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1、章末复习课 整合 网络构建 警示 易错提醒 1线性回归方程中的系数及相关指数R 2，独立性检验统计量 K2 公式复杂，莫记混用错 2在独立性检验中，当K 26.635 时，我们有 99.9%的把握认为 两分类变量有关，是指“两分类变量有关”这一结论的可信度为99% 而不是两分类变量有关系的概率为99%. 3相关系数r 是判断两随机变量相关强度的统计量，相关指数 R2是判断线性回归模型拟合效果好坏的统计量，而 K2是判断两分类变 量相关程度的量，应注意区分 专题一回归分析思想的应用 回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系， 并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化如果两个变量非线
2、性 相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题 例 1 一个车间为了规定工时定额， 需确定加工零件所花费的时 间，为此进行了10 次试验，测得的数据如下表所示： 零件数 x/个102030405060708090100 加工时间 y/min 627275818595103108112127 (1)画出散点图，并初步判断是否线性相关； (2)若线性相关，求线性回归方程； (3)求出相关指数； (4)作出残差图； (5)进行残差分析； (6)试制订加工 200个零件的用时规定 解：(1)散点图，如图所示： 由图可知， x，y 线性相关 (2)x 与 y的关系可以用线性回归模型来拟合，不妨
3、设回归模型为 y a b x.因为 x 55， y 92， 0670， a y b x 92 553 82555 827 15 55.133. 故线性回归方程为 y 0.670x55.133. (3)利用所求回归方程求出下列数据： yi61.83368.53375. 23381.93388.633 yiyi0.1673.4670.2330.9333.633 yi y 302017117 yi95.333102.033108.733115.433122.133 yiyi0.3330.9670.7333.4334.867 yi y 311162035 (4)因为 eiyiyi，利用上表中数据作出残
4、差图，如图所示： (5)由散点图可以看出x 与 y有很强的线性相关性， 由 R 2 的值可以 看出回归效果很好 由残差图也可观察到，第2，5，9，10 个样本点的残差比较大， 需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误 (6)将 x200代入回归方程， 得y 189，所以可以制订 189 min 加 工 200个零件的规定 归纳升华 建立回归模型的一般步骤： (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变 量； (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的 关系(如是否存在线性关系 )； (3)由经验确定回归方程的类型，如我们观察到数据呈线性关系， 选用线性
5、回归方程 y a b x； (4)按一定规则估计回归方程中的参数； (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大， 或残差呈现不随机的规律性，等等)，若残差存在异常，则应检查数据 是否有误，或模型是否合适等； ( 6)依据回归方程做出预报 变式训练 某商场经营一批进价是30 元/台的小商品，在市场试 验中发现，此商品的销售单价x(x 取整数 )元与日销售量 y 台之间有如 下对应数据： 单价 x/元35404550 日销售 y/台56412811 (1)画出散点图并说明y 与 x 是否具有线性相关关系？如果有，求 出线性回归方程 (方程的斜率保留一个有效数字)； (2)设经营此
6、商品的日销售利润为P 元，根据(1)写出 P 关于 x 的函 数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利 润 解：散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直 线附近，因此两个变量具有线性相关关系 设回归直线方程为 y ab x，由题意知 x 42.5， y 34, a y b x 34(3)42.5161.5. 所以 y 3x161.5. (2)依题意有： P(3x161.5)(x30)3x 2251.5x4 8453 x251.5 6 2 251.5 2 12 4 845. 所以当 x251.5 6 42 时，P 有最大值 即预测销售单价约为42 元时，能获得最
7、大日销售利润 专题二独立性检验的应用 独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分 析方法常用等高条形图来直观反映两个分类变量之间差异的大小； 利用假设检验求随机变量K 2 的值能更精确地判断两个分类变量间的相 关关系 例 2 为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随 机抽取了 50 名市民进行调查，他们月收入(单位：百元 )的频数分布及 对楼市限购令的赞成人数如下表所示： 月收入15，25)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75) 频数510151055 赞成 人数 488521 将月收入不低于55 的人群称为“高收入族”，有收入低于55 的 人群称
8、为“非高收入族” (1)已知：K2 （abcd）（adbc） 2 （ab）（cd）（ac）（bd），当 K 22.706 时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2 2.706 时，有90%的把握判断赞成楼市限购令与收入高低有关；当 K 23.841，有 95%的把握判断定赞不赞成楼市限购令与收入高低有 关；当 K26.635 时，有 99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入 高低有关 根据已知条件完成下面的22 列联表，有多大的把握认为赞不赞 成楼市限购令与收入高低有关？ 分类非高收入族高收入族总计 赞成 不赞成 总计 (2)现从月收入在 55，65)的人群中随机抽取两人
9、， 求所抽取的两人 中至少一人赞成楼市限购令的概率 解：(1)22 列联表如下表所示： 分类非高收入族高收入族总计 赞成25328 不赞成15722 总计401050 K2 50（257153） 2 40102228 3.43，故有 90%的把握认为楼市限购 令与收入高低有关 (2)设“从月收入在 55，65)的 5 人中随机抽取 2 人，其中至少有 1 人赞成楼市限购令 ”为事件 A，则事件 A 含有基本事件数为C2 5C 2 3 7，从 5 人中任取 2 人所含基本事件数为C 2 510，因此所求概率为 7 10. 归纳升华 (1)判断两个分类变量之间是否有关系可以通过等高条形图作粗略 判
10、断，需要确知所作判断犯错误的概率情况下，可进行独立性检验， 独立性检验可以得到较为可靠的结论 (2)独立性检验的一般步骤： 根据样本数据制成22 列联表； 根据公式计算K2的值； 比较 K2与临界值的大小关系，做出统计推断 变式训练 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关 系，得到如下数据试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有 关系？ 性别晚上白天总计 男婴243155 女婴82634 总计325789 解：由公式 K2 （abcd）（adbc） 2 （ab）（cd）（ac）（bd）计算得 K2 89（2426831） 2 55343257 3.69， 由于 K22.706， 所以只
11、有 90%的把握说明婴儿出生的时间与性别 有关，故婴儿的出生的时间与性别是相互独立的(也可以说没有充分的 证据显示婴儿的性别与其出生时间有关) 专题三数形结合思想 数形结合思想在统计中的应用主要是将收集到的数据利用图表的 形式表示出来，直观地反映变量间的关系 例 3 为了解铅中毒病人是否有尿棕色素增加现象，分别对病人 组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下，问铅中毒病人和 对照组的尿棕色素阳性数有无差别？ 组别阳性数阴性数总计 铅中毒病人29736 对照组92837 总计383573 解：由上述列联表可知，在铅中毒病人中尿棕色素为阳性的占 80.56%，而对照组仅占24.32%.说明他们
12、之间有较大差别 根据列联表作出等高条形图由图可知，铅中毒病人中与对照组相 比较，尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性 存在关联关系 归纳升华 收集数据、整理数据是统计知识处理问题的两个基本步骤，将收 集到的数据利用图表的形式整理出来，能够直观地反映变量之间的关 系在精确度要求不高的情况下，可以利用散点图、等高条形图等对 两个变量之间的关系做出判断 变式训练 根据如下样本数据： x 345678 y 4.02.50.50.52.03.0 得到的回归方程为 y bxa，则( ) Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b0 解析： 根据题中表内数据画出散点图如图所示，由散点图可知b 0，a0. 答案： B