全国高考理科数学试卷.pdf

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1、1 编者说明 数学试题选择题，同上一年， 即 1983年一样多，也是 5 道小题， 但考生感到比上年难 得多。有的考生拿到第1 小题就不能动笔。 首先是因为 1984年对选择题的考题要求很严。第一次也是唯一一次提出“得负分”的评分 要求。 第二是选择题的设计，命题人第一次考虑到选择题“淘汰法”解题方法。比如第1 小题， 排除 3 个错误答案比选择1 个正确答案要迅速得多。可是，在刚刚出现选择题（ 1983 年第一 次用选择题）的考场上，考生几乎没有这种解题思想。许多交白卷的考生，首先就被第 1 题 挡住了“去路”。 数学月刊七月号创难度之最的 1984 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试

2、题 （这份试题共八道大题，满分 120 分 第九题是附加题，满分 10 分，不计入总分） 一 （本题满分 15 分）本题共有 5 小题，每小题选对的得3 分;不选，选错或多选得负 1 分 1数集X = （2n+1） ， n是整数与数集Y = （4k1） ， k是整数之间的关系是 （ C ） （A）XY（B）XY（C）X=Y（D）X Y 2如果圆 x2+y2+Gx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点，那么（ C ） （A）F=0，G0 ，E0. （B）E=0，F=0，G0. （C）G=0，F=0，E0. （D）G=0，E=0，F0. 3.如果 n 是正整数，那么)1()1(1 8 1 2 n n

3、 的值（ B ） （A）一定是零（B）一定是偶数 （C）是整数但不一定是偶数（D）不一定是整数 4.)arccos( x大于xarccos的充分条件是（ A ） （A） 1 ,0(x（B）)0, 1(x （C） 1 ,0x（D） 2 ,0x 5如果 是第二象限角，且满足,sin1 2 sin 2 cos那么 2 （ B ） （A）是第一象限角（B）是第三象限角 （C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D）是第二象限角 二 （本题满分 24 分）本题共 6小题，每一个小题满分 4 分 只要求直接写出结果） 1已知圆柱的侧面展开图是边长为 2 与 4 的矩形，求圆柱的体积 编者说明 1984年

4、， 是中国高考改革有创意的一年。就在这一年， 数学命题组提出了高考 “出活题， 考基础， 考能力”的命题指导思想。 自 1977 年恢复高考以来，高考命题基本上是 “模仿命题”， 模仿课本上的例习题，模仿教参上的参考题，考场上出现了“解题有套”的现象，高校传出 了“高分低能”的说法。 1984年的数学试卷，创造了大批新题，即所谓活题。广大考生第一次见到这样的新题或 活题， 感到非常之难。 当年， 北京市的分数，人均只有 17 分， 创下了新中国成立以来，数 学高考难度之“最”。 2 编者说明 1984年的第二大题，含 6 个小题， 比 1983 年的 2 个小题多出了 4 个， 从而使整个试卷

5、 的题量比 1983 年多出了 3 道。题目很活，题量又大，多数考生在规定的时间不能完成解答， 这也是 1984 年数学得分很低的原因之一。 答：. 84 或 2.函数)44(log 2 5. 0 xx在什么区间上是增函数？ 答：x-2. 3求方程 2 1 )cos(sin 2 xx的解集 答：, 12 |, 12 7 |ZnnxxZnnxx 4求 3 )2 | 1 |(| x x的展开式中的常数项 答：-20 5求 13 21 lim n n n 的值 答：0 6要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多 少种不同的排法（只要求写出式子，不必计

6、算） 答：!6 4 7 P 三 （本题满分 12 分）本题只要求画出图形 1设 , 0, 1 , 0, 0 )( x x xH 当 当 画出函数 y=H(x-1)的图象 2画出极坐标方程)0(0) 4 )(2(的曲线 解（1）（2） 3 编者说明 1984年的第三大题，是 1983 年第二大题的发展。虽然仍为作图题，但比 1983年的考题 难得多。1983年的题设式子是简单式子，看式便可作图； 而 1984 年的题设式子是 “复杂式子”， 需要首先将式子变形化简，从而增加了试题难度。 编者说明 1984 年的第四大题，考查立体几何内容。题目从表面看去，似乎不难。然而，由于命 题人故意没有给“题

7、图” ， 使得广大考生不知如何画图，从而陷入困境。 解： 四 （本题满分 12 分） 已知三个平面两两相交，有三条交线 求证这三条交线交于一点或互相平行 证：设三个平面为 ， ， ，且.,abc .,bcbc 从而 c 与 b 或交于一点或互相平行 1若 c 与 b 交于一点，设;,.PccPPbc有且由 aPPbbP于是有又由.,，所以a， b， c 交于一点（即 P 点） 2.若 cb，则由 acaccb/,./,可知且又由有所以a，b，c互相平行 1. 2. 4 编者说明 1984 年的第五题，考查对数函数。具体考查对数方程的有解条件。然而设计“创新到了 对数底数”， 使得一直看惯了“底

8、数只为单一字母”的考生不知所云。 五 （本题满分 14 分） 设 c，d， x 为实数，c0 ，x 为未知数 讨论方程1log )( x x d cx 在什么情况下有解有解时求出 它的解 解：原方程有解的充要条件是： (4)( (3),0 (2),0 (1),0 1 x x d cx x d cx x d cx x 由条件（ 4）知1)( x d cxx，所以1 2 dcx再由 c0 ，可得 . 1 2 c d x 又由1)( x d cxx及 x0，知0 x d cx，即条件（ 2）包含在条件（ 1）及（ 4）中 再由条件（ 3）及1)( x d cxx，知.1x因此，原条件可简化为以下的等

9、价条件组： (6). 1 x (5)1,x (1),0 2 c d x 由条件（ 1） （6）知.0 1 c d 这个不等式仅在以下两种情形下成立： c0，1-d0， 即 c0，d1；c0， 1-d0，即 c0， d1. 再由条件（ 1） （5）及（ 6）可知dc1 从而，当 c0，d1且dc1时，或者当 c0，d1 且dc1时，原方程有解，它的 解是 c d x 1 六（本题满分 16分） 1设0p，实系数一元二次方程02 2 qpzz有两个虚数根 z1，z2.再设z1，z2在复平面内的 对应点是 Z1，Z2求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分） 5 编者说明 1984 年的

10、第六题，考查解析几何。第1 小题将椭圆参数藏在复数方程的根中；第2 小题 求椭圆的轨迹方程，给出的“衍生轨迹”而不是“直接轨迹”。使得广大考生无模式可套。本 题得分率也很低。事实上，当年考生，能解答到本卷第六大题的人很少。 2求经过定点 M（1，2），以y轴为准线，离心率为 2 1 的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分） 解：1.因为p，q为实数，0p，z1，z2为虚数，所以 0,04)2( 22 pqqp 由 z1，z2为共轭复数，知 Z1，Z2关于 x 轴对称， 所以椭圆短轴在x轴上 又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点 根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系

11、，可得椭圆的 短轴长 =2b=|z1+z2|=2|p|， 焦距离 =2c=|z1-z2|= 2 21 2 21 2|4)( |pqzzzz， 长轴长 =2a=.22 22 qcb 2.因为椭圆经过点 M（1，2），且以 y 轴为准线，所以椭圆在 y 轴右侧，长轴平行于 x 轴 设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为 2 1 ， 所以左顶点 A 到左焦点 F 的距离为 A 到 y 轴的距离的 2 1 ， 从而左焦点 F 的坐标为), 2 3 (y x 设 d 为点 M 到 y 轴的距离，则 d=1 根据 2 1| d MF 及两点间距离公式，可得 1)2(4) 3 2 (9 ,) 2 1

12、 ()2() 1 2 3 ( 22 222 yx y x 即 这就是所求的轨迹方程 七（本题满分15 分） 在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 c=10， 6 编者说明 1984年的第七大题，已经进入后三大题的范畴，是一道典型的综合题。它是三角、解析 几何和代数内容的交叉。由于考查的内容常规，本题的设计难度并不大，满分 15 分， 比上 一题第六题还少一分。但由于多数考生已被前面的低档、中档题所难倒，因此， 大部分考生 无缘与第七题见面，因而， 从第七题开始，交白卷的甚多。 3 4 cos cos a b B A ，P 为ABC 的内切圆上的动点 求点 P 到顶点 A，B，

13、C 的距离的平方和的最大 值与最小值 解：由 a b B A cos cos ，运用正弦定理，有, sin sin cos cos A B B A .2sin2sincossincossinBABBAA 因为 A B，所以 2A= -2B，即 A+B= 2 由此可知 ABC 是直角三角形 由 c=10，.8,60,0, 3 4222 babacba a b 可得以及 如图，设ABC 的内切圆圆心为 O ，切点分别为 D，E，F，则 AD+DB+EC =.12)6810( 2 1 但上式中 AD+DB =c=10，所以内切圆半径 r = EC = 2. 如图建立坐标系，则内切圆方程为： (x-2

14、)2+(y-2)2=4 设圆上动点 P 的坐标为 (x，y)，则 .48876443 764)2()2(3 100121633 )6()8( | 22 22 222222 222 xx xyx yxyx yxyxyx PCPBPAS 因为 P 点在内切圆上，所以40x， 于是 S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72 解二：同解一，设内切圆的参数方程为 ),20( sin22 cos22 y x 从而 222 |PCPBPAS cos880)sin22()cos22( )4sin2()cos22()sin22()6cos2( 22 2222 因为20，所以 S最大值=80+8=88

15、， S最小值=80-8=72 7 八 （本题满分 12 分） 设2，给定数列 xn ，其中 x1=，)2, 1( )1(2 2 1 n x x x n n n 求证： 1);2, 1(1,2 1 n x x x n n n 且 2);2, 1( 2 1 2,3 1 nx n n 那么如果 3.3, 3 4 lg 3 lg , 3 1n x a n必有时那么当如果 1证：先证明 xn2(n=1， 2， ）用数学归纳法 由条件a2 及 x1=a知不等式当 n=1 时成立 假设不等式当 n=k(k1) 时成立 当 n=k+1时，因为由条件及归纳假设知 ,0)2(0442 22 1kkkk xxxx

16、再由归纳假设知不等式0)2( 2 k x成立，所以不等式2 1kx也成立 从而不等式 xn2 对于所有的正整数n 成立 (归纳法的第二步也可这样证： 2)22( 2 1 2 1 1 ) 1( 2 1 1 k kk x xx 所以不等式 xn2(n=1， 2， ）成立 ） 再证明).2, 1( 1 1 n x x n n 由条件及 xn2(n=1，2，）知 ,21 )1(2 1 1 n n n n n x x x x x 因此不等式).2, 1(1 1 n x x n n 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有 .1) 12 1 1 ( 2 1 ) 1 1 1 ( 2 1 1 nn n xx

17、x 还可这样证：对所有正整数n 有 8 ,0 )1(2 )2( 1 n nn nn x xx xx所以).2, 1(1 1 n x x n n ） 3证：先证明若. 4 3 , 3 1 k k k x x x则这是因为 . 4 3 ) 13 1 1 ( 2 1 ) 1 1 1( 2 1 1 kk k xx x 然后用反证法 若当 3 4 lg 3 lg a n时，有,3 1k x则由第 1 小题知 .3 121nn xxxx 因此，由上面证明的结论及x1=a可得 ,) 4 3 (3 1 2 3 1 2 11 n n n n a x x x x x x xx 即 3 4 lg 3 lg a n，

18、这与假设矛盾 所以本小题的结论成立 2证一：用数学归纳法 由条件x1=a3 知不等式当n=1时成立 假设不等式当 n=k(k1) 时成立 当 n=k+1时，由条件及2 k x知 ,0) 2 1 2()2( 0) 2 1 2(2) 2 1 2(2 ) 2 1 2)(1(2 2 1 1 1 2 2 1 kkk k k k k k kk k k xx xx xxx 再由2 k x及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式 k k x 2 1 2 1 也成立， 从而不等式 1 2 1 2 n n x对所有的正整数 n 成立 证二：用数学归纳法证不等式当 n=k+1 时成立用以下证法： 由条件

19、知) 1 1 1( 2 1 1 k kk x xx再由2 k x及归纳假设可得 kkk x 2 1 211) 2 1 2( 2 1 11 9 编者说明 1984年的第八大题，是本卷正卷的压轴题，是当年正卷上难度最大的题目。考查的内容 是数列与不等式的综合。数列不是用通项公式给定，而是用递推式给定。递推式实为教材的延 伸， 使得绝大多数考生可望而不可及。90% 以上的考生与此题无缘，当年在北京本题得满分的 仅仅只有两人。 本题的递推数列对以后的若干年影响很大，在全国高中数学界掀起了研究递推数列的热 潮。 九 （附加题，本题满分 10分，不计入总分） 如图，已知圆心为 O、半径为 1 的圆与直线

20、l 相切于点 A， 一动点 P自切点 A沿直线 l 向右移动时，取弧 AC的长为AP 3 2 ， 直线 PC 与直线 AO 交于点 M 又知当 AP= 4 3 时，点 P 的速度 为 v 求这时点 M 的速度 解：作 CDAM，并设 AP = x，AM = y，COD= 由假 设， AC 的长为xAP 3 2 3 2 ，半径 OC=1，可知 x 3 2 考虑),0(x APMDCM， DC DM AP AM 而 . 3 2 sin ) 3 2 cos1( , 3 2 sin), 3 2 cos1 ( x xy x y xDCxyDM dt dx xx xxxxxxxx dtdy xx xx y

21、 ) 3 2 sin( ) 3 2 cos 3 2 1)( 3 2 cos1() 3 2 sin 3 2 3 2 cos1)( 3 2 sin( / . 3 2 sin ) 3 2 cos1( 2 解得 . )43( )843(2 , 4 3 2 2 v dt dy Mv dt dx x点的速度代入上式得时当 10 编者说明 这是 1984 年的附加题，在 1983 年中断一年以后。附加题的重现，是经过了一番讨论的， 主要是北大、清华的命题人坚持用附加题选拔尖子学生。当然，这个目的并没有达到，因为 考生们连正题都没有完成，所以基本上无人光顾这道附加题，使得此题成为虚设。 1984 年的数学试题创造了建国以来的难度之最。考后，不少的人（界内和界外）对试题 提出了置疑，经过了长达半年的讨论，才基本上在全国统一了看法：难的原因是因为新而活， 这个方向是非常正确的，必须坚持， 不足之处就是要求急了一点。这种结论对从1985 年以后 的数学命题取到了良好的导向作用。