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1、文科数学试卷 绝密 启封并使用完毕前 试题类型： A 普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1.本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效 . 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第卷 一选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 . 1. 设集合1,3,5,7A，| 25Bxx，则ABI（） A.1,3B. 3,5C. 5,7D. 1,7 2. 设
2、(12 )()iai的实部与虚部相等，其中a为实数，则a（） A. 3 B. 2 C. 2D. 3 3. 为美化环境，从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在 另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 4. ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c，已知5a，2c， 2 cos 3 A，则b（） A.2B. 3C. 2D. 3 5. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 1 4 ，则该椭圆的离心 率为（） A. 1 3 B. 1 2 C. 2
3、 3 D. 3 4 文科数学试卷 6. 将函数2sin(2) 6 yx的图像向右平移 1 4 个周期后，所得图像对应的函数为（） A. 2sin(2) 4 yxB. 2sin(2) 3 yx C. 2sin(2) 4 yxD. 2sin(2) 3 yx 7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体 积是 28 3 ，则它的表面积是（） A.17B. 18C. 20D. 28 8. 若0ab，01c，则（） A.loglog ab ccB. loglog cc abC. cc abD. ab cc 9. 函数 2| | 2 x yxe在 2,2的图像
4、大致为（） A B C D -2 2 y x -2 2 y x -2 2 y x -2 2 y x 文科数学试卷 10. 执行右面的程序框图，如果输入的0x，1y，1n，则输出, x y的值满足（） A.2yxB. 3yxC. 4yxD. 5yx 11. 平面过正方体 1111 ABCDA B C D的顶点 A，/ 平面 11 CB D，I平面ABCDm，I 平面 11 ABB An，则,m n所成角的正弦值为（） A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 12. 若函数 1 ( )sin 2sin 3 f xxxax在(,)单调递增，则a的取值范围是（） A. 1,1B. 1
5、1, 3 C. 1 1 , 3 3 D. 1 1, 3 第 II 卷 二、填空题（每小题5 分，共 4 小题，20 分） 13. 设向量( ,1)ax x，(1,2)b，且ab，则x 14. 已知是第四象限角，且 3 sin() 45 ，则tan() 4 15. 设直线2yxa与圆 22 :220C xyay相交于,A B两点，若|2 3AB，则圆 C 的面 积 为 16某高科技企业生产产品A 和产品 B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5kg， 乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料 0.5kg，用 3 个工时，生产 一件产品A 的利润
6、为2100 元，生产一件产品B的利润为900 元，该企业现有甲材料150kg，乙材 文科数学试卷 料 90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A，产品 B的利润之和的最大值为元 三、解答题（共70 分） 17.（12 分）已知 n a是公差为3 的等差数列，数列 n b满足 1 1b， 2 1 3 b， 11nnnn a bbnb （I）求 n a的通项公式； （II）求 nb的前 n 项和 18.（12 分）如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，6PA，顶点 P在平面 ABC内 的正投影为点D，D 在平面 PAB内的正投影为点E，连结 PE并延长交AB于点 G （I）证明
7、： G 是 AB 的中点； （II）在答题卡第 （18）题图中作出点E在平面 PAC内的正投影F （说明作法及理由） ，并求四面体PDEF 的体积 19.（12 分）某公司计划购买1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购 进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使用期间，如果备件不足再购 买，则每个500 元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台 这种机器在三年使用期间更换的易损零件数，得下面柱状图： P E A D G B C 频数 24 20 16 10 6 0 文科数学试卷 设x表示 1 台机器在三年使用期
8、内需要更换的易损零件数，y表示 1 台机器在购买易损零件上所 需的费用（单位：元） ，n表示购机的同时购买的易损零件数 （I）若19n，求y与x的函数解析式； （II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； （III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件，或每台都购买20 个易损零件，分 别计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均值，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同 时应购买19 个还是 20 个易损零件？ 20. （12 分） 在直角坐标系xOy中，直线 1: (0)lyt t交y轴于点 M，交抛物线 2 :2(0)Cy
9、px p 于点 P，M 关于 P的对称点为N，连结 ON并延长交C于点 H （I）求 | | OH ON ； （II）除 H 以外，直线 MH 与C是否有其它公共点？说明理由. 21.（ 12 分）已知函数 2 ( )(2)(1) x fxxea x （I）讨论( )f x的单调性； （II）若( )fx有两个零点，求a的取值范围 选做题 22.（ 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，OAB是等腰三角形，120AOB o， 以O为圆心， 1 2 OA为半径作圆 （I）证明：直线AB 与圆O相切； （II）点 C，D 在圆O上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明 AB/CD 更换的易损零
10、件数 16 17 18 19 20 21 O A B D C 文科数学试卷 23.（ 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C参数方程为 cos 1sin xat yat （t 为 参数，0a） ，在以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2 :4cosC （I）说明 1 C是哪一种曲线，并将 1 C的方程化为极坐标方程； （II）直线 3C的极坐标方程为0，其中0满足0tan2，若曲线1C与2C的公共点都在3C上， 求a 24.（ 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )|1|23|f xxx （I）在答题卡第（24）题图中画出
11、( )yf x的图像； （II）求不等式|( ) | 1f x的解集 文科数学试卷 普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 第卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 . （1）B (2) A （3）C （ 4）D （5）B （6）D （7）A （8） B （ 9）D （10）C （ 11）A （12）C 第 II 卷 二、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分. （13） 2 3 （14） 4 3 （15）4（16）216000 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （I）由已知， 12211
12、2 1 ,1, 3 a bbb bb得 122112 1 ,1, 3 a bbb bb得 1 2a，所以数列 n a是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为31 n an. （II）由（ I）和 11nnnn a bbnb，得 1 3 n n b b，因此 n b是首项为1，公比为 1 3 的等比 数列 .记 n b的前n项和为 n S，则 1 1 1 ( ) 31 3 . 1 223 1 3 n n n S （18） （I）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以.ABPD 因为D在平面PAB内的正投影为E，所以.ABDE 所以AB平面PED，故.ABPG 又由已知可得，PAPB，从而
13、G是AB的中点 . 文科数学试卷 （II）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正 投影 . 理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又/ /EFPB,所以EFPC,因此EF平 面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影 . 连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心 . 由（ I）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故 2 . 3 CDCG 由 题 设 可 得PC平 面PAB，DE平 面PAB，所 以/ /DEPC ， 因 此 21 ,. 33 PEPG DEPC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2,2 2.D
14、EPE 在等腰直角三角形EFP中，可得2.EFPF 所以四面体PDEF的体积 114 222. 323 V （19） （I）分 x19 及 x.19，分别求解析式； （II）通过频率大小进行比较；（III）分别求出您9，n=20 的所需费用的平均数来确定。 试题解析： （） 当19x时，3800y； 当19x时，5700500)19(5003800xxy， 所以y与x的函数解析式为)( ,19,5700500 ,19,3800 Nx xx x y. （） 由柱状图知，需更换的零件数不大于18 的概率为0.46，不大于 19 的概率为0.7，故n 的最小值为19. （） 若每台机器在购机同时都购
15、买19 个易损零件，则这 100 台机器中有70 台在购买易损零件 上的费用为3800，20 台的费用为4300，10 台的费用为4800，因此这 100 台机器在购买易 损零件上所需费用的平均数为4050)104500904000( 100 1 . 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买19 个易损零件 . （20） （）由已知得),0(tM，), 2 ( 2 t p t P. 文科数学试卷 又N为M关于点P的对称点，故),( 2 t p t N，ON的方程为 x t p y ，代入pxy2 2 整理得 02 22 xtpx，解得0 1 x， p t x 2 2 2 ，因此)2,
16、2 ( 2 t p t H. 所以N为OH的中点，即2 | | ON OH . （）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH的方程为x t p ty 2 ，即)( 2 ty p t x.代入pxy2 2 得044 22 ttyy，解得 tyy2 21 ，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共 点. （21） (I) 12112. xx fxxea xxea (i)设0a，则当,1x时，0fx；当1,x时，0fx. 所以在,1单调递减，在1,单调递增 . (ii)设0a，由0fx得 x=1 或 x=ln(-2a). 若 2 e a，则1 x fxxee
17、，所以fx在,单调递增 . 若 2 e a，则 ln(-2a)1,故当,ln21,xaU时，0fx； 当 ln2,1xa时，0fx，所以fx在,ln2, 1,a单调递增，在 ln2,1a单调递减 . 若 2 e a，则21lna，故当,1ln2,xaU时，0fx，当 1,ln2xa时，0fx，所以fx在,1 , ln2,a单调递增，在 1,ln2a单调递减 . (II)(i)设0a，则由 (I)知，fx在,1单调递减，在1,单调递增 . 又12fefa，取 b 满足 b0 且ln 22 ba ， 文科数学试卷 则 2 33 210 22 a fbba ba bb，所以 fx有两个零点 . (i
18、i)设 a=0，则2 x fxxe所以fx有一个零点 . (iii)设 a0，若 2 e a，则由 (I)知，fx在1,单调递增 . 又当1x时，fx0，故fx不存在两个零点；若 2 e a，则由 (I)知，fx在 1,ln2a单调递减，在ln2,a单调递增 .又当1x时fx0，故fx不存在两 个零点 . 综上，a的取值范围为0,. （22） （）设E是AB的中点，连结OE， 因为,120OAOBAOB，所以OEAB，60AOE 在Rt AOE中， 1 2 OEAO，即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以直线AB与 O相切 E O D C O B A （）因为2OAOD，所以O不是,A B
19、C D四点所在圆的圆心，设O是,A B C D四点 所在圆的圆心，作直线OO 由已知得O在线段 AB的垂直平分线上， 又O在线段 AB的垂直平分线上， 所以OOAB 同理可证，OOCD所以/ABCD （24）如图所示： 文科数学试卷 41 3 321 2 3 4 2 xx fxxx xx ， ， ， 1fx 当1x，41x，解得5x或3x 1x 当 3 1 2 x，321x，解得1x或 1 3 x 1 1 3 x或 3 1 2 x 当 3 2 x，41x，解得5x或3x 3 3 2 x或5x 综上， 1 3 x或13x或5x 1fx，解集为 1 135 3 UU， （23） cos 1sin xat yat （t均为参数） 2 22 1xya 1 C为以01，为圆心，a为半径的圆方程为 222 210xyya 222 sinxyy， 22 2sin10a即为 1 C的极坐标方程 2 4cosC ： 两边同乘得 2222 4coscosxyxQ， 22 4xyx 即 2 2 24xy 文科数学试卷 3 C：化为普通方程为2yx 由题意： 1 C和 2 C的公共方程所在直线即为 3 C 得： 2 4210xya，即为 3C 2 10a 1a