数学模拟试题(附答案解析).pdf

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1、辽宁职业学院单招数学模拟试题(附答案解析 ) 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1已知抛物线，则它的焦点坐标是 A B C D 2若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族 函数”，那么函数解析式为y= -x 2， 值域为 -1 ， -9的“同族函数”共有 A8 个B9 个 C10 个D 12 个 3. 下表是某班数学单元测试的成绩单： 学号123484950 成绩1351281351089497 全部同学的学号组成集合A， 其相应的数学分数组成集合B，集合A中的每个学号与 其分数相对

2、应下列说法：这种对应是从集合A到集合B的映射； 从集合A到集合B的 对应是函数；数学成绩按学号的顺序排列：135 ，128 ，135 ，108 ， 94 ，97 组成一个数列以上说法正确的是 A B C D 4已知xaa2 1 （a2），y(2 1 )(b0) ，则x，y之间的大小关系是 AxyBxy Cxy D不能确定 5已知A是三角形的内角，且 sinAcosA=，则 cos2A等于 A B C D 6已知二面角的大小为，和是两条异面直线，则在下列四个条件中， 能使和所成的角为的是 A， B， C D， 7已知函数反函数为，若，则最小值为 A 1 B C D 8.下图是某企业2000 年至

3、 2003 年四年来关于生产销售的 一张统计图表 ( 注: 利润销售额生产成本). 对这四年有以 下几种说法 :(1) 该企业的利润逐年提高; (2) 2000年 2001 年该企业销售额增长率最快; (3) 2001年 2002 年该企业生产成本增长率最快; (4) 2002年 2003 年该企业利润增长幅度比2000 年 2001 年利润增长幅度大. 其中说法正确的是 A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(4) C.(1)(2)(4) D.(2)(3)(4) 9在圆周上有10 个等分点，以这些点为顶点，每三个点可以构成一个三角形，如果随 机选择三个点，恰好构成直角三角形的概率是 A4

4、1 B3 1 C 2 1 D 5 1 10抛物线上点 A 处的切线与直线的夹角为，则点 A 的坐标为 A ( 1,1) B C (1,1) D ( 1,1) 或 11设函数的图象如右图所示，则导函数的图像 可能为 ABCD 12有限数列A(a1，a2，an)，为其前项和，定义n S1 S2 Sn 为A的“ 凯森 和” ；如有 2004 项的数列 (a1，a2，a2004)的 “ 凯森和 ” 为 2005 ，则有 2005 项的数列 (1，a1，a2，a2004)的“ 凯森和 ” 为 （） A2004 B2005 C2006 D2008 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分

5、 13圆x2y 22 上到直线 xy40 距离最近的点的坐标是_ 。 14设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为，则其外接球的体积为。 15点 B 是空间向量a= (2,1,2)在 xoy 平面上的射影,则=。 16已知命题p：m1，命题q： 2m 2 9m100， 若p，q中有且仅有一个为真命 题，则实数m的取值范围是_。 三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 (本小题满分12 分) 在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，x（ 2ac，b），y(cosB， cosC)，且xy0 ， （1） 求B的大小； （2）若b，求ac

6、的最大值。 18. (本小题满分12 分) 某基本系统是由四个整流二极管（串，并） 联结而成。已知每个二极管的可靠度为0.8 （即正常工作的概率为0.8），若要求系统的可靠 度大于 0. 85 ，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形， 并有相应的计算说明）。 19 (本小题满分12 分) 如图，把正三角形ABC分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放 置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相 等设点A为第一行，BC为第n行，记点A上的数为a11，第i行中第j个数 为aij（1ji）若a11=1 ，a21=，a22

7、= （）求a31，a32，a33； （）试归纳出第n行中第m个数anm的表达式（用含n，m的式子表示，不必证 明）； （）记Sn=an1+an2+ann，证明：n 20(本小题满分12 分) 如图，在斜三棱柱中， 底面是边长为2 的正三角形，G为它的中心，侧面A B B A 底面ABC， 侧棱AA1=2 ，且与底面成的角，AG交 BC于 D 点， B1D与BC1交于 E 点 （1）求证：GE侧面ABB A； （2）求点E到侧面ABB A的距离； （3）求二面角B1ADB的大小 21 (本小题满分12 分) 已知f (x)xaxbxc在x1 与x时，都取得极值 (1) 求a，b的值； (2) 若

8、f (1)=，求f (x)的单调区间和极值； (3) 若对x 1，2 都有f (x) c 3 恒成立，求 c 的取值范围 22（本小题满分14 分） 在直角坐标平面内，已知a（x2，y），b（x2，y），且|a| |b| 2 （1）求点M（x，y）的轨迹C的方程； （2）过点D（2，0）作倾斜角为锐角的直线l与曲线C交于A、B两点，且 AD 3 DB ， 求直线l的方程； （3）是否存在过D的弦AB，使得AB中点Q在 y 轴上的射影P满足PAPB？如果存在， 求出AB的弦长；如果不存在，请说明理由 参考答案及解析 一、选择题： 题号 123456789101112 答案 DBDABCBDBDD

9、B 1D 抛物线为x2=4y , 它的焦点坐标是(0,1), 选(D) 。 【点评】必须先把抛物线化为标准方程x 2=4y , 否则容易误选成 (A) 。 2 B 定义域中可能有的元素为1， -1，3， -3，而且在 1 与 -1 ，3 与 -3中各至少 有一个在定义域内当定义域中只有2 个元素时，可有 1 ，3 ，1 ， -3与-1 ， 3 ， -1 ， -3，共 4 种可能；当定义域中含有3 个元素时，可能=4 种可能； 当定义域中含有4 个元素时，只有 1 种可能由4+4+1=9选（ B）。 【点评】试题考查了分类讨论思想,分类时必须要” 不重复 ,不遗漏 ” 。 3 D 对每一个学号的

10、学生来说，这次考试都有唯一的分数。他们之间存在一一对应关系。故 全部正确，选（ D）。 【点评】要正确解答本题，必须要准确理解映射、函数、数列的定义。 4 A x（a-2）a 2 1 +2，y(2 1 )0 ，b0 ，且 ab=16 ，所以。 【点评】本题将反函数等知识与不等式进行了有机结合。 8 D 根据图象 ,易得第 (2)(3)(4)三种说法都是正确的,选（ D）。 【点评】本题考查了学生的读图能力。 9 B 根据等可能性事件的概率公式得，。 【点评】本题事实上是通过概率问题考查排列组合知识。 10 D （文）设，则过点的切线斜率为，由夹角公式即可求出 = -1或从而选（ D）。 【点评

11、】试题主要考查函数的切线以及直线的夹角公式。 11 D 根据 y=f(x) 图象的单调性，考察导数值的符号，选出答案为（D）。 【点评】本题考查了学生图形的识别能力，体现了多方面知识的交汇。 12 B 根据题中所给“ 凯森和 ” 的定义，可得数列 (1，a1，a2，a2004)的“ 凯森和 ” 为 2005， 选（ B）。 【点评】本题是“新定义”题型，是近年来高考数学的热点题型。 二、填空题： 13 (1，1) 14 36155 16 1 ，2 2 5 ，） 13 (1，1) 思路一：设动点的坐标为，利用点到直线距离公式，然后求最小值 得，此时，从而点的坐标是（1，-1）；思路二：作圆x 2

12、 y 2 2 的与直线xy40 平行的直线，由图形位置，求出符合题意的切点即为（1，- 1）。 【点评】解析几何中相关公式与方法必须要熟练掌握和运用。 14 36 将三棱锥补成正方体，三棱锥的外接球即为正方体的外接球。由得 R=3 ， 因此三棱锥的外接球的体积为。 【点评】“割补法”是处理立体几何问题的重要的思想方法。 15 5 射影为点B(2,1,0),则=5。 【点评】要了解点在平面上投影的概念。 16 1，22 5 ，） 命题q等价于。分“ p 正确 q 错误”与“ p 错误 q 正确”两种情况讨论，易得结 果为 1 ，22 5 ，）。 【点评】要准确把握“p，q中有且仅有一个为真命题”

13、的含义。 三、解答题： 17（ 1）xy（2ac）cosBbcosC0， 由正弦定理2sinAcosBsinCcosBsinBcosC0， 2sinAcosBsin(BC)0 sinA(2cosB1)0 A，B(0， )，sinA0，cosB 2 1 ，B3 2 （2）法一 ：3a 2 c 22ac cos3 2 (ac) 2 ac， (ac) 23 ac3( 2 ac ) 2， (ac) 24， ac2 当且仅当ac时，(ac) max2 法二 ：2RsinB b 2 3 2 3 2，AC3 ac2(sinAsinC) 2sin(2 AC 2 AC ) sin( 2 AC 2 A C ) 4

14、sin 2 AC cos 2 AC 4 2 1 cos 2 A C 2 当且仅当AC6 时，(ac)max2 【点评】本题体现了向量与三角知识的交汇，小而巧。 18. 全部并联，可靠度 1-0.9984 0.85 每两个串联后再并联，可靠度 0.8704 0.85 每两个并联后再串联，可靠度 0.9216 0.85 三个串联后再与第四个并联，可靠度 1-0.20.9024 0.85 两个串联后再与第三、第四个并联，可靠度 1-0.2 2 0.9856 0.85 【点评】本题中将概率知识与物理学科综合设计，体现了多种知识的交汇。对五种可能的情 形需要逐一讨论，较好地考查了学生分析问题和解决问题的

15、能力。 19. 解：（ ）， ， （ ）由=1 ，a21=， 可归纳出，a21，a31，an1是公比为的等比数列，故 由a21=，a22=， 可归纳出，an2，an3，ann是公比为的等比数列， 故，即 （ ）由（ ）知， ， = 又， 1 n 【点评】本题中在平面图形背景下设计了一个数 列问题 ,考查了数列的通项与求和等基本知识点,显 得较有新意。 20（ 1）G为正ABC的中心，D为BC中 点 DE：EB1BD：B1C11：2DG：GA GE/AB1GE面AA1B1B，AB1面 AA1B1B， GE/ 面AA1B1B （2）由（ 1），E、G到平面AA1B1B等距离， 设CG交AB于F，则

16、GFAB 面AA1B1B面ABC，GF面AA1B1B，GF6 3 AB3 3 E到面AA1B1B的距离为 3 3 （3）作B1MAB于M，则B1M面ABC 作MNAD于N，连接B1N，则B1NAD，所以B1NM为二面角B1ADB的平面角 面AA1B1B面ABC，B1BM为侧棱与底面所成角，B1BM60 B1MB1Bsin60 ，BMB1Bcos60 1，AM3，MNAMsin30 2 3 tan B1NM NM B1M 2 3 2 3 3 3 ，二面角B1ADB为 arctan3 3 【点评】本题通过一个常见问题的设计，研究了线与面和面与面之间的位置关系、数量关 系。 21（ 1）f(x)3x

17、 22a x b0 由题设，x1，x 3 2 为f(x)0 的解 3 2 a13 2 ，3 b 1(3 2 ) a 2 1 ，b 2 （2）f (x)x 32 1 x 2 2 xc，由f ( 1) 1 2 1 2c 2 3 ，c1 f (x)x 32 1 x 2 2 x1 x （，3 2 ）（ 3 2 ， 1） （1， ） f(x) f (x)的递增区间为（，3 2 ），及（ 1，），递减区间为（3 2 ，1） 当x 3 2 时，f (x)有极大值，f ( 3 2 )27 49 ；当x1 时，f (x)有极小值，f (1) 2 1 （3）由上，f(x)(x1)(3x2)，f (x)x 3 2

18、1 x 22 xc， f (x)在 1，3 2 ) 及（ 1，2上递增，在（ 3 2 ，1）递减 f ( 3 2 ) 27 8 9 2 5 4 cc 27 22 f ( 2)824cc2 由题设，c2 c 3 恒成立，c c22c3 0，c 3，或 0c1 【点评】 导数知识作为现行教材中的新增内容，在各类考试中均占有重要的地位。本题将导 数与函数、不等式知识有机结合，是高考中的热点题型。 22（ 1）|a| |b| 2，24 M(x，y) 到点F（ 2，0）和D （2，0）的距离差为2， M点的轨迹是以F、D为焦点，实轴长为2 的双曲线的右支， a1，c 2，b 23 M点的轨迹方程是C：x

19、 23 y2 1(x1) （2）法一 ：设A（x1，y1），B（x2，y2）， AD 3 DB ， （2x1，y1） 3(x22，y2)，y1 3 y 2， 设xmy2，代入C：3(my2) 2 y 23， (3m 21) y 212m y90 2y2y1y2 3m2 1 12m ，3 y2 2 y1y23m2 1 9 (3m2 1 6m ) 2 3m2 1 3 ，12m 213m2， m 215 1 由已知 m0，l：xy2，即y( x2) 法二 ：设A（x1，y1），B（x2，y2）， AD 3 DB ，（2x1，y1） 3(x22，y2) ，x13 x 28， y1 3 y 2， 即 y

20、1 3 y2 x1 3 x2 8， 由消去y1、y2得 x1 29 x2 2 8， (x13x2)( x13x2) 8， 将代入得 x13x2 1 由解得x12 7 ， 代入得，y12 15 kl（l的倾斜角为锐角，kl舍去），l：y( x2) 法三 ：设A、B在双曲线右准线l 上的射影为A1，B1， AB交l 于E，l的倾斜角为（ 02 ） 则 DB AD | AD 3 1 |AA1| |BB1| |EA| |EB| |EB| 2 1 |AB| 2 1 4|BD| ， |EB| 2|BD| ，又|BD| e|BB1| ，|EB| 2e|BB1| ， e2 cos|EB| |BB1| 4 1

21、，tan，l：y( x2) （3）法二 ：设PQ交双曲线的右准线l 于P1，P1Q为梯形AA1B1B中位线， 2|PQ| |AA1| |BB1| e 1 |AD| e 1 |BD| e 1 |AB| |AB| 4|PQ| 假设存在满足条件的弦AB，则PQ为Rt PAB斜边上的中线， |PQ| 2 1 |AB| 2|P1Q| ， 2 1 |P1Q| 2|P1Q| ，|P1Q| 2 1 ， 又|P1Q| 22 1 2 3 ，矛盾，不存在满足条件的弦 【点评】本题将向量与解析几何有机结合，考查了学生综合运用数学知识解决问题的能力。 法一 ：假设存在满足条件的弦AB，则PQ为Rt PAB斜边上的中线，2|PQ| |AB| 设Q（x0，y0），|PQ| x0 y0 2 y1 y2 3m2 1 6m ，x0my023m2 1 6m2 23m2 1 2 |PQ| 3m2 1 2 0，m 23 1 (y1y2) 2(3m2 1 12m ) 243m2 1 9 36 2 4 m2 13m2 2 m2 1 |AB| 2( y1y2) 2( x1x2) 2(1m2) ( y1y2) 2 2 m2 12 |AB| 13m2 m2 1 2|PQ| 13m2 4 ， m 2 3 2 ，不可能成立不存在满足条件的 弦