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1、人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 人教 A版选修 1-1 教案：3.2 立体几何中的向量方法第5 课时 （含答案） 综合问题 学校： 班级： 教师： 日期： 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识, 前面已经运用向量解决了 一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。 由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合 的优越性 。 【教学目标】： （
2、1）知识与技能： a 进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“ 三步 曲” ；继续 讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越 性； b 对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结 （2）过程与方法： 在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。 （2）情感态度与价值观： 体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。 【教学重点】： 坐标法与向量法结合. 【教学难点】： 适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何
3、中的向量方法第5 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 【教学过程设计】： 教学环节教学活动设计意图 一、复习引 入 教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生一定 时间，使其通过思考能明确认识“三步曲”各阶段的主要任务，并能简明 地叙述出来，为对本节后续内容的整体把握作准备坐标法。 立体几何中的向量方法可以归纳为三步： ( l ）由向量运算解释几何问题。 ( 2 ）进行向量运算； 3 ）把几何问题转化为向量问题； 有助于加强学生对 解题通法的整体认 识 二、问题与 探究 一、问题探究 问题1 ：阅读课本上的例4 ，请
4、你找出其中的已知条件和求解问 题这些求解问题能用向量方法解决吗？ 学生独立阅读并分析题意，教师引导学生认识到本题具有一定的综合 性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都可以利 用向量解决 问题 2 ：从例 4 的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向 量化？如果建立坐标系，应怎样建立？ 教师引导学生关注己知条件中有“ 三条线段两两垂直且彼此相等” 这 一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正 方形边长） 为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是适合本题的坐 标化方法教师要求学生写出点P , A ，, D , E 的坐标并进一 步写出 PBPA,
5、 等的坐标 问题 3 ：考虑例4 ( 1 ) ，要证平面，应如何入手？ 教师从 “ 平面” 出发，启发学生考虑直线与平面平行的判 定条件， 引导学生通过讨论发现PA 与有平行关系，从而自然地想到 写出的坐标，并由k 证出，进而证出平面。 问题 4 ：考虑例4 ( 2 ) ，要证平面，应如何人手？ 教师从 “ 平面出发” ，启发学生考虑直线与平而垂直的判 定条件， 让学生讨论： 应证明 PB 与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？ 在讨论的基础上，由学生自己写出主要证明过程，即（已知） ， ， 平面 通过阅读题目， 使学生 明确题中所给出的条 件和求解的问题， 从需 要完成的任务理出本 题可以用向最
6、解决的 大体思路 初步建立已知条件与 求解内容两者间的联 系，使学生意识到通过 把向量坐标化解决问 题，培养他们结合题中 条件建立适当坐标系 的能力 找出这条直线的过程 可以锻炼直觉观察能 力；证明两线平行可以 巩固对直线的方向向 量、共线向量等概念的 理解 找出这两条直线的过 程可以锻炼分析已知 条件以及看图能力； 证 明直线间的垂直关系 的过程可以巩固对两 非零向量的“ 数量积 为 0 ” 的几何意义的认 识。 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 问题5 ：考
7、虑例4( 3 ) ，求二面角的大小，应如何 人手？ 教师从 “ 计算二面角C 一 PB 一 D 的大小 ” 出发，启发学生如何找出 相应的平面角，让学生讨论：哪个角是二面角C 一 PB 一 D 的平面角， 用向量方法怎样计算它的大小？ 教师引导学生考虑：点F 的坐标对计算是否垂要？怎样利用题中条 件确定点F 的坐标？ 让学生通过讨论写出确定点F 坐标的过程，再进一步考虑并表达通 过 cos EFD 计算 EF 的过程 问题 6 ：考虑例4 后的思考题 学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨沦，教师适当点拨 引导注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法 二、问题解答 解： 如课本
8、图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1) 证明：连结AC,AC交 BD于点 G,连结 EG 计算二面角的大小， 首 先要找出其平面角， 转 而 计 算 平 面 角 的 大 小计算角的大小时， 向量是非常有力的工 具解决这个问题可以 巩固对运用向量方法 求角度的掌握 思考题1 可以使学生 进一步体会向量方法 中坐标化对简化计算 所起的作用思考题2 可以加强不同方法之 间的联系 (1,0,0),(0,0,1), 1 1 (0,) 22 AP E 依题意得 )0 2 1 , 2 1 (，的坐标为故点 是此正方形的中心，所以点 是正方形，因为底面 G G ABCD )1, 1 ,
9、1(),0, 1 , 1 (2PBB）证明：依题意得（ 0 2 1 2 1 0), 2 1 , 2 1 , 0(DEPBDE故又 DEPB所以 , , EDEEF PBEF 且 由已知 EFDPB平面所以 ) 2 1 , 0, 2 1 (),1, 0, 1(EGPA且EGPAEGPA/2，即所以 EDBPAEDBEG平面且平面而, EDBPA平面所以，/ 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） C A D B O E 三、小结立体几何中的不同方法 教师引导学生进行归纳
10、，了解各种方法的特点及联系，认识到应根据 问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套 加深对不同方法 （综合 法、向量法、坐标法） 的特点和联系的认识 三、训练与 提高 1，练习题3 。 （解略） 2，如图，四面体ABCD中， O、E 分别是BD 、BC的中点， 2BDCDCBCA 2ADAB （I）求证： AO 平面 BCD ； （ II）求异面直线AB 与 CD 所成角的余弦值。 解： （I）略 （II）以 O 为原点，如图建立 空间直角坐标系，则 (1,0,0),( 1,0,0),BD 学生进行提高训练 应用 . 的平面角。是二面角故 ）可知由（）解：已知（ DPBCEFD DFPBEFP
11、B,2,3 ) 1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点 PBkPF因为 ( , ,1)(1,1, 1) ( , ,) x y zk k kk 所以 kzkykx1,即 0DFPB因为 0131 )1 ,()1, 1 ,1( kkkk kkk所以 3 1 k所以 ) 6 1 , 6 1 , 3 1 (FE所以 2 1 3 1 6 1 3 6 6 6 ) 3 2 , 3 1 , 3 1 () 6 1 , 6 1 , 3 1 ( cos FDFE FDFE EFD因为 .60,60 的大小为即二面角所以DPBCEFD ) 3 2 3 1 3 1 (，的坐标为点F) 2 1 , 2 1 , 0(
12、的坐标为又点 E x C A B O D y z E 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 13 (0,3,0),(0,0,1),(,0),( 1,0,1),( 1,3,0). 22 CAEBACD .2 cos, 4 BACD BA CD BA CD 异面直线AB 与 CD 所成角的余弦值为 4 2 。 四、小结 解决立体几何问题的三种方法： 1， 综合方法； 2， 向量方法； 3， 坐标方法。 反思归纳 五、作业 习题 3. A 组 9、10、 12 题。 练习
13、与测试： （基础题） 1，过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD，若PAAB， 则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是（） A30B45C60D90 答： B 2，设 P是60的二面角l内一点，,PAPB平面平面,AB 为垂足，4,2 ,PAPB则AB的长为 （） A2 3 B2 5 C 2 7 D4 2 答： C 3，如下图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN 上，且分MN所成的定比为2，现用基向量、表示向量，设=x+y+z， 则x、y、z的值分别为 A.x=,y=,z= B.x=,y=,z= 人教 A 版选修 1-1
14、教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） C.x=,y=,z= D.x=,y=,z= 解析：=,=, =(+)=+, =+, =+, =+=+ +. 答案： D 4. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=a， 则MN与平面BB1C1C的位置关系是 A.相交B.平行 C.垂直D.不能确定 解析： 因为正方体的棱长为a, 故面对角线A1B=AC=a. 而A1M=AN=a，所以M、N分别是A1B和AC上的 三等分点 . 在B1B、BC上各取点E、
15、F，使得B1E=BF=a. 则= +. 但=()=， = ()=， += + =+=0， 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） D1 C1 B1 C D B A A1 E F =，即MNEF， MN平面BB1C1C. 答案： B （中等题） 5，如图 ,在长方体ABCD A1B1C1D1中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且 EB= FB=1 ，.求直线 EC1与 FD1所成的余弦值 . 解：以 1 ,DA
16、DC DD分别为, ,x y z轴建立坐标系，则E（3，3， 0） 、 C1（0，4，2） 、 D1（0，0， 2） 、F（2，4，0）.从而 1 EC（ 3，1，2） 、 1 FD （ 2， 4， 2） 所以直线EC1与 FD1所成的余弦值为 11, cosFDEC | 11 11 FDEC FDEC 14 21 6，在直三棱柱 111 CBAABC中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧 棱2 1 AA，ED,分别是 1 CC，与BA1 的中点，点E在平面ABD上的射影是 ABD的重心G， （1）求BA1 与平面ABD所成角的正弦值； （2）求点 1 A到 平面ABD的距离 解：建立如图的
17、空间直角坐标系，设 1( ,0,0) A a， 则 1(0, ,0) Ba，( ,0,2)A a，(0, ,2)Ba，(0,0,2)C， ED,分别是 1 CC，与BA1 的中点， (0,0,1),(,1) 2 2 a a DE，G是ABD的重心， 5 (, ) 3 3 3 a a G， 2 (,) 6 63 a a EG，( ,0)ABaa， (0, 1)ADa，EG平面ABD，,EGAB EGAD 得 2a ，且BA1与平面 ABD所成角EBG， 6 | 3 EG， z G E D C1 B1 A1 C B A x y 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课
18、时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 1 1 3 2 BEBA， 2 sin 3 EG EBG BE ， （2）E是BA1的中点， 1 A到平面ABD的距离等于E到平面ABD的距离的两倍， EG平面ABD， 1 A到平面ABD的距离等于 26 2| 3 EG 小结：根据线段BA1和平面ABD的关系，求点 1 A到平面ABD的距离可转化为求E到平面ABD的 距离的两倍 （难题） 7，如图 , 在棱长为1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD， H为C1G的中点，应用空间向量的运算
19、方法解决下列问题. (1) 求证：EFB1C； (2) 求EF与C1G所成的角的余弦； (3) 求FH的长 . 分析：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角 及线段的长度. 解：如图建立空间直角坐标系Oxyz,D为坐标原点O，依据已知有E(0 ，0，) ，F(，0) ， C(0 ， 1，0)，C1(0 ，1，1) ，B1(1，1， 1)，G(0 ，0) (1) 证明：=(，0)(0 ，0，)=(，) ， =(0，1，0)(1 ，1，1)=( 1，0， 1)， 由 =( 1)+0+() ( 1)=0， 得， EFB1C. (2) 解：=(0，0) (0，1，1)=(
20、0 ， 1) ，|= =， 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第5 课时（含答案） 由(1) 得|=， 且=0+( )+( ) ( 1)=， cos,=. (3) 解：H是C1G的中点 , H(,), 即(0,). 又F(，0), FH=|=. 8，已知正四棱柱 1111 ABCDA B C D, 1 1,2,ABAA点E为 1 CC的中点，点F为 1 BD的中点， （1）证明 :EF为异面直线 11 BDCC与的公垂线； （2）求点 1 D到平面BDE的距离 解： （ 1）以 1 ,DA DC DD分别为, ,x y z轴建立坐标系， 则(1,1,0)B， 1(0,0, 2) D，(0,1,1)E， 1 1 (,1) 2 2 F， 11 (,0) 22 EF， 1 (0,0, 2)CC， 1 (1,1, 2)BD， 11 0,0EF BDEF CC， EF为异面直线 11 BDCC与的公垂线 （2）设(1, , )nx y是平面BDE的法向量，(1,1,0)DB，(0,1,1)DE 10n DBx，0n DExy，(1, 1,1)n， 点 1 D到平面BDE的距离 1 |2 3 3| BDn d n F E 1 1 1 1 D C B A D C B A