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1、全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 1 - 绝密 启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国1 卷） 数学（理科） 注意事项： 1.本试卷分第卷(选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分 .第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第卷 一. 选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. （1）设集合 2 430Ax xx， 230xx
2、，则A BI （A） 3 3, 2 （B） 3 3, 2 （C） 3 1, 2 （D） 3 ,3 2 【答案】 D 考点：集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题 .解决此类 问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域 及值域有关数集之间的运算，常借助数轴进行运算. （2）设 (1i)1ixy ，其中x，y实数，则i =xy （A）1 （B） 2 （C）3（D）2 【答案】 B 【解析】 试题分析：因为(1)=1+,xiyi所以=1+, =1,1,| =|1+ |2,xxiyi xyxxyii故选 B. 考点：复数
3、运算 【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现，属得分题 .高考中 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 2 - 复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义，共轭复数，复数的模及复 数的乘除运算，这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是 2 i1中的负 号易忽略，所以做复数题要注意运算的准确性. （3）已知等差数列 n a前 9 项的和为27， 10 8a，则 100 a （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】 C 【解析】 试题分析： 由已知， 1 1 93627, 98 ad ad 所以 11001 1,
4、1,9919998,adaad故 选 C. 考点：等差数列及其运算 【名师点睛】我们知道，等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组 公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量 的方程（组） ，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想 解决数列问题是一种行之有效的方法. （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是 （A） 1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 【答案】 B
5、考点：几何概型 【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型，求解几何概型问题的关键是确定“测度”， 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 3 - 常见的测度由：长度、面积、体积等. （5）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几 何体的体积是 28 3 ，则它的表面积是 （A）17（B）18（C）20（D）28 【答案】 A 【解析】 试题分析：该几何体直观图如图所示： 是一个球被切掉左上角的 1 8 ，设球的半径为R， 则 37428 VR 833 ，解得R2， 所以它的表面积是 7 8 的球面面积和三个扇形面积之和 22 71
6、=42 +32 =17 84 S故选 A 考点：三视图及球的表面积与体积 【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力，所以以三视图为载体的立体 几何题基本上是高考每年必考内容，高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交 汇.由三视图还原出原几何体，是解决此类问题的关键. （6）已知方程 22 22 1 3 xy mnmn 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则 n 的取值范围是 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 4 - （A）1,3（B） 1,3（C）0,3（D）0,3 【答案】 A 考点：双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题
7、学生出现，主要考查双曲线几何性质，属于基 础题 .注意双曲线的焦距是2c 不是 c，这一点易出错 . （7）函数 2 2 x yxe在 2,2的图像大致为 （A）（B） （C）（D） 【答案】 D 考点：函数图像与性质 【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题，这 类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 5 - 方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项. （8）若101abc，则 （A） cc ab （ B） cc abba （C）loglog
8、ba acbc（D）loglog ab cc 【答案】 C 【解析】 试题分析：用特殊值法，令3a，2b， 1 2 c得 11 22 32，选项 A 错误， 11 22 3223，选项 B错误， 23 1 3log2log2 2 ，选项 C 正确， 32 11 loglog 22 ， 选项 D 错误，故选 C 考点：指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指 数函数或对数函数单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较. （9）执行右面的程序框图，如果输入的011xyn，则输出 x，y 的值满足 （A）2yx（B）3yx（C）
9、4yx（D）5yx n=n+1 结束 输出 x,y x2+y2 36？ x=x+ n-1 2 ， y=ny 输入 x,y,n 开始 【答案】 C 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 6 - 考点：程序框图与算法案例 【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点，一般以客观题形式出现，难度不大， 求解此类问题一般是把人看作计算机，按照程序逐步列出运行结果. (10)以抛物线 C的顶点为圆心的圆交C于 A、 B两点，交 C的准线于 D、 E两点 .已知 | AB|=4 2， | DE|=2 5，则 C的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答
10、案】 B 考点：抛物线的性质. 【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算，注意解析几何问题中最容易出现运算错 误，所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性，基础题失分过多是相当一部分学生 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 7 - 数学考不好的主要原因. (11)平面过正方体ABCD -A1B1C1D1的顶点 A，/ 平面 CB1D1，I平面 ABCD=m，I 平面 AB B1A1=n， 则 m、n 所成角的正弦值为 (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 1 3 【答案】 A 【解析】 试题分析：如图，设平面 11 CB DI平面ABCD=m
11、， 平面 11 CB DI平面 11 ABB A=n，因 为/ /平面 11 CB D，所以 / /,/ / mm nn，则,m n所成的角等于,m n所成的角 .延长 AD，过1D作 11 / /D EB C，连接 11 ,CE B D，则CE为m，同理 11 B F为n，而 111 / /,/BDCE B FA B，则,m n所成的角即为 1 ,A B BD所成的角，即为60，故,m n 所成角的正弦值为 3 2 ，选 A. 考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角. 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角，求异面直线所成角的步骤是：平移 定角、连线成形，解形求角
12、、得钝求补. （12）.已知函数( )sin()(0), 24 f xx+x，为( )f x的零点， 4 x为 ( )yf x图像的对称轴，且( )f x在 5 18 36 ，单调，则的最大值为 （A）11 （B）9 （C） 7 （D）5 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 8 - 【答案】 B 考点：三角函数的性质 【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查，叙述方式新颖，是 一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结 论: sin0,0fxAxA 的单调区间长度是半个周期;若 sin0,0fxAxA 的图像关于直线 0 xx 对称，则 0
13、 fxA 或 0 fxA. 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 (22)题第 (24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分 (13)设向量 a=(m，1)，b=(1，2)，且| a+b| 2=| a|2+| b|2， 则 m= . 【答案】 2 【解析】 试题分析：由 222 |abab，得ab，所以1 1 20m，解得2m. 考点：向量的数量积及坐标运算 【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现，属于基础题 .解决此类问题既要准确记 忆公式，又要注意运算的准确性.本题所用到的主要
14、公式是：若 1122 ,x yxyab ， 则 1122 x yx ya b . (14) 5 (2)xx的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案） 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 9 - 【答案】10 考点 :二项式定理 【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项 1r T ，再确定 r 的值，从而 确定指定项系数. （15）设等比数列 n a满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2an的最大值为 【答案】64 【解析】 试题分析： 设等比数列的公比为 q， 由 13 24 10 5 aa aa 得， 2 1 2 1 (1)10
15、(1)5 aq a qq ，解得 1 8 1 2 a q . 所以 2(1)17 1 2(1) 222 121 1 8()2 2 n n nn nnn n a aaa q L L，于是当3n或4时， 12n a aaL取得最大值 6 264. 考点：等比数列及其应用 高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点，在解答时要注意方程思想及数列相关性质 的应用，尽量避免小题大做. （16）某高科技企业生产产品A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲 材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时； 生产一件产品B 需要甲材料0.5kg，乙材料 0.3kg， 用 3 个工时生产一件产
16、品A 的利润为2100 元，生产一件产品B 的利润为 900 元该企业 现有甲材料150kg，乙材料 90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品 B 的利润之和的最大值为元 【答案】216000 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 10 - 作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图），即可行域 . 考点：线性规划的应用 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 11 - 【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是 给出约束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距
17、离、点 到直线的距离，解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大，失分的一个主要原因是 运算失误 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分为12 分） ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos( coscos ).C aB+bAc （I）求 C； （II）若7,cABC的面积为 3 3 2 ，求ABCV的周长 【答案】（I）C 3 （II）57 【解析】 试题分析：（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得 1 cosC 2 ，故C 3 ； （II）根据 13 3 sin C 22 ab及C 3 得6ab再利用余弦定理得 2 25ab再
18、根据7c 可得C的周长为57 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 12 - 考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式， sinsin,coscos ,ABCABCtantanABC ，就是常用的结论，另 外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式，常考虑对其实施“边化角”或 “角化边 .” （18） （本小题满分为12 分）如图，在以 A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中， 面 ABEF为正方形，AF=2FD，90AFD o ， 且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60 o （I）证明：平面ABEF
19、平面 EFDC ； （II）求二面角E -BC-A 的余弦值 【答案】（I）见解析（ II） 2 19 19 C D F 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 13 - 试题解析：（I）由已知可得 FDF，FF ，所以 F 平面FDC 又 F 平面 F， 故平面 F 平面FDC （II）过D作DGF，垂足为G，由（ I）知DG平面 F 以G为坐标原点，GF uu u r 的方向为x轴正方向，GF uu u r 为单位长度，建立如图所示的空间 直角坐标系Gxyz 由（ I）知 DF 为二面角 DF 的平面角，故DF60o，则DF2， DG3，可得1,4,0，3,4,
20、0，3,0,0，D 0,0,3 由已知，/ F，所以/平面FDC 又平面CD I平面FDCDC，故/CD，CD/ F 由/F，可得平面FDC，所以C F为二面角CF的平面角， C F60 o从而可得 C2,0,3 所以 C1,0,3 uu u r ，0,4,0 uu u r ， C3, 4,3 u uu r ，4,0,0 uuu r 设, ,nx y z r 是平面C的法向量，则 C0 0 n n uu u r r uu u r r ，即 30 40 xz y ， 所以可取 3,0,3n r 设m r 是平面CD的法向量，则 C0 0 m m uuu r r uuu r r ， 同理可取 0,
21、3, 4m r 则 2 19 cos, 19 n m n m n m rr r r rr 故二面角C的余弦值为 2 19 19 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 14 - 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明，空间中线面位置关系 的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空 间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大， 以中档题为主.第二问一般考查角度问题，多用空间向量解决. （19） （本小题满分12 分）某公司计划购买2 台机器，该
22、种机器使用三年后即被淘汰.机器 有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器 使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个 易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下 面柱状图： 以这 100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件 数. （I）求X的分布列； （II）若要求()0.5P Xn，确定n的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，
23、在19n与20n之中选其一，应 选用哪个？ 【答案】（I）见解析（ II）19（III）19n 【解析】 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 15 - 试题分析：（I）先确定 X的取值分别为16，17，18，18，20，21，22，再 用相互独立事件概率模型求概率，然后写出分布列； （II）通过频率大小进行比较；（III）分 别求出 n=9，n=20 的期望，根据19n时所需费用的期望值小于20n时所需费用的期 望值，应选19n. 所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P04. 016. 024.024.02 .008.004.0 （）
24、由（）知44.0)18(XP，68.0)19(XP，故n的最小值为19. （）记Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当19n时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019EY 404004.0)500320019(. 当20n时， 04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020EY4080. 可知当19n时所需费用的期望值小于20n时所需费用的期望值，故应选19n. 考点：概率与统计、随机变量的分布列 【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查，有一定综合性 但难度不是太大大，求解关键是
25、读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题. 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 16 - （20）. （本小题满分12 分）设圆 22 2150xyx的圆心为A，直线 l 过点 B （1，0） 且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B作 AC的平行线交AD 于点 E . （I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程； （II）设点 E的轨迹为曲线C1， 直线 l 交 C1于 M，N 两点，过 B且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】（）1 34 22 yx （0y） （ II）)
26、38 ,12 试题解析：（）因为|ACAD，ACEB/，故ADCACDEBD， 所以|EDEB，故|ADEDEAEBEA. 又圆A的标准方程为16)1( 22 yx，从而4| AD，所以4|EBEA. 由题设得)0 , 1(A，)0, 1(B，2| AB，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为： 1 34 22 yx （0y） . （）当l与x轴不垂直时，设l的方程为)0)(1(kxky，),( 11 yxM，),( 22 yxN. 由 1 34 ) 1( 22 yx xky 得01248)34( 2222 kxkxk. 则 34 8 2 2 21 k k xx， 34 124 2 2 21 k k
27、xx. 所以 34 )1(12 |1| 2 2 21 2 k k xxkMN. 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 17 - 过点)0, 1(B且与l垂直的直线m：)1( 1 x k y，A到m的距离为 1 2 2 k ，所以 1 34 4) 1 2 (42| 2 2 2 2 2 k k k PQ.故四边形MPNQ的面积 34 1 112| 2 1 2 k PQMNS. 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为)38 ,12. 当l与x轴垂直时，其方程为1x，3|MN，8|PQ，四边形MPNQ的面积 为 12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为
28、)38 ,12. 考点：圆锥曲线综合问题 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线 的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值 范围等几部分组成，.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决这类问题要重视方 程思想、函数思想及化归思想的应用. （21） （本小题满分12 分）已知函数 2 21 x fxxea x有两个零点 . (I)求 a 的取值范围； (II)设 x1，x2是fx的两个零点，证明： 12 2xx. 【答案】(0,) 试题解析 ;（）( )(1)2 (1)(1)(2 ) xx fxxea xxea 全国
29、高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 18 - （i）设0a，则( )(2) x fxxe，( )f x只有一个零点 （ii） 设0a，则当(,1)x时，( )0fx； 当(1,)x时，( )0fx 所以( )f x 在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 又(1)fe，(2)fa，取b满足0b且ln 2 a b，则 22 3 ( )(2)(1)()0 22 a f bba ba bb， 故( )f x存在两个零点 （iii）设0a，由( )0fx得1x或ln( 2 )xa 若 2 e a，则ln( 2 )1a，故当(1,)x时，( )0fx，因此( )f x在(
30、1,) 上单调递增又当1x时，( )0f x，所以( )f x不存在两个零点 若 2 e a，则ln( 2 )1a，故当(1,ln( 2 )xa时，( )0fx；当(ln( 2 ),)xa 时，( )0fx 因此( )f x在(1,ln( 2 )a单调递减，在(ln( 2 ),)a单调递增又当1x 时，( )0f x，所以( )f x不存在两个零点 综上，a的取值范围为(0,) 考点：导数及其应用 【名师点睛】 ，对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题，通常要根据参数进行分类 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 19 - 讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏
31、、最简；，解决函数不等式的证明问题的思路 是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解. 请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时 请写清题号 （22） （本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲 如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120 .以 O 为圆心， 1 2 OA为半径作圆 . (I)证明：直线AB与eO 相切； (II)点 C，D 在 O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明： ABCD. O D C B A 【答案】 (I)见解析 (II)见解析 试题解析：（）设 E是AB的中点， 连结OE， 因为,120OAOBAOB，所
32、以OEAB，60AOE 在Rt AOE中， 1 2 OEAO，即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以直线AB 与O相切 E O D C O B A 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 20 - （）因为2OAOD，所以O不是,A B C D四点所在圆的圆心，设O是,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线OO 由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以 OOAB 同理可证，OOCD所以/ABCD 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明 【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制，在证明时要抓好“长度关系”与“角 度关系的转化”，
33、熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理； 三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理. （23） （本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy 中，曲线 C1的参数方程为 cos 1sin xat yat （ t 为参数，a0） 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： =4 cos . （I）说明 C1是哪一种曲线， 并将 C1的方程化为极坐标方程； （II）直线 C3的极坐标方程为 0， 其中 0满足 tan0=2， 若曲线 C1与 C2的公共点都 在 C3上， 求 a 【答案】（I）圆， 22
34、2sin10a（II）1 2 4cosC ：，两边同乘得 2222 4coscosxyxQ， 22 4xy x ， 即 2 2 24xy 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 21 - 3 C：化为普通方程为2yx ，由题意： 1 C和 2 C的公共方程所在直线即为 3 C 得： 2 4210xya，即为 3 C 2 10a，1a 考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想，解题时应熟记 极坐标方程与参数方程的互化公式及应用. （24） （本小题满分10 分） ，选修 45：不等式选讲 已知函数123fxxx. （I）在答题卡第（24）题图中画出yfx的图像； （II）求不等式1fx的解集 【答案】（I）见解析（ II） 1 135 3 UU， 试题解析：如图所示： 全国高考数学 (理科 )试题及答案 -全国 1 卷(解析版 ) - 22 - 考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法 【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等 式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的 解集一定要写出集合形式.