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1、牡一中 2014-2015 学年度上学期期中考试高二数学理科试题 一、选择题（本大题共有12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四选项中只有 一项是符合题目要求的。） 1、抛物线 xy16 2 的焦点坐标为（） A. )4,0( B. )0,4( C. )4,0( D. )0 ,4( 2、动点P到点)0 ,1 (M及点)0,3(N的距离之差为2，则点P的轨迹是（） A 双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线 3、 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18， 焦距为6， 则椭圆的方程为 （） A 1 169 22 yx B 1 1625 22 yx C 1 162
2、5 22 yx 或1 2516 22 yx D 以上都不对 4、平面上动点),(yxA满足1 35 yx ，)0,4(B，)0,4(C, 则一定有（） A 10ACABB 10ACABC.10ACAB D10ACAB 5 、 设kjmakjmakjmakjma523,32,23,2 4321 ，（ 其 中 kjm, 是两两垂直的单位向量），若 3214 aaaa ，则实数,的值分别是 （） A. 3,2, 1 B. 3, 1 , 2 C. 3 , 1 ,2 D. 3, 2, 1 6、在同一坐标系中，方程 2222 1a xb y 与 2 0(0)axbyab 的曲线大致是（） 7、已知直线1k
3、xy与椭圆1 5 22 m yx 恒有公共点，则实数m的取值范围为( ) A 1m B101mm或 C51mm且 D 150mm且 图 8、 21,F F是椭圆1 79 22 yx 的两个焦点，A为椭圆上一点， 且 0 21 45FAF ， 则 12 AF F 的面积为（） A 7 B 4 7 C 2 7 D 2 57 9、如图， 111 CBAABC是直三棱柱，90BCA，点 1 D和 1 F分别是 11B A和 11C A的中点， 若 1 CCCABC ，则 1 BD 与 1 AF 所成角的余弦值是（） A 10 30 B 2 1 C 15 30 D 10 15 10、已知0ba，椭圆 1
4、 C的方程为1 2 2 2 2 b y a x ，双曲线 2 C的方程为1 2 2 2 2 b y a x ， 1 C与 2 C的离心率之积为 2 3 ，则 2 C的渐近线方程为( ) A. 02yxB. 02yx C. 02yx D. 02yx 11、过抛物线)0(2 2 ppxy的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分 别交于BA,两点，则 BF AF 的值等于（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 12、已知 21,F F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 3 21PF F，则 椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A. 3 34 B. 3
5、32 C. 3 D2 二、填空题（本大题共有4 个小题，每小题5 分，共 20 分） 13、已知向量)2, 1,2(a,),2, 4(mb, 且ba，则m的值为 14、已知过点)1 ,1 (且与012yx平行的直线经过抛物线mxy2的焦点，则实数m= 15、给出下列命题： 1）空间中点P的柱坐标为)1 , 6 ,2( ，则点P的直角坐标为 )1 ,3, 1( ； 2）若曲线 22 1 41 xy kk 表示双曲线，则k的取值范围是)4,(), 1 (； 3）已知)0,5(),0, 5(BA，直线BMAM ,相交于点M，且它们的斜率之积为 9 4 ，则点M的 轨迹方程为1 100 9 25 22
6、 yx ； 4）已知双曲线方程为1 2 2 2 y x ，则过点) 1 , 1(P可以作一条直线l与双曲线交于BA,两点， 使点P是线段AB的中点 . 其中正确命题的序号是 16、 设直线)0(03mmyx与双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的两条渐近线分别交 于点BA, 若点)0 ,(mP满足PBPA，则该双曲线的离心率是_ 三、解答题（本大题共有6 个小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、 （本小题满分10 分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是 3yx，且双曲线过点 2,3 （1）求双曲线的方程; （2）求双曲线的焦点到渐近线的距离.
7、 18、( 本题满分12 分）如图，正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的 交点，且BCACBCAC,. (1) 求证： AM 平面EBC； (2) 求直线AB与平面EBC所成角的大小. 19、 （本小题满分12 分）已知直线l的参数方程： 1cos ( sin xt t yt 为参数），曲线C的参数 M E D C B A 方程： 2cos sin x y （为参数） , 且直线l交曲线C于 BA, 两点 . （1）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求 4 时, 线段AB的长度 , （2）已知点)0, 1(P，求当直线倾斜角变化时 , PBPA的范围 . 20、 （本小题满
8、分12 分）已知动圆E过定点)2,0(M，且在x轴上截得弦长为4，设该动圆圆 心的轨迹为曲线 C （1）求曲线C方程； （2）点A为直线l：20xy上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为QP,， 求证：直线PQ恒过定点，并求出该定点. 21、( 本小题满分12 分）如图 , 在四棱锥ABCDP中, 平面PAD平面ABCD, AB,DC PAPD, 已知,102DCAB8 3 4 ADBD (1) 设M是PC上的一点 , 求证 : 平面MBD平面PAD; (2) 当三角形PAD为正三角形时，点M在线段PC（不含线段端点）上的什么位置时，二 面角MADP的大小为 3 D AB C P M 22
9、、 （本小题满分12 分）已知 21,F F 是椭圆 1 42 22 yx 的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上 一点，且满足 1 21PFPF 过点P作倾斜角互补的两条直线PBPA、分别交椭圆于BA, 两点， 1）求点P坐标 ; 2）求证 : 直线AB的斜率为定值 ; 3）求PAB面积的最大值 . x y B A F2 F1 O P 2014-2015 学年度上学期期中考 试高二学年数学理科试题答案 一、选择题： 序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D C B B D C C A A C A 序号13 14 15 16 答案5 6 2) 2 5 三、解答题： 17
10、 、 （本小题满分10 分） (1) 设双曲线方程为： 22 3xy)0( ，点 )3,2( 代入得：3， 所以所求双曲线方程为： 2 2 1 3 y x （2）3 18、 （本小题满分12 分） （1）正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，且 BCAC CDCBCA,两两垂直， 故可建立如图空间直角坐标系xyzC设正方形边长为1，则 1BCAC，) 2 1 ,0, 2 1 (),1 ,0, 1 (),1 ,0 ,0(),0 , 1 ,0(),0 ,0 ,1 (),0,0, 0(MEDBAC ) 2 1 , 0, 2 1 (AM ， ) 1 ,0 , 1(),0, 1 ,0(CECB 0,
11、0CEAMCBAM CCECBCEAMCBAM且, EBCAM面 (2) 由 (1) 知AM为EBC平面的一个法向量，)0, 1 , 1(AB 设所求角大小为，则 2 1 ,cossinABAM 直线AB与EBC平面所成角的大小为30. 19、 （本小题满分12 分） （1）曲线C的普通方程 2 2 1 2 x y 当 4 时 3 24 AB (2) 直线参数方程代入得01cos2)sin1 ( 22 tt 1 , 2 1 sin1 1 2 PBPA 20 、 （本小题满分12 分） （1）设动圆圆心坐标为),(yxE，根据题意得 222 (2)4xyy+-=+，化简得 2 4xy=. （2）
12、设 00 (,)A xy在直线20xy-=上，点 1122 (,),(,)P x yQ xy在抛物线 2 4xy=上， 则以点 P为切点的切线的斜率为 1 2 1 x，( 现在用直线与抛物线联立判别式等于0) 其切线方程为 111 1 () 2 yyxxx-=- 即 11 1 2 yx xy=- 同理以点Q为切点的方程为 22 1 2 yx xy=- 又两条切线的均过点 00 (,)A xy，则 2020 1010 2 1 2 1 yxxy yxxy ， E D C B A z y x M 点,P Q的坐标均满足方程 00 1 2 yxxy=-，即直线PQ的方程为： 00 1 2 yx xy=
13、- 因为 2 00 xy ，所以直线 PQ的方程为)2( 2 1 2 0 xxy 故直线PQ恒过点)2,2( 21、 （本小题满分12 分） （1） 因为8 3 4 ADBD， 得6,8 ADBD， 又因为10AB， 所以有 222 ABBDAD 即BDAD又因为平面PAD平面ABCD，且交线为AD ，所以PADBD平面， BDMBD平面，故平面MBD平面PAD （2 ）由条件可知，三角形PAD 为正三角形，所以取AD的中点 O ，连 PO ，则 PO 垂直于 AD ， 由于平面PAD平面ABCD，所以 PO 垂直于平面ABCD，过 O点作 BD的平行线，交AB于 点 E, 则有ADOE,所以
14、分别以OPOEOA,为 zyx, 轴，建空间直角坐标系 所以点 )33 ,0 ,0(),0, 8 , 3(),0, 0, 3(),0 ,0 , 3(),0 ,0 , 0(PBDAO ， 由于DCAB /且DCAB2，得到)0,4,6(C， 设 PC PM （)10， 则 有)1 (33 ,4,6(M， 因 为 由 （ 1 ） 的 证 明 可 知 PADBD平面，所以平面PAD的法向量可取： )0, 8 ,0( 1 n，设平面MAD 的法向量为 ),( 2 zyxn ，则有 1 4 ,33,0 0)1 (33,4,36)(,( 0)0 ,0,6)(,( 0 0 2 2 zyx zyx zyx D
15、Mn ADn 则有令 即有) 1 4 ,33 ,0( 2 n 由二面角MADP成 3 得 13 9 故当 M满足：PCPM 13 9 时符合条件 22、 （本小题满分12 分） （1）点P的坐标为 )2, 1 ( （2）由题意知，两直线PBPA、的斜率必存在 设直线PB的斜率为k，则直线PB的方程为 )1(2xky 由 1 42 ) 1(2 22 yx xky ，消去y得 04)2()2(2)2( 222 kxkkxk 设),(),( BBAA yxByxA，由韦达定理得 2 2 2 222 k kk xB 同理可得 2 2 2 222 k kk xA 所以2 BA BA AB xx yy k为定值。 （3）由（ 2）可设直线AB的方程为 mxy2 ， 联立方程，得 1 42 2 22 yx mxy ，消去y得04224 22 mmxx 由判别式大于0，得 )22,22(m 易知点P到直线AB的距离为 3 m d ) 2 1 4( 3 2 mAB 所以2)8( 8 1 2 122 mmdABS PAB 当且仅当2m时取等号，满足)22,22(m 所以PAB面积的最大值为2 版权所有：网 (wwwcom)