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1、重庆市杨家坪中学2014-2015 学年高二上学期第一次月考数学 试题 总分： 150 分时间： 150 分钟 立体几何公式： 32 3 4 ,4 3 1 , 3 1 )(,2, RVRS hssssVshVshV lrrSrlSrlS 球球 台体柱体锥体 圆台侧圆柱侧圆锥侧 ）（ 一、选择题（每小题5 分，总分50 分） 1将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（） A一个圆台、两个圆锥B两个圆台、一个圆柱 C两个圆台、一个圆锥D一个圆柱、两个圆锥 2已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与l () A平行B相交C垂直D异面 3一个三棱锥, 如果它的底面是直
2、角三角形, 那么它的三个侧面( A.至多只能有一个直角三角形B.至多只能有两个是直角三角形 C.可能都是直角三角形D.必然都是非直角三角形 4 长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球 面上，这个球的表面积是（） A. B. C. D. 5一水平放置的平面图形的直观图如下图所示，则此平面图形的形状是（） 6如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( ) A36 B108 C 72 D180 、 x y O / A B C D 20050225220 7 一个正方体 的展开图如右图所示，A、 B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（） A错误！未找到引用
3、源。 B错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。相 交 C错误！未找到引用源。 D错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。所 成的角为 错误！未找到引用源。 8正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 AA1、AB 的中点， 则 EF 与对角面A1C1CA 所成的角的度数是() A30B45C60D150 9如图，过正方形ABCD的顶点 A作 PA 平面 ABCD ，设 PA AB a，则 平面 PAB和平面 PCD所成二面角的大小为（） A30B45C60D150 0 C 10.如图所示，在棱长为1 的正方体 1111 ABCDABC D的面 对角线 1 AB上存在一点P使得
4、1 APD P取得最小值，则此 最小值为（） 对角线 1 AB上存在一点P使得 1 APD P取得最小值，则此 最小值为（） A2B 62 2 C22D22 二、填空题（每小题5 分，共 25 分） B A P D 11已知圆锥的底面半径为2cm，高为1cm，则圆锥的侧面积是 2 cm 12下列四个命题： 两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点；经过空间任意三点有且只有一个平面； 过两平行直线有且只有一个平面；在空间两两相交的三条直线必共面。 其中正确命题的序号是 13已知三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q 分别在侧棱A1A 和 C1C 上，且 APC1Q， 则四棱锥 BAPQC 的
5、体积是 _（用含 V 的式子表示） 14如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形 实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。 如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图 2） 。有下列四个命题： A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P D若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）。 15 如图，在长方形ABCD中，4AB，2BC 现将ACD沿AC折起，使平面ABD 平面ABC，设E为AB中点，则异面直线AC和DE所成角的余弦值为
6、三、解答题（共6 个小题，总分75 分） 16 （本小题满分14 分）如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正 方体 1111 DCBAABCD 中分离出来的： （1）试判断 1 A是否在平面CDB1 内； （回答是与否） （2）求异面直线 11D B与DC1 所成的角； （3）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛多少体积 D C BA 第 15 题 E C D B A A E F M N B 17 （本小题满分14 分）下列三个图中， 左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观 图。右边两个是正视图和侧视图. （1）请在正视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（不
7、要求叙述作图过 程） ； （2）求该多面体的表面积（尺寸如图）. 18 （本题满分14 分）如右图，四棱锥PABCD 的底面是直角梯形，ABCD，ABAD， PAB 和 PAD 是两个边长为2的正三角形，DC4，O 为 BD 的中点， E 为 PA 的中点 (1)求证： PO平面 ABCD； (2)求证： OE平面 PDC ； (3)求二面角PABD 的平面角的余弦值 19 （本小题满分12 分）在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、 N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥 （I ）判别MN与平面AEF的位置关系，
8、并给出证明； （II ）求多面体E-AFNM的体积 20. （本小题满分12 分）如右图，平面ABCD平面ABEF，ABCD是正 方形，ABEF 是矩形，AF 1 2AD a，G是EF的中点 (1) 求证：平面AGC平面BGC； (2) 求GB与平面AGC所成角的正弦值 M N F E B C AD 21 （本小题满分12 分）如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r1，母线长l 4， M 为母线 SA上的一个点，且SMx，从点 M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A， 求： (1)设 f(x)为绳子最短长度的平方，求f(x)表达式； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大
9、值 DCCCCBAABD 11. 【答案】2 5 12. 【答案】 13. 【答案】 1 3V 14. 【答案】 BD 15. 【答案】 5 5 16. 解： （1）是 3分 （2）60 7分（补全正方体即得） （3） 3 6 1 2 1 3 1 111111 aaaaVV DCBCCDBC 12分 又AD平面 1 , ADEA F平面ADE，直线 1 /A F平面 ADE 考点：空间的点线面的位置关系的运用 点评： 解决的关键是利用角的定义以及几何体的体积来求解，属于基础题， 考查了空间想象 能力，以及计算能力。 17. 【答案】（1）（2） 4 35 21 【解析】 试题分析：（）作出俯视
10、图如下左图所示 7 分 俯视图 （若只画对外框，没有画对角线或对角线画错的, 给 3 分） （） 4 35 21 表 S 14 分 18. 解： (1)证明：设 F 为 DC 的中点，连接BF，则 DF AB. ABAD，AB AD，ABDC，四边形ABFD 为正方形 O 为 BD 的中点， O 为 AF、BD 的交点， PDPB2， PO BD， BDAD 2AB22 2， POPB 2BO2 2，AO 1 2BD 2， 又 P AB 为等边三角形，PM2sin60 3， PMAB， PMO 为二面角PABD 的平面角 在 RtPOM 中， cosPOM OM PM 1 3 3 3 . 二面
11、角 PABD 的平面角的余弦值为 3 3 . 19. 解析 (1) 证明：正方形ABCD?CBAB， 平面ABCD平面ABEF且交于AB， AB平面ABEF， AG，GB? 平面ABEF， CBAG，CBBG， 又AD2a，AFa，四边形ABEF是矩形， G是EF的中点， AGBG2a，AB 2a，AB 2 AG 2 BG 2， AGBG，BCBGB， AG平面CBG，而AG? 面AGC， 故平面AGC平面BGC. (2) 解：由 (1) 知平面AGC平面BGC，且交于GC， 在平面BGC内作BHGC，垂足为H， 则BH平面AGC， BGH是GB与平面AGC所成的角， 在 RtCBG中， BH
12、 BCBG CG BCBG BC 2 BG 2 23 3 a， 又BG2a， sin BGH BH BG 6 3 . 20. 【答案】（1）见解析；（2） 27 4 EAFMN V. 【解析】 翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来，然后考查立体几何的常 见问题：垂直、角度、距离、应用等问题. 此类问题考查学生从二维到三维的升维能力，考 查学生空间想象能力. 解决该问题时，不仅要知道空间立体几何的有关概念，还要注意到在 翻折的过程中那些量是不变的，那些量是变化的。 解： （1）因翻折后B、C、D重合（如图）， 所以MN应是ABF的一条中位线，3分 则 MNAF MNAEFMNAEF
13、 AFAEF 平面平面 平面 6 分 （2）因为 ABBE AB ABAF 平面BEF，8 分 且6,3ABBEBF， 9 A BEF V，10分 又 3 , 4 EAFMNAFMN EABFABC VS VS 27 4 EAFMN V12分 21. 【答案】（1）f(x)AM 2x216(0 x4) （2） 2 4 16 x x （3）32 【解析】 试题分析：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA 的长度 L就是 O 的周长， L2 r2. ASA 2 L l 360 2 24 36090 ， (1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM，其值为AM 2 16x(0 x 4) ， A E F M N B f(x)AM 2x216(0 x4) (2)绳子最短时， 在展开图中作SR AM， 垂足为 R， 则 SR的长度为顶点S到绳子的最短距离 在 SAM 中， SSAM 1 2 SA SM 1 2 AM SR ，