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1、导数中分类讨论思想的应用及分类 导数之所以难是因为加入了参数使得确定的函数变的不确定，因此对参数进行讨 论进而确定出函数的单调区间、极值、最值、趋势图像是高考中每年必考的内容，分 类讨论思想在任何专题中都可能出现，很多老师反复提醒要做到不重不漏，可是要做 到不重不漏的前提是在做题之前就应该知道该题目分类讨论的依据是什么，今天我们 重点来看看如何把握导数中常见的分类讨论依据。 如果没有参数，我们队复杂函数求最值的程序是： 那么既然设置参数了，导函数也必定含有参数，则分类讨论就出现了，因为导函 数含有参数，那么对导函数求根的时候有没有根？有几个根？如果有两个根，则两根 大小如何确定？如果题目的参数
2、设置不是在函数上而是在定义域上，则函数是能够准 确作出趋势图像的，但是定义域有参数就意味着可以左右移动，在移动的过程中单调 区间和最值都会发生变化。因此在导数中分类讨论题目主要分成这两大类，第一：参 数在函数上，第二：参数在定义域上，若函数和定义域都有参数，如果是相同的参数 还好说，如果是不同的参数，题目就麻烦了。 根据高考出题形式，今天主要讨论参数在函数上的类型，在复杂函数形式设置上 有两种常见的方向，一种是导函数可以转化为二次函数或者类二次函数的形式，另一 种是非二次函数的形式，可能里面涉及了三角函数，指数对数等。 题型一：导函数是二次函数或者类二次函数形式的 既然是二次函数的形式，那么必
3、须考虑二次函数参数的设置，若参数在二次项的 系数上则若系数为零，则导函数就可以转化为一次函数的形式，若不是零，则继续按 照二次函数形式求根；若参数在一次项的系数上，则二次函数开口确定，对称轴不确 定；若参数在常数项上，则开口和对称轴都是确定的，但是不确定，因此二次函数 是否有根也不确定，故二次函数形式的导函数讨论流程如下： 如若二次函数或高次函数的最高次系数存在参数，则需对参数是否为零进行讨 论，但是有一类除外，即如果二次函数各项符号均相同（同正同负）时则可以直 接判定，例 2 21yaxa，可直接判断出当0a时， 0y，再例 2 21yaxa，则可直接判断出当0a时， 0y，此时不需要对参数
4、是否 为零进行讨论，除此之外均需对参数是否为零进行讨论； 求导函数求导函数的根解不等式求 得单调区间 根据定义域求 极值和最值 若二次函数最高次不为零时，则需对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的 是判断导函数是否有根，从而确定原函数极值点的个数； 若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分 别讨论两根的大小关系； 若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系。 例 1.已知函数 2 ( )(1)ln1f xaxax，讨论函数( )f x的单调性。 解析：函数( )f x的定义域为(0,)， 2 21 ( ) axa fx x 当0a时， ( )0
5、fx，故函数( )f x在定义域内单调递增。 当1a时， ( )0fx，此时( )f x在定义域内单调递减。 当10a时，令 ( )0fx，解得 1 2 a x a 当 1 (0, 2 a x a 时， ( )0fx；当 1 ,) 2 a x a 时， ( ) 0fx 故( )f x在 1 (0, 2 a x a 单调递增，在 1 ,) 2 a x a 单调递减。 注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符 号相同，很容易判断a非负状态下的单调性，切记，切记。 例 2.已知函数 2 ( )lnf xxxax，讨论( )f x在定义域上的单调性。 解析： 2 2 (
6、)(0) xxa fxx x ，1 8a 当180a时， 1 8 a， ( )0fx恒成立，( )fx在(0,)上单调递增； 当180a时， 1 8 a，此时 12 118118 , 44 aa xx 若 12 0xx，即 1 0 8 a时，( )f x在 118118 (,) 44 aa 单调递减，在 118118 (0,),(,) 44 aa 上单调递增 12 0xx，即0a时，( )f x在 118 (0,) 4 a 上单调递减，在 118 (,) 4 a 上单调递增。 综上，略 例 3.已知函数 2 1 ( )(1)ln 2 f xxaxax，1a讨论函数( )f x的单调性。 解析：
7、函数( )f x的定义域为(0,)， 2 1(1)(1) ( ) xaxaxxa fx xx 令 ( )0fx，则 12 1,1xxa （此时需要判断两根的大小关系，且勿忽略相等的时候） 当1 1a，即2a时， ( )0fx，此时( )f x在(0,)上单调递增； 当1 1a，即2a时，此时( )f x在(0,1),(1,)a上单调递增，在(1,1)a上 单调递减； 当1 1a，即12a时，此时( )f x在(0,1)(1,)a上单调递增，在(1,1)a 上单调递减。 综上，略 例 4求函数 32 1 ( )1 3 f xxax 在区间0,2上的最值。 解析： 2 ( )2(2 )0fxxax
8、x xa， 12 0,2xxa 当0a时，( )f x在0,2上单调递增，此时 minmax 11 ( )(0)1,( )(2)4 3 f xff xfa 当01a时，( )f x在(0,2)a上单调递减，在(2 ,2)a上单调递增， min 11 ( )(2 ),(0)1,(2)4 3 f xfaffa 若 11 14 3 a，即 2 3 a时， max ( )(0)1fxf 若 11 14 3 a，即 2 3 a时， max ( )(0)(2)1fxff 若 11 14 3 a，即 2 3 a 时， max 11 ( )(2)4 3 fxfa 当1a时，( )f x在0,2上单调递减， m
9、in 11 ( )(2)4 3 f xfa， max ( )(0)1f xf 例 5.已知函数 21 ( )()ln 2 f xaxx，若在区间(1,)上，函数的图像恒在直线 2yax的下方，求实数a的取值范围。 解析：在区间(1,)上，函数的图像恒在直线2yax的下方等价于( )2f xax在区 间(1,)上恒成立，即 2 1 ()ln20 2 axxax，由于不能分离参数，因此采用 整体法，设 2 1 g( )()ln2 2 xaxxax， 2 (21)21(1)(21)1 g ( ) axaxxax x xx ，接下来求g( )x的最大值，需要 对参数进行分类讨论。 当210a，即 1
10、2 a时， 1 g ( )0 x x x 在(1, )上恒成立， max g( )(1)1xg，此时符合题意。 当 1 1 21a 时，即1a， g ( )0x，此时不符合题意 当 1 1 21a 时，即 1 1 2 a，此时g( )x在 1 (1,) 21a 单调递减，在 1 (,) 21a 单 调递增，不符合题意 当 1 1 21a 时，即1a或 1 2 a 当1a时，此时g( )x在(1,)单调递增，不符合题意 当 1 2 a时，此时g( )x在(1,)单调递减， max 1 g( )(1) 2 xga，若符合 题意则 1 0 2 a，解得 11 22 a 综上所述， 11 22 a 题
11、型二：导函数不是二次函数和类二次函数形式 能因式分解的先分解，之后求根，注意所求的根在所给出的定义域有没有意义， 如果两个根中有一个或两个含有参数，则需要对比两根的大小关系，最后如果原函数 有定义域，还需判断极值点和定义域端点处的位置关系。 例 6.已知函数 2 ( )2cos,g()(cossin22) x f xxxxexxx，令 ( )g( )( )h xxafx，讨论( )h x的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值。 解析： 2 ( )(cossin22)(2cos) x h xexxxa xx， ( )()(22sinx) x h xeax 需要注意 yx和sinyx的图像关系如
12、下： 根据图像可知当0x时，sinxx；当0x时，sinxx （1）当0a时，0 x ea，令 ( )0h x则=0x；令 ( ) 0,0h xx；令 ( ) 0,0h xx，所以函数( )h x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增， 函数存在极小值(0)12ha （2）当0a时，令 ( ) 0h x，则0x或lnxa，接下来需要讨论ln a和 0 的大 小关系。 当ln0a，即1a时， ( )0h x，( )h x单调递增，无极值点； 当ln0a，即1a时，( )h x在(,0),(ln,)a上单调递增，在(0,ln)a单 调递减，此时函数有极大值(0)21ha，有极小值 2 (ln)ln2lnsin(ln)cos(ln)2haaaaaa 当ln0a，即01a时，( )h x在(,ln),(0,)a单调递增，在(ln,0)a单 调递减，此时函数有极大值 2 (ln)ln2lnsin(ln)cos(ln)2haaaaaa， 有极小值(0)21ha 综上，略 f(x)=sin(x) f(x)=x 上题中导函数必须分解因式，否则根本求不出根，分解之后能看出一个根是0x， 但是另外一个式子能否有根取决于a的正负，若0a，则整个导函数有两个根，若 0a，则导函数有一个根，若有两个根还需要判断两个根的大小关系。