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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 1 章 不等关系与基本不等式学业分层测评 5 运用平均值不等式 求最大（小）值北师大版选修 4-5 (建议用时： 45 分钟 ) 学业达标 一、选择题 1若x，y是正数，则 (xy) 1 x 4 y 的最小值为 ( ) A 6 B9 C12 D15 【解析】(xy) 1 x 4 y 5 4x y y x9，故选 B. 【答案】B 2已知x，y为正数，且x4y1，则xy的最大值为 ( ) A. 1 4 B 1 8 C. 1 16 D 1 32 【解析】x，y0，xy 1 4(x4y) 1 4 x4y 2 2 1 16 ，故选 C. 【答案】C 3已
2、知x1，y1，且 lg xlg y 4，那么 lg x lg y的最大值是 ( ) A 2 B. 1 2 C.1 4 D4 【解析】x1，y1， lg x0， lg y0， lg x lg y lg xlg y 2 4 22， lg xlg y4. 【答案】D 4设x，y为正数，且xy 1，则使xya恒成立的a的最小值是 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A. 2 2 B2 C2 D22 【解析】(xy)212xy1xy2， 故xy2，从而a必须不小于2. 【答案】B 5如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是( ) A. l 6 3 B l 3 3 C. l 4
3、3 D l 4 1 4 3 【解析】l4r2h，即 2rh l 2， Vr2h rrh 3 3 l 6 3 . 当且仅当rh l 6时等号成立 【答案】A 二、填空题 6设x0，则y2x 4 x的最大值是 _ 【解析】x0，x 4 x2 x 4 x4， y2x 4 x24 2， 当且仅当x 4 x， 即x2 时，y取最大值为 2. 【答案】 2 7已知x，y大于 0，且满足 x 3 y 41，则 xy的最大值为 _ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解析】x0，y0 且 1 x 3 y 42 xy 12 ， xy3. 当且仅当 x 3 y 4时取等号 【答案】3 8已知x，y0，xy
4、1，则x 1 x y 1 y 的最小值为 _. 【导学号： 94910015】 【解析】由x0，y0，xy1， 得x 1 x y 1 y xy y x x y 1 xy 2xy 1 xy2 x y y x4. 当且仅当xy 1 2时取等号 【答案】4 三、解答题 9已知x，y，a，b均为正数，x，y为变数，a，b为常数，且ab10， a x b y1， x y的最小值为18，求a，b. 【解】xy0，a0，b0 且 a x b y 1， xy(xy) a x b y ab bx y ay x ab2 bx y ay x ab 2ab(ab)2. 当且仅当 bx y ay x 时取等号， 此时
5、(xy)min(ab)218. 即ab2ab18. 又ab10， 联立 ab2ab 18， ab10， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解得 a2， b8 或 a8， b2. 10经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆 / 小时 )与 汽车的平均速度v(千米 / 小时 )之间的函数关系为y 920v v23v1 600 (v0) (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精 确到 0.1千辆 / 小时 ) (2)若要求在该时段内车流量超过10 千辆 / 小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【解】(1)依题意y 920
6、 3v1 600/v 920 321 600 920 83 ， 当且仅当v 1 600 v ，即v40 时等号成立 ymax 920 83 11.1(千辆 / 小时 ) 当v40 千米 / 小时时，车流量最大，约为11.1千辆 / 小时 (2)由条件得 920v v23v 1 600 10， 整理得v289v1 6000，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则 ab 2 cd 的 最小值是 ( ) A 0 B1 C2 D4 【解析】依题意abxy，xycd， 又x0，y0， ab 2 cd xy 2 xy 2 y x x y 4. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
7、 当且仅当xy时，等号成立 ab 2 cd 的最小值为4. 【答案】D 2对于x 0， 2 ，不等式 1 sin2x p cos 2x16 恒成立，则正数 p的取值范围为( ) A(， 9 B(9,9 C(， 9 D9， ) 【解析】令tsin2x，则 cos 2x1 t. 又x 0， 2 ，t(0,1) 不等式 1 sin2x p cos2x16 可化为 p 16 1 t (1t)， 令y 16 1 t (1t)17 1 t 16t17 2 1 t 16t9， 当 1 t 16t，即t 1 4时取等号， 因此原不等式恒成立，只需p9. 【答案】D 3若对任意x0， x x23x1 a恒成立，
8、则a的取值范围是 _. 【导学号： 94910016】 【解析】由x0，原不等式等价于 0 1 a x2 3x1 x x 1 x3 恒成立， 所以 1 a x 1 x3 min5，即 0 1 a5，解得 a 1 5 .当且仅当x 1 x即 x 1时，取等号 【答案】a 1 5 4某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位： m)，如图 1-3-2 所示，垂直放置的标杆 BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 1-3-2 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位： m)，使与 之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125 m，问：d为多少时，最大？ 【解】由题设知dAB，得 tan H d. 由ABADBD H tan h tan ，得 tan Hh d ， 所以 tan () tan tan 1 tan tan h d HHh d h 2HHh ， 当且仅当d HHh d ，即dHHh1251254555时，上式取 等号 所以当d555时， tan ()最大 因为 0 2， 则 0 2， 所以当d555时，最大故所求的d是 555 m.