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1、重庆南开中学高2015 级高三 (10 月) 月考 数 学 试 题（理科） 考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150 分， 考试时间120 分钟 （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整，字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿 纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀 第 I 卷（选择题共 50 分） 一. 选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，
2、共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 复数)1 (ii（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2角终边经过点)1, 1 (，则cos（） A.1 B.1 C. 2 2 D. 2 2 3设 3loga， 3 .0 2b， 3 1 log2c，则（） A.cba B.bcaC.bac D.cab 4 “ 2 3 s i nx”是“ 3 x”的（） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 5函数28)( 2 xxxf的一个零点所在区间为（） A.)2 ,1 (B.)3
3、 ,2(C.)4,3(D.)5,4( 6如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论： 命题“p且q”是真命题命题“p且q”是假命题 命题“p或q”是真命题命题“p或q”是假命题 其中正确的结论是（） A. B. C. D. 7. 将函数)sin(xy),0(的图象向左平移 3 个单位，再将图像上所有点的 横坐标伸长到原来的2倍 （纵坐标不变） 所得的图象解析式为xysin， 则)s i n (xy 图像上离y轴距离最近的对称中心为（） A.)0, 3 ( B.)0, 6 5 ( C.)0, 6 ( D.)0 , 3 ( 8已知( )f x是定义在R上的奇函数，对Rx恒有)2()()2(f
4、xfxf，且当 )1 ,0(x时，xxxf 2 )(则) 2 3 (f（） A. 4 3 B. 4 1 C. 4 1 D. 4 3 9 1 tan10 sin 40 （） A.3 B.2 C.2 D.2 3 10. 已知函数)0(1032)( 23 mnxmxxf有且仅有两个不同的零点，则nm 22 lglg 的最小值为（） A. 7 1 B. 9 1 C. 11 1 D. 13 1 第 II卷（非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。把答案填写在答题卡相应位置上。 11已知 xxxf 2 3)(，则定积分 2 0 )(dxxf 12已知 2 1 2
5、 x Ax x ，1axxB且BA，则a的取值范围为 13已知), 2 (，22 cos 1 sin 1 ，则) 3 2sin( 考生注意： 14、15、16 为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。 14如图，PQ为半圆O的直径，A为以OQ为直径 的半圆A的圆心，圆O的的弦PN切圆A于点M， 8PN，则圆A的半径为 15已知曲线 1 C、 2 C的极坐标方程分别为2sin， cossin10，则曲线 1 C上的点与曲线 2 C上的点的最近距离为 16若不等式 2 373xxaa的解集为R，则实数a的取值范围是 _ _ 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字
6、说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分13 分） 已知函数)cos(cos) 2 cos() 2 sin()(xxxxxf （1）求函数()f x的最小正周期； （2）当 4 , 4 x时，求函数)(xf的最大值和最小值 18 （本小题满分13 分） 已知) 6 sin(2)(xxf，Rx （1）已知2tan，), 2 (，求()f的值； （2）若 3 ,0,，2)(f， 5 8 )(f，求(22 )f的值 19 （本小题满分13 分） 设函数xmxxxf)1( 3 1 )( 223 )(Rx （1）当1m时，求函数fx的单调区间与极值； （2）若函数)sinx(fy在0, 2 x上单
7、调递增，求实数 m的取值范围 20 （本小题满分12 分） 已知函数 ) 3 1 (sin)(xxf的部分图象如图所示，其 中P为函数图象的最高点，,A B是函数图象与x轴的相邻两 个交点，若y轴不是函数)(xf图象的对称轴， 且 1 tan 2 APB. （1）求函数)(xf的解析式； （2）已知角 、 、 满足 : 3 2 ) 3 12 () 3 12 (ff 且 3 ,tan2 4 ， 求 sin()sin() cos2 的值 21 （本小题满分12 分） 已知函数 x eaxaxxf)()( 2 （1）若函数 )(xfy 在点 )0(,0(f 处的切线与直线 013yx 平行，求 a的
8、值； （2）当4,0x时， 4 )(exf恒成立，求实数a的取值范围 22 （本小题满分12 分） 已知函数xxfln)( （1）方程xaxf)(有且只有一个实数解，求a的值； （2）若函数) 2 5 ( 2 1 )()( 2 mmxxxfxg的极值点 21,x x)( 21 xx恰好是函数 bxcxxfxh 2 )()(的零点，求) 2 ()( 21 21 xx hxxy的最小值 x y OA B P 重庆南开中学高2015 级 10 月月考 数学答案（理科） 一、选择题BCDCB ACBAD 二、填空题 11. 1012. (-3,3)13. 1 14. 2 23 15. 1216. 5
9、, 2 三、解答题 17.(1)( )cossincos (cos)f xxxxx 11cos 2 sin 2 22 x x 21 sin(2) 242 x ( )的最小正周期f xT （2）, 44 x 3 2, 444 x , 2 2 ,1) 4 2sin( x 则0 , 2 1 2 2 2 1 ) 4 2sin( 2 2 x ( )f x的最大值为0，最小值为 2 1 2 2 18.（1）tan2 (,) 2 2 55 sin,cos 55 ( )2 sin()3 sincos 6 f 2 155 5 (2)()2 sin()2 6 fsin()1 6 又0, 3 +0, 62 +=，故
10、= 623 8 又()2sin() 65 f， 4 sin() 65 25 (22)2 sin(2+)2 sin(2) 366 f 2 cos(2) 3 2 2 12sin () 6 14 = - 25 /22 19.(1)( )2(1)fxxxm 1时，m /2 ( )2(2)fxxxx x 0或2时，xx /( ) 0fx ， ()在（-，0），（ 2， +）上单调递减f x 02时，x /( ) 0fx ， ()在（ 0，2) 上单调递增f x 故当0x时，( )f x取得极小值(0)0f，2x时，( )f x取得极大值 4 (2) 3 f （2）法一 :当0, 2 x时， /(sin
11、)cos0fxx，而cos0x（0, 2 x） 故只许 /22 (sin)sin2 sin(1)0fxxxm在0, 2 上恒成立 即 22 1sin2sinmxx在0, 2 上恒成立， 22 max 须1(sin1)1mx而 22 sin2sin(sin1)1xxx， 又sin0,1x当sin0x时， 2 (sin1)1x取得最大值0 2 10m，即-1m或1m 法二 :也可利用同增异减法则,说明外层函数在10，单调递减 20.（1）过点P作PCx轴，则3BCAC，故tan3 tanBPCAPC tantan()APBBPCAPC 2 2 tan1 213 tan APC APC 解得 1 t
12、an1或 3 APC. 若 111 tan, 则 333 APCACPC，此时 ( )f x的最小正周期 4 4 3 TAC， 3 故 2 ， 313 ( )sin()cos 232 f xxx，其图像关于y轴对称，舍去 若tan1,则11APCACPC，此时( )f x的最小正周期44TAC， 1 故 2 ， 1 ( )sin()sin() 2326 f xxx，符合题意 （2）， 3 2 sinsin) 3 12 () 3 12 (ff且 3 4 cos()coscossinsin 6 2 ， 6 2 coscos原 式 = 22 (sincoscossin)(sincoscossin)
13、cossin 22 22 sinsincoscoscossinsin()sincos cossin 2 2 sinsincoscostansin()tan 1tan 9 22 21. 解：（） 2 (21)1 ( ) x axaxa fx e 由条件知(0)1fa， 因为函数( )f x在点(0,(0)f的切线与直线013yx平行 所以31a,2a （） 2 (21)1 ( ) x axaxa fx e (1)(1) x axa x e 当0a时，1x，在(0,1)上，有( )0fx，函数( )f x增；在)4, 1 (上，有( )0fx 函数( )f x减， 4 4)4(,0)0(eff函数
14、( )f x的最小值为0，结论不成立 当0a时， 12 1 1,1xx a (1) 若0a，(0)0fa，结论不成立 (2) 若01a，则 1 10 a ，在(0,1)上，有( )0fx，函数( )f x增； 在)4 ,1 (上，有( )0fx，函数( )f x减， 只需 4 4 )4( )0( ef ef ，所以1 4 ae (3) 若1a，则 1 011 a ，在) 1 1 ,0( a 上，有( )0fx，函数( )fx减； 在)1 , 1 1 a （, 有( )0fx, 函数( )f x增; 在)4, 1 (上，有( )0fx，函数( )f x减 函数在 1 1x a 有极小值，)4()
15、, 1 1()( min f a fxf只需 4 4 )4( ) 1 1( ef e a f 得到 1417 12 1 3 a ea a ，因为 1, 112 1 3 a ea，所以1a 综上所述可得 4 ea 22.（1）方程即xax)ln(，构造函数xaxxF)ln()(，定义域为axx， ax ax ax xF )1( 1 1 )(，由aa1可得)(xF在)1 ,(aa增，),1(a减 而)(,;)(,xFxxFax；则0)1(aF即1a (2) ), 2 5 ( 2 1 ln)( 2 mmxxxxgbxcxxxh 2 ln)( 由已知0 1 )( 2 x mxx xg的两根为 21,
16、xx ，当 2 5 m时方程01 2 mxx的0 则 mxx 21 ， 1 21x x 又由 21,x x为bxxxxh 2 2ln)(的零点可得 0ln 0ln 2 2 22 1 2 11 bxcxx bxcxx 两式相减 0)()(ln 212121 2 1 xxbxxxxc x x ，可反解出 )( ln 21 21 2 1 xxc xx x x b 而) 2 ()( 21 21 xx hxxy)( 21 xx)( 2 21 21 bxxc xx 代入式 y) ln 2 )( 21 2 1 21 21 xx x x xx xx 2 1 21 21 ln2 x x xx xx 2 1 2 1 2 1 ln 1 1 2 x x x x x x 令t x x 2 1 )10(t，由mxx 21 ，1 21x x可得 2 2 1 m t t则 4 1 ,0(t 设函数t t t tGln 1 1 2)(，而0 ) 1( )1( )( 2 2 tt t tG，则)(tGy在 4 1 ,0(t单减 所以4ln 5 6 ) 4 1 ()( min GtG，即) 2 ()( 21 21 xx hxxy的最小值为4ln 5 6