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1、1 i=1, S=0 开始 i5? i 是奇数 ? S=S-i2S=S +i2 i=i+1 是 否 输出 S 结束 正视图侧视图 俯视图 2 23 2 100 所名校高考模拟金典卷数学（一） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1、若集合0,1,2,3A，集合,1BxxAxA，则集合 B 的元素个数为（） A、1 B、2 C、 3 D、4 2、在复平面内，复数 23 34 i i （i为虚数单位）所对应的点位于（） A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限 3、下列命题中正确的是（） A、若 p：存在x
2、R， 2 10xx，则p：对任意xR， 2 10xx。 B、若pq为真命题，则pq为真命题。 C、“ 函数fx为奇函数 ” 是“00f” 的充分不必要条件。 D、命题 “ 若 2 320xx，则1x” 的否命题为真命题。 4、执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（） A、3 B、6 C、10 D、15 5、已知变量x,y 满足约束条件 50 210 10 xy xy x ，则21zxy 的最大值是（） A、9 B、8 C、7 D、6 6、如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、 等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（） A、4 3B、4 C、2 3D、 2 7、用 1,2
3、,3,4,5,6 组成不重复的六位数，满足 1 不在左右两端， 2,4,6 三个偶数中有且仅有两个偶数相邻，则这样的六位数的 个数为（） A、432 B、288 C、216 D、144 8、设0, 2 ，0, 2 ，且 1sin tan cos ，则（） A、3 2 B、2 2 C、3 2 D、2 2 9、已知等边ABC 中，D、E 分别是 CA、CB 的中点，以 A、B 为焦点且过D、E 的椭圆和双曲线的离心 率分别为 1 e、 2 e，则 12 ee的值为（） A、2 3B、3 C、2 D、 3 2 10、 已知定义在R 上的函数fx、g x满足 x fxa g x（0a且1a） ，fx
4、g xfx gx， 其中0g x且 115 112 ff gg ，则在有穷数列 fn g n 中，任取前 k 项相加，和大于 63 64 的概率为 （） A、 1 5 B、 3 5 C、 4 5 D、 2 5 2 A C B O E D 二、填空题： 本大题共6 小题，考生作答5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （一）选做题（请考生在11,12,13 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分。 11、已知曲线C 的极坐标方程为2 3 cos，直线的极坐标方程为2cos3， 则它们相交所得的弦长等于； 12、如图，AB 是圆 O 的直径，过 A 作圆 O 的切线，在切线上取一点C，使
5、AC=AB， 连结 OC，与圆 O 交于点 E，若圆 O 的半径为1，则 AE= ； 13、对任意,x yR，111xxyy的最小值为； （二）必做题： （1416 题） 14、 在 2014 年 3 月 15 日那天，某市物价部门对市内的5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5 家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如下表所示： 价格 x9 9.5 10 10.5 11 销售量 y11 10 8 6 5 根据上表可得回归方程 $ 3.2yxa，则a= ； 15、 已知 1111 ABCDA B C D为单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为
6、“走 完一段”，白蚂蚁爬行的路线是 111 AAA DL，黑蚂蚁爬行的路线是 1 ABBBL，它们都 遵循如下规则： 爬行的第2i段与第i段所在直线必须是异面直线（其中iN ） ， 设黑白蚂蚁都走完2015 段后各停在正方体的某个顶点处，这时黑白蚂蚁的距离是； 16、已知 ABC 内一点 O 满足关系230OAOBOC uuu ruuu ruu u rr ，则: BOCCOAAOB SSS VVV = ； 三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分。解答应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤。 17、已知向量sin,1 cosmBB u r 与向量2,0n r 所成角为 3 ，其中 A、B、
7、C 分别是 ABC 的内角。 （ 1）求角 B 的大小； （ 2）求sinsinAC的取值范围。 18、某商家推出一款简单电子游戏，弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点和中心共7 个点中的三个位置上，用 S 表示这三个球为顶点的三角形的面积。规定：当三球共线时，S=0；当 S 最 大时，中一等奖，当 S 最小时，中二等奖，其余情况不中奖。一次游戏只能弹射一次。 （ 1）求甲一次游戏中能中奖的概率； （ 2）设这个正六边形的面积是6，求一次游戏中随机变量S的分布列及数学期望。 3 19、已知正数数列 n a满足 222 10 nn annann（nN） ，数列 n b的前 n
8、项和为 n S，且 满足 1 1b，21 nn Sb（nN） 。 （ 1）求数列 n a和 n b的通项公式； （ 2）设 21 n n n nb c a ，数列 n c的前 n 项和为 n T，求证： 2 1 n T。 20、 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA平面 ABCD，ACAD ，ABBC，BAC=45 ，PA=AD =2， AC=1。 （ 1）求二面角A-PC-D 的正弦值； （ 2）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线BE 与 CD 所成的角为30 ，求 AE 的长。 A C B D P 4 M B A N x y P Q F1 F2 O 21、设椭圆 1 C： 22 22
9、 1 xy ab （0ab）的左右焦点分别为 12 ,FF，下顶点为A，线段 OA 的中点为B（O 为坐标原点） ，如图，若抛物线 2 C： 2 1yx与 y 轴的交点为B，且经过点 12 ,FF。 （ 1）求椭圆 1 C的方程； （ 2）设 4 0, 5 M ，N 为抛物线 2 C上一动点，过点 N 作抛物线 的切线交椭圆于P、Q 两点，求 MPQ 面积的最大值。 22、已知函数 1 lnfxx x 。 （ 1）求曲线yfx在点 2,2f处的切线方程； （ 2）若 21 2g xfxaxx x 有两个不同的极值点，其极小值为M，试比较2M与3的大小， 并说明理由； （ 3）设2qp，求证：当
10、,xp q时， fxfpfxfq xpxq 。 5 O A B C B1 C1 100 所名校高考模拟金典卷 数学（一） 参考答案 110：ABDCB CBBAD 11、3；12、51；13、3；14、40；15、2；16、1:2:3。 15、 【解析】由题意，白蚂蚁爬行路线为 111111 AAA DD CC CCBBA，即过 6 段后又回到起 点，可以看作以6 为周期，由于2015335 65，白蚂蚁爬完2015 段后回到B 点； 同理，黑蚂蚁爬完2015 段后回到D 点；所以它们此时的距离为2。 16、 【解析】延长OB 至 1 B，使 1 BBOB；延长 OC 至 1 C，使 1 2C
11、COC； 连结 1111 ,ABACB C，如图所示，则 1 2OBOB u uu ruuu r ， 1 3OCOC uu uu ruuu r ， 由条件得 11 0OAOBOC u uu ruuu ruuuu rr ，所以 O 点是 11 AB C的重心， 从而 1111 1 3 B OCC OAAOB SSSS VVV （其中 S 表示 11 AB CV的面积）， 所以 1 9 COA SS V ， 1 6 AOB SS V ， 111 1111 22318 BOCB OCB OC SSSS VVV ， 因此 11 1 :1: 2:3 18 9 6 BOCCOAAOB SSS VVV 。
12、17、已知向量sin,1 cosmBB u r 与向量2,0n r 所成角为 3 ，其中 A、B、C 分别是 ABC 的内角。 （1）求角 B 的大小； （2）求sinsinAC的取值范围。 【解析】 （1） 因为sin,1cosmBB u r 与向量2,0n r 所成角为 3 ，所以 1cos 3 sin B B ，即tan3 2 B ； 又0 B ，所以有 23 B ，于是 2 3 B；6分 （2）由（ 1）得 13 sinsinsinsinsincos 322 ACAAAAsin 3 A ， 而0 3 A，所以 2 333 A，从而 3 sin,1 32 A 。 故sinsinAC的取值
13、范围为 3 ,1 2 。12分 18、某商家推出一款简单电子游戏，弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点和中心共7 个点中的三个位置上，用 S表示这三个球为顶点的三角形的面积。规定： 当三球共线时，S=0；当 S最大时， 中一等奖，当 S 最小时，中二等奖，其余情况不中奖。一次游戏只能弹射一次。 （1）求甲一次游戏中能中奖的概率； （2）设这个正六边形的面积是6，求一次游戏中随机变量S的分布列及数学期望。 【解析】（1）在一次游戏中，三个小球的落点所有可能的结果共有 3 7 35C种， 其中中一等奖的情况有2 种，中二等奖的情况有3 种， 于是若记 “ 一次游戏中能中奖” 为事
14、件 A， 则事件 A 发生的概率为 3 7 231 7 P A C 。5分 （2）依题意，S 的所有可能取值有0,1,2,3，且 3 0 35 P S， 18 1 35 P S， 12 2 35 P S， 2 3 35 P S，于是 S的分布列为 6 S 0 1 2 3 P 3 35 18 35 12 35 2 35 10 分 所以 31812248 0123 3535353535 ES。12 分 19、已知正数数列 n a满足 222 10 nn annann（nN） ，数列 n b的前 n 项和为 n S，且 满足 1 1b，21 nn Sb（nN） 。 （1）求数列 n a和 n b的通
15、项公式； （2）设 21 n n n nb c a ，数列 n c的前 n 项和为 n T，求证： 2 1 n T。 【解析】（1）对于数列 n a，由 222 10 nn annann可得 2 10 nn aann ， 由于数列 n a为正数数列，所以 2 n ann；3分 对数列 n b来说，由21 nn Sb，可得 11 21 nn Sb，两式相减，整理得 1 1 n n b b （非零常数） ， 所以数列 n b是一个等比数列，且公比为1； 又 1 1b，所以 1 1 n n b。6分 （2）由（ 1）知 21 n n n nb c a 1 21 1 1 n n n n = 1 11
16、1 1 n nn ，8 分 所以当 n 为奇数时， 1 111111 1122 nn cc nnnnnn ； 10 分 故 21234212nnn TccccccL = 111111 111 335212121nnn L。12 分 20、 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA平面 ABCD，ACAD ，ABBC，BAC =45 ，PA=AD=2， AC =1。 （1）求二面角A-PC-D 的正弦值； （2）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线BE 与 CD 所成的角为30 ， 求 AE 的长。 【解析】（1）依题设，可以以 A 为坐标原点，AD、AC、AP 所在直线分别为x 轴、 y 轴、
17、 z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示。 则有2,0,0D，0,1,0C， 1 1 ,0 2 2 B ，0,0,2P； 4 分 于是0,1, 2PC uuu r ，2, 1,0CD u uu r ，设平面 PCD 的法向量为, ,nx y z r ， 则由 0 0 n PC n CD r uuu r r uuu r可得 20 20 yz xy 2 2 yz yx ，取1z，即得1,2,1n r ； 又平面 PAC 的法向量为2,0,0AD uu u r （当然可用x 轴的方向向量1,0,0i r ） ， 所以 6 cos, 6 AD n AD n ADn uuu r r u uu r r
18、 uuu rr； 若设二面角A-PC-D 的大小为，则 2 30 sin1cos, 6 AD n uuu r r 。8 分 A C B D P y z x 7 （2）设AE h0,2 ，则 0,0,AEh uuu r ， 11 , 22 BEh u uu r ， 2, 1,0CD uuu r ， 则依题设知 2 33 cos, 2 1020 BE CD BE CD BECDh uuu r uuu r uu u r uu u r u uu ruuu r，解得 10 10 h。 故 AE 的长为 10 10 。12 分 22、已知函数 1 lnfxx x 。 （1）求曲线yfx在点 2,2f处的切
19、线方程； （2）若 2 1 2g xfxaxx x 有两个不同的极值点，其极小值为M，试比较2M与3的大小，并 说明理由； （3）设2qp，求证：当,xp q时， fxfpfxfq xpxq 。 【解析】（1）易知 2 11 fx xx ，所以 111 2 244 f； 又 1 2ln 2 2 f，所以曲线yfx在点2,2f处的切线方程为 11 ln 22 24 yx ， 即44ln 20xy；4 分 （2）由题设知 2 2lng xaxxx， 2 1221 22 axx gxax xx （0x） ； 因为g x有两个不同的极值点，所以0gx有两个不相等的实根 12 ,x x（ 12 xx）
20、， 即 2 2210axx有两个不相等的正根 12 ,x x（ 12 xx） ， 于是有 12 12 480 1 0 1 0 2 a xx a x x a ，解得 1 0 2 a；6 分 相应的， g x 在 1 0,x上单调递增，在 12 ,x x上单调递减，在 2, x上单调递增， 于是g x的极小值 2 2222 2lnMg xaxxx， 又因为 2 0gx 2 22 2210axx，且 2 112 2 a x a 1,， 所以 22 1 ln 2 Mxx（ 2 1x） 。 由于 2 2 22 11 10 x Mx xx ，所以 2 Mx在1,上单调递减， 从而 2 3 1 2 MxM，
21、故23M。9 分 （3）先证明：当 ,xp q 时， fxfp fx xp ； 即证 2 11 lnln 1 xp xxp xpx ，只需证 2 21 lnln10 pp xp xxp ； （*） 事实上，设x 2 21 lnln1 pp xp xxp （pxq） ， 8 M B A N x y P Q F1 F2O 则 x 3 2 0 xxp x ，所以x在,p q内递增， 所以有 0xp ，即（ * ）成立，从而 fxfp fx xp 成立。12 分 同理可证：当,xp q时， fxfq fx xq ； 综上即得当 ,xp q 时， fxfpfxfq xpxq 。13 分 21、设椭圆 1
22、 C： 22 22 1 xy ab （0ab）的左右焦点分别为 12 ,FF，下顶点为A，线段 OA 的中点为B（O 为坐标原点） ，如图，若抛物线 2 C： 2 1yx与 y 轴的交点为B，且经过点。 （1）求椭圆 1 C的方程； （2）设 4 0, 5 M ，N 为抛物线 2 C上一动点，过点 N 作抛物线的 切线交椭圆于P、Q 两点，求MPQ 面积的最大值。 【解析】由题意可知0, 1B，则0, 2A，故2b； 在抛物线方程 2 1yx中令0y，得1x， 则 1 1,0F， 2 1,0F，故1c； 于是 222 5abc， 从而椭圆 1 C的方程为 22 1 54 xy 。4分 （2）设
23、 2 ,1N t t，由 2 1yx得2yx， 于是直线PQ 的方程为 2 12ytt xt，即 2 21ytxt；6分 将其代入椭圆方程整理得 2 2222 4 1520151200txt txt；7 分 首先， 22 22242 400180 151480183ttttt0； 然后，若设交点 P、Q 的横坐标分别为 12 ,x x，则 2 122 51 15 t t xx t ， 2 2 12 2 5120 15 t x x t 。 9 分 故 242 2 2 1212 2 5 14183 144 15 ttt PQtxxx x t ； 设点 M 到直线 PQ 的距离为d，则 22 22 41 1 55 1414 tt d tt ， 所以 MPQ 的面积 2 242 2 2 1 5 14183 11 5 2215 14 t ttt SPQd t t 425 183 10 tt 2 25 984 10 t 5105 84 105 。 当 2 9t即3t时取到等号，经检验此时0，满足题意。 故MPQ 面积的最大值为 105 5 。13 分