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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 2 章 几个重要的不等式学业分层测评 10 简单形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式北师大版选修 4-5 (建议用时： 45 分钟 ) 学业达标 一、选择题 1已知a，b为正数，且ab1，则P (axby)2与Qax2by 2 的关系是 ( ) APQBPQ CPQDPQ 【解析】设m(ax，by)，n(a，b)， 则|axby| |mn| |m|n| ax 2 by 2 a 2 b 2 ax 2 by2abax 2by2， 所以 (axby)2ax 2 by2.即PQ. 【答案】A 2已知xy1，那么 2x23y2的最小值是 ( ) A. 5
2、 6 B 6 5 C. 25 36 D 36 25 【解析】2x23y2(2x23y2) 1 2 1 3 6 5 6 5 2x 2 2 3y 3 3 2 6 5 (xy)2 6 5. 【答案】B 3已知x，y，z均大于 0，且xyz1，则 1 x 4 y 9 z的最小值为 ( ) A 24 B30 C36 D48 【解析】(xyz) 1 x 4 y 9 z 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 x 1 x y 2 y z 3 z 2 36， 1 x 4 y 9 z36. 【答案】C 4设x，y，m，n0，且 m x n y1，则 uxy的最小值是 ( ) A(mn)2Bm C.nD(mn)
3、2 【解析】根据柯西不等式，得xy(xy) m x n y x m x y n y 2 (m n)2， 当且仅当 x m y n 时，等号成立， 这时u取最小值为 (mn)2. 【答案】A 5函数yx526x的最大值是 ( ) A.3 B5 C3 D5 【 解 析 】根 据 柯 西 不 等 式 ， 知y 1 x5 2 6x1222 x5 2 6x 2 5. 【答案】B 二、填空题 6函数yx3x的最大值为 _ 【解析】由x，3x非负且 (x)2 (3x)23， 所以x3x2x 2 3x 2 236. 【答案】6 7设x，y为正数，且x2y8，则 9 x 2 y的最小值为 _. 积一时之跬步臻千
4、里之遥程 马鸣风萧萧整理 【导学号： 94910031】 【解析】(x2y) 9 x 2 y (x)2(2y)2 3 x 2 2 y 2 x 3 x 2y 2 y 2 25， 又x2y8， 9 x 2 y 25 8 . 【答案】 25 8 8设a，b，c，x，y，z都是正数，且a 2 b2c225，x2y2z236，axbycz30， 则 abc xyz_. 【解析】由柯西不等式， 得 2536(a 2b2 c 2)(x2 y2z2) (axbycz)230 2. 当且仅当 a x b y c z k时取“”， 由k2(x2y2z2)22536，解得k 5 6， 所以 abc xyz k 5
5、6 . 【答案】 5 6 三、解答题 9已知实数x，y，z满足x 2yz1，求tx24y2z2的最小值 【解】由柯西不等式得 (x24y2z2)(1 11)(x2yz)2. x2yz1， 3(x24y2z2)1，即x2 4y2z2 1 3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当且仅当x2yz 1 3，即 x 1 3， y 1 6， z 1 3时等号成立 故x24y 2 z 2 的最小值为 1 3. 10已知为锐角，a，b均为正数 求证： (ab)2 a2 cos2 b2 sin 2 . 【证明】设m a cos ， b sin ， n(cos ，sin )， 则|ab| a cos c
6、os b sin sin |mn| |m|n| a cos 2 b sin 2 1 a2 cos 2 b2 sin 2 ， (ab)2 a 2 cos2 b2 sin2 . 能力提升 1已知x，y为正数，且xy 1，则 1 1 x 1 1 y 的最小值为 ( ) A 4 B2 C1 D 1 4 【解析】1 1 x 1 1 y 12 1 x 2 1 2 1 y 2 11 1 x 1 y 2 1 1 xy 2 224. 【答案】A 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2设a1，a2，an为正数，P a1a2an n ，Q n 1 a1 1 a2 1 an ，则P，Q间的大 小关系为 ( )
7、APQBPQ CPQDPQ 【解析】 (a1a2an) 1 a1 1 a2 1 an (11 1)2 n个 n2， a1a2an n n 1 a1 1 a2 1 an . 即PQ. 【答案】B 3 已 知 函 数y 3x5 46x， 则 函 数 的 定 义 域 为 _ ， 最 大 值 为 _ 【解析】函数的定义域为5,6，且y0， y3x546x 3 242 x5 2 6x 25， 当且仅当 36x4x 5， 即x 134 25 时取等号 ymax 5. 【答案】5,6 5 4ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R. 求证： (a2b2c2) 1 sin 2A 1 sin2B 1 sin2C 36R2. 【证明】由三角形中的正弦定理得： sin A a 2R ，所以 1 sin2A 4R2 a 2 ， 同理 1 sin 2B 4R2 b2 ， 1 sin2C 4R2 c 2 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 于是由柯西不等式可得 左边 (a2b2c2) 4R 2 a 2 4R2 b2 4R2 c2 a 2R a b 2R b c 2R c 236R2， 所以原不等式得证