建一个工厂，在公路西侧， 到公路的距 离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥的距离为 300 米，在图上标出工厂的位置，并说明理由。比例尺 是