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1、普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第 I 卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 (1)复数 2 12 i i 的共轭复数是（） （A） 3 5 i（B） 3 5 i（C）i（D）i （2） 下列函数中，既是偶函数又在+（0， ） 单调递增的函数是 （） （A） 3 yx(B) 1yx（C） 2 1yx(D) 2 x y （3）执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（ ） （A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040 （4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位
2、同学参加各个小组的可能性 相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（） （A） 1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 （5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2=（ ） （A） 4 5 （B） 3 5 （C） 3 5 （D） 4 5 （6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（） （7）设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点，AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（） （A）2（B）3（C）2 （D）3 （8） 5 1 2
3、a xx xx 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（） （A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 （9）由曲线yx，直线2yx及 y 轴所围成的图形的面积为（） （A） 10 3 （B）4 （C） 16 3 （D）6 （10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题（） 1 2 :10, 3 Pab 2 2 :1, 3 Pab 3: 10, 3 Pab 4 :1, 3 Pab 其中的真命题是（） （A） 14 ,P P（B） 13 ,P P（C） 23 ,PP（D） 24 ,PP （11）设函数( )sin()cos()(0,) 2 f xxx的最小正周
4、期为，且()( )fxf x，则 （） （A）( )f x在0, 2 单调递减（B）( )f x在 3 , 44 单调递减 （C）( )f x在0, 2 单调递增（D）( )fx在 3 , 44 单调递增 (12)函数 1 1- y x 的图像与函数2sin( 24)yxx的图像所有交点的横坐标之和等于（） （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5分。 （13）若变量, x y 满足约束条件 329, 69,
5、 xy xy 则2zxy的最小值为。 （14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C的中心为原点，焦点 12 ,F F在x轴上，离心率为 2 2 。过 1 F的直线 L 交 C 于,A B两点，且 2 ABFV的周长为 16，那么 C的方程为。 （15） 已知矩形 ABCD的顶点都在半径为4 的球 O的球面上，且6,2 3ABBC,则棱锥 OABCD 的 体积为。 （16）在ABCV中，60 ,3BAC o ，则2ABBC 的最大值为。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分12 分） 等比数列 n a的各项均为正数，且 2 12326 231,9.aaaa
6、a （ )求数列 n a的通项公式； （）设 31323 logloglog, nn baaa求数列 1 n b 的前 n 项和. (18)(本小题满分12 分) 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四 边形，DAB=60 ,AB=2 AD,PD底面 ABCD. ()证明： PABD； ()若 PD=AD，求二面角A-PB-C 的余弦值。 （19） （本小题满分12 分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品 为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和 B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产
7、 品的质量指标值，得到下面试验结果： （）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （）已知用B 配方生成的一件产品的利润y(单位：元 )与其质量指标值t 的关系式为 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望.（以试验结果中 质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） （20） （本小题满分12 分） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy 中 ，已 知 点A(0,-1) ，B 点 在 直 线y = -3 上 ，M点 满 足/ /MBOA uuu ruu r ， MA ABMB BA uuu r uu u ruu
8、u r uu r ，M 点的轨迹为曲线C。 （）求C 的方程； （） P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 （21） （本小题满分12 分） 已知函数 ln ( ) 1 axb f x xx ，曲线( )yfx在点(1,(1)f处的切线方程为230xy。 （）求a、b的值； （）如果当0x，且1x时， ln ( ) 1 xk f x xx ，求k的取值范围。 请考生在第22、23、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 （22） （本小题满分10 分）选修4 - 1：几何证明选讲 如图，D，E分别为ABC的
9、边AB，AC上的点，且不与 ABC的顶点重合。已知AE的长为 m、AC 的长为n，AD，AB的长 是关于x的方程 2 140xxmn的两个根。 （）证明： C，B，D，E四点共圆； （）若90A，且4,6mn，求C，B，D，E所在圆的半径。 (23)(本小题满分10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为 2cos 22sin x y （为参数） M 是 C1上的动点，P 点满足2OPOM uu u vuuu v ,P 点的轨迹为曲线C2 ()求 C2的方程 ()在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与 C1的异于极点的交点为
10、A，与 C2 的异于极点的交点为B，求AB. (24)(本小题满分10 分)选修 4-5：不等式选讲 设函数( )3f xxax,其中0a。 （）当1a时，求不等式( )32f xx的解集； （）若不等式( )0f x的解集为|1x x，求 a 的值。 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案 一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分） （1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10） A （11）A （12） D 二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分） （13）-6 （14） 2
11、2 1 168 xy （ 15）8 3（16）2 7 三、解答题 （17）解： （本小题满分12 分） （）设数列an的公比为 q，由 2 326 9aa a得 22 34 9aa所以 21 9 q。 由条件可知a0,故 1 3 q。3分 由 12 231aa得 12 231aa q，所以 1 1 3 a。 故数列 an的通项式为 an= 1 3 n 。5 分 （） 31323n loglog.log n baaa (12.) (1) 2 n n n 8 分 故 1211 2() (1)1 n bn nnn 12 111111112 .2(1)().() 22311 n n bbbnnn 11
12、 分 所以数列 1 n b 的前 n 项和为 2 1 n n 12 分 (18)解： （本小题满分12 分） （）因为60 ,2DABABAD, 由余弦定理得3BDAD 从而 BD 2+AD2= AB2， 故 BDAD3 分 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD 所以 BD平面 PAD. 故 PABD5 分 解法二：取AB 中点为 E，连接 DE, 因为60 ,2DABABAD，故 AD=AE ，ADEV是等腰三角形， AE=EB=DE , 0 260AEDEBDBDEEBD, 即 0 90ADB, 故 BDAD 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD 所以 BD平面 PAD. 故 PABD
13、5 分 （）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz， 则1,0,0A,03,0B， ,1, 3,0C,0,0,1P。 ( 1,3,0),(0,3,1),( 1,0,0)ABPBBC uu u vuu vuu u v 7 分 设平面 PAB 的法向量为n=（x,y,z） ，则 0, 0, n AB n PB uu u r uu r 即 30 30 xy yz 因此可取n=( 3,1,3)9 分 设平面 PBC 的法向量为m，则 m0, m0, PB BC uu r uu u r 可取 m=（0，-1，3） 42 7 cos, 7 2
14、7 m n11 分 故二面角A-PB-C 的余弦值为 2 7 7 12 分 （19）解（本小题满分12 分） （）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为 228 =0.3 100 ，所以用A 配方生产的产品的优质 品率的估计值为0.3。3 分 由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 32 10 0.42 100 ，所以用 B 配方生产的产品的优质品 率的估计值为0.42 6 分 （）用B 配方生产的100 件产品中，其质量指标值落入区间 90,94 , 94,102 , 102,110 的频率分别为 0.04，,054, 0.42，因此 P(X=-2)=0.04, P
15、(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 8 分 即 X 的分布列为 X 的数学期望值EX=-2 0.04+2 0.54+4 0.42=2.6812 分 (20）解：（本小题满分12 分） ()设 M(x,y), 由已知得B(x,-3),A(0,-1). 所以MA uuu r =（-x,-1-y ）, MB uuu r =(0,-3-y), AB uu u r =(x,-2). 3 分 再由题意可知（MA uuu r +MB uuu r ）?AB uu u r =0, 即（ -x,-4-2y ）?(x,-2)=0. 所以曲线C 的方程式为y= 1 4 x 2 -2. 6 分 ()设 P
16、(x 0,y0)为曲线 C：y= 1 4 x 2 -2 上一点，因为 y = 1 2 x,所以l的斜率为 1 2 x 0 因此直线l的方程为 000 1 () 2 yyxxx，即 2 000 220x xyyx。9 分 则 O 点到l的距离 2 00 2 0 |2| 4 yx d x .又 2 00 1 2 4 yx，所以 2 0 2 0 22 00 1 4 14 2 (4)2, 2 44 x dx xx 当 2 0 x=0 时取等号，所以 O 点到l距离的最小值为2. 12 分 （21）解：(本小题满分12 分) （） 22 1 (ln) ( ) (1) x x b x fx xx 3 分
17、由于直线230xy的斜率为 1 2 ，且过点(1,1)，故 (1)1, 1 (1), 2 f f 即 1, 1 , 22 b a b 解得1a，1b。6 分 （）由（）知 ln1 f ( ) 1 x x xx ，所以 2 2 ln1(1)(1) ( )()(2ln) 11 xkkx f xx xxxx 。 考虑函数( )2lnh xx 2 (1)(1)kx x (0)x，则 2 2 (1)(1)2 ( ) kxx h x x 。8 分 ( I )设0k，由 22 2 (1)(1) ( ) k xx h x x 知，当1x时，( )0h x。而(1)0h，故 当(0,1)x时，( )0h x，可
18、得 2 1 ( )0 1 h x x ； 当 x（1，+）时，h（x）0 从而当 x0,且 x1 时，f（x）-（ 1 ln x x + x k ）0，即 f（x） 1 ln x x + x k .9 分 （ ii ）设 00, 故 h(x）0, 而 h（1）=0，故当 x（1， k1 1 ）时，h（x）0，可得 2 1 1 x h（x）0,而 h（1） =0，故当 x（ 1，+）时，h（x）0，可得 2 1 1 x h（x）0, 与题设矛盾。11 分 综合得，k 的取值范围为（-，0 12 分 （22） （本小题满分10 分） 解： （I）连接 DE，根据题意在ADE 和 ACB 中， AD
19、AB=mn=AE AC, 2 分 即 AB AE AC AD .又 DAE= CAB, 从而 ADE ACB 因此 ADE= ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。5 分 （） m=4, n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故AD=2 ，AB=12. 8 分 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F，分别过 G，F作 AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接 DH ，因 为 C，B，D，E 四点共圆，所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为H，半径为 DH. 由于 A=90 0， 故 GHAB, HF AC. 从而 HF=AG=5 ，DF= 2 1
20、 (12-2)=5. 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为5210 分 （24） （本小题满分10 分） 解： （）当 1a 时，( )32f xx可化为|1|2x。 由此可得3x或1x。 故不等式( )32f xx的解集为|3x x或1x。5 分 () 由( )0f x得 30xax 此不等式化为不等式组 30 xa xax 或 30 xa axx 即 4 xa a x 或 2 xa a x 因为0a，所以不等式组的解集为| 2 a x x 由题设可得 2 a = 1，故2a10 分 （23） （本小题满分10 分） 解： （I）设 P(x,y),则由条件知M(, 2 2 x y ).由于 M 点在 C1上，所以 2cos, 2 22sin 2 x a y a 即 4cos 44sin xa ya 3 分 从而2C的参数方程为 4cos 44sin x y （为参数）5 分 （）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin。 射线 3 与 1 C的交点A的极径为 1 4sin 3 ，7 分 射线 3 与2C的交点B的极径为 2 8sin 3 。9 分 所以 21 | | 2 3AB. 10 分