【年必备】广东省东莞市数学二调试卷(文科)及解析.pdf

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1、广东省东莞市高考数学二调试卷（文科） 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知 A= 1，2，4，8，16，B= y| y=log2x，xA，则 AB=（） A 1，2B 2，4，8C 1，2，4D1，2，4，8 2 （5 分）若复数 z 满足（1+2i）z=（1i） ，则| z| =（） ABC D 3 （5 分）已知 sin cos= ，则 sin2 = （） A B C D 4 （5 分）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其 短轴长的，则该椭圆的离心率为（） ABC D

2、5 （5 分）在 ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则 sinA=（） ABC D 6 （5 分）已知，则 z=2 2x+y 的最小值是（） A1 B16 C 8 D4 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（） A7 B9 C 10 D11 8 （5 分）设函数 f（x）=x3+ax 2，若曲线 y=f（x）在点 P（x 0，f（x0） ）处的切线 方程为 x+y=0，则点 P的坐标为（） A （0，0） B （1，1）C （1，1）D （1，1）或（ 1，1） 9 （5 分）在正四棱锥 PABCD中，PA=2 ，直线 PA与平面 ABCD所成角为 60 ， E为 PC的中

3、点，则异面直线PA与 BE所成角为（） A90B60C 45D30 10 （5 分）已知函数 f（x）=sinx+cosx （ R）的图象关于 x=对称，则把 函数 f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2 倍，再向右平移，得到 函数 g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（） Ax=Bx=Cx=Dx= 11 （5 分）函数 y=2x 2e|x| 在 2，2 的图象大致为（） AB CD 12 （5 分）已知函数 f（x）=xsinx+cosx +x 2，则不等式 的 解集为（） A （e，+）B （0，e） CD 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13

4、（5 分）设向量=（x，x+1） ， =（1，2） ，且 ，则 x= 14 （5 分）在各项都为正数的等比数列 an中，已知 a1=2， 则数列 an 的通项公式 an= 15 （5 分）已知 | x| 2，| y| 2，点 P 的坐标为（ x，y） ，当 x，yR时，点 P 满足（ x2）2+（y2）24 的概率为 16 （5 分）已知函数，其中 m0，若存在实数 b， 使得关于 x 的方程 f（x）=b有三个不同的零点，则m 的取值范围是 三解答题：共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作 答 （一

5、）必考题：共60 分 17 （12 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an2（nN * ） （）求数列 an 的通项公式； （） 求数列 Sn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）某城市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质量指数API的监 测数据，结果统计如下： API 0， 50 （50， 100 （100， 150 （150， 200 （200， 250 （250， 300 300 空气质 量 优良轻微污 染 轻度污 染 中度污 染 中度重污 染 重度污 染 天数413183091115 记某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位： 元） ， 空气质量

6、指数 API为 在 区间 0，100 对企业没有造成经济损失；在区间（100，300 对企业造成经济损 失成直线模型（当API为 150 时造成的经济损失为 500 元，当 API为 200 时， 造成的经济损失为700 元） ；当 API大于 300 时造成的经济损失为 2000 元； （1）试写出是 S（ ）的表达式： （2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于 200 元且不超过 600 元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季， 其中有 8 天为重度污染， 完成 下面 22 列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖 有关？ 附： P（K

7、 2 k0） 0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k01.322.072.703.848.026.637.8710.82 K 2= 非重度污染重度污染合计 供暖季 非供暖季 合计100 19 （12 分）如图 1，矩形 ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为 CD、AB边上的 点，且 DE=3 ，BF=4 ，将BCE沿 BE折起至 PBE位置（如图 2 所示） ，连结 AP、 PF ，其中 PF=2 （1）求证： PF 平面 ABED ； （2）求点 A 到平面 PBE的距离 20 （12 分）已知椭圆 C：的离心率为，且过点 A （2，1） （）

8、 求椭圆 C的方程； （） 若 P，Q 是椭圆 C上的两个动点，且使 PAQ的角平分线总垂直于x 轴， 试判断直线 PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）=x 2（a2）xalnx（aR） （）求函数 y=f（x）的单调区间； （）当 a=1时，证明：对任意的x0，f（x）+exx2+x+2 （二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做， 则按所做的第一题计分答题时请写清题号并将相应信息点涂黑 选修 4-4 参 数方程与极坐标系 22 （10 分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t 为参数）在以坐标 原点为极点，

9、 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：=2 （） 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （） 求曲线上的点到直线的距离的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| x+a1|+| x2a| （1）若 f（1）3，求实数 a 的取值范围； （2）若 a1，xR，求证： f（x）2 2018 年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知 A= 1，2，4，8，16，B= y| y=log2x，xA，则 AB=（） A 1，2B 2，

10、4，8C 1，2，4D1，2，4，8 【解答】 解： A= 1，2，4，8，16， B= y| y=log2x，xA= 0，1，2，3，4 ， AB= 1，2，4 故选： C 2 （5 分）若复数 z 满足（1+2i）z=（1i） ，则| z| =（） ABC D 【解答】 解：由（ 1+2i）z=（1i） ， 得=， 则| z| = 故选： C 3 （5 分）已知 sin cos= ，则 sin2 = （） A B C D 【解答】 解： sin cos= ， （sin cos ）2=12sin cos=1 sin2 =， sin2 = ， 故选： A 4 （5 分）直线 l 经过椭圆的一个

11、顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其 短轴长的，则该椭圆的离心率为（） ABC D 【解答】 解：设椭圆的方程为：，直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个 焦点， 则直线方程为：，椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的， 可得：， 4=b 2（ ） ， ， =3， e= = 故选： B 5 （5 分）在 ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则 sinA=（） ABC D 【解答】 解：在 ABC中，B=，BC边上的高等于BC ， AB=BC ， 由余弦定理得： AC=BC ， 故BC? BC= AB?AC?sinA= ?BC?BC?sinA ， sinA=， 故选： D 6 （5 分）已知，则

12、 z=2 2x+y 的最小值是（） A1 B16 C 8 D4 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图， 设 m=2x+y，则得 y=2x+m， 平移直线 y=2x+m， 由图象可知当直线y=2x+m 经过点 A 时，直线的截距最小， 此时 m 最小， z也最小， 由，解得，得 A（1，1） 此时 m=21+1=3，z=2 2x+y=z=23=8， 故选： C 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（） A7 B9 C 10 D11 【解答】 解：模拟程序的运行，可得： ，否； ，否； ，否； ，否； ， 是，输出 i=9， 故选： B 8 （5 分）设函数 f（x）=x

13、3+ax2，若曲线 y=f（x）在点 P（x 0，f（x0） ）处的切线 方程为 x+y=0，则点 P的坐标为（） A （0，0） B （1，1）C （1，1）D （1，1）或（ 1，1） 【解答】 解： f（x）=x 3+ax2， f （x）=3x 2+2ax， 函数在点（ x0，f（x0） ）处的切线方程为x+y=0， 3x02+2ax0=1， x0+x03+ax02=0，解得 x0=1 当 x0=1 时，f（x0）=1， 当 x0=1 时，f（x0）=1 故选： D 9 （5 分）在正四棱锥 PABCD中，PA=2 ，直线 PA与平面 ABCD所成角为 60 ， E为 PC的中点，则异面

14、直线PA与 BE所成角为（） A90B60C 45D30 【解答】 解：连接 AC，BD交于点 O，连接 OE，OP 因为 E为 PC中点，所以 OE PA， 所以 OEB即为异面直线 PA与 BE所成的角 因为四棱锥 PABCD为正四棱锥， 所以 PO平面 ABCD ， 所以 AO为 PA在面 ABCD内的射影，所以 PAO即为 PA与面 ABCD所成的角， 即PAO=60 ， 因为 PA=2 ，所以 OA=OB=1 ，OE=1 所以在直角三角形EOB中OEB=45 ，即面直线 PA与 BE所成的角为 45 故选： C 10 （5 分）已知函数 f（x）=sinx+cosx （ R）的图象关

15、于 x=对称，则把 函数 f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2 倍，再向右平移，得到 函数 g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（） Ax=Bx=Cx=Dx= 【解答】 解：根据函数f（x）=sinx+cosx （ R）的图象关于x=对称，可 得， 可得 = 1，所以 把 f（x）的图象横坐标扩大到原来的2 倍，可得 y=sin（x）的图象， 再向右平移，得到函数 g（x）=sin（x） =sin（x） 的图象， 即 g（x）=sin（） ， 令=k +，求得 x=2k +，kZ，故函数 g（x）的图象的对称轴 方程为 x=2k +，kZ 当 k=0时，对称轴的方程为， 故

16、选： D 11 （5 分）函数 y=2x 2e|x|在 2，2 的图象大致为（ ） AB CD 【解答】 解： f（x）=y=2x 2e|x| ， f（x）=2（x）2e |x| =2x 2e|x| ， 故函数为偶函数， 当 x=2 时，y=8e2（0，1） ，故排除 A，B； 当 x 0，2 时，f（x）=y=2x 2ex， f （x）=4xex=0有解， 故函数 y=2x 2e|x|在 0，2 不是单调的，故排除 C， 故选： D 12 （5 分）已知函数 f（x）=xsinx+cosx +x2，则不等式的 解集为（） A （e，+）B （0，e） CD 【解答】 解：函数 f（x）=xs

17、inx+cosx+x 2 的导数为： f （x）=sinx+xcosx sinx+2x=x（2+cosx） ， 则 x0 时，f （x）0，f（x）递增， 且 f（x）=xsinx+cos（x）+（x）2=f（x） ， 则为偶函数，即有f（x）=f（| x| ） ， 则不等式，即为 f（lnx）f（1） 即为 f（| lnx| ）f（1） ， 则| lnx| 1，即 1lnx1，解得，xe 故选： D 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 （5 分）设向量=（x，x+1） ， =（1，2） ，且 ，则 x= 【解答】 解：； ； 即 x+2（x+1）=0； 故答案为：

18、 14 （5 分）在各项都为正数的等比数列 an中，已知 a1=2， 则数列 an 的通项公式 an= 【解答】 解：设等比数列 an 的公比为 q0，a1=2， +=4，化为： q44q2+4=0， 解得 q2=2，q0，解得 q= 则数列 an 的通项公式 an= 故答案为： 15 （5 分）已知 | x| 2，| y| 2，点 P 的坐标为（ x，y） ，当 x，yR时，点 P 满足（ x2）2+（y2）24 的概率为 【解答】 解：如图，点 P所在的区域为正方形ABCD及其内部 满足（ x2）2+（y2）24 的点位于的区域是 以 C（2，2）为圆心，半径等于2 的圆及其内部 P满足（

19、 x2）2+（y2） 24 的概率为 P1= 故答案为： 16 （5 分）已知函数，其中 m0，若存在实数 b， 使得关于 x 的方程 f （x） =b有三个不同的零点， 则 m 的取值范围是（3， +） 【解答】 解：当 m0 时，函数的图象如下： xm 时，f（x）=x 22mx+4m=（xm）2+4mm24mm2， y 要使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根， 必须 4mm2m（m0） ， 即 m23m（m0） ， 解得 m3， m 的取值范围是（ 3，+） ， 故答案为：（3，+） 三解答题：共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个考

20、生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作 答 （一）必考题：共60 分 17 （12 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an2（nN * ） （）求数列 an 的通项公式； （） 求数列 S n的前 n 项和 Tn 【解答】 解： （）列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an2 则：Sn+1=2an+12， 得： an+1=2an， 即：（常数） ， 当 n=1时，a1=S1=2a12， 解得： a1=2， 所以数列的通项公式为：， （）由于：， 则：， =， =2n +12 22 2， =2n +242n 18 （12 分）某城市随机抽取一年（365

21、天）内 100 天的空气质量指数API的监 测数据，结果统计如下： API 0， 50 （50， 100 （100， 150 （150， 200 （200， 250 （250， 300 300 空气质 量 优良轻微污 染 轻度污 染 中度污 染 中度重污 染 重度污 染 天数413183091115 记某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位： 元） ， 空气质量指数 API为 在 区间 0，100 对企业没有造成经济损失；在区间（100，300 对企业造成经济损 失成直线模型（当API为 150 时造成的经济损失为 500 元，当 API为 200 时， 造成的经济损失为700 元） ；

22、当 API大于 300 时造成的经济损失为 2000 元； （1）试写出是 S（ ）的表达式： （2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于 200 元且不超过 600 元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季， 其中有 8 天为重度污染， 完成 下面 22 列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖 有关？ 附： P（K 2 k0） 0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k01.322.072.703.848.026.637.8710.82 K 2= 非重度污染重度污染合计 供暖季 非供暖季 合计100 【解答

23、】解： （1）根据在区间 0，100 对企业没有造成经济损失；在区间（100， 300 对企业造成经济损失成直线模型 （当 API为 150时造成的经济损失为500 元， 当 API为 200 时，造成的经济损失为700 元） ；当 API大于 300 时造成的经济损 失为 2000 元，可得 S （ ）=； （2）设“ 在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于 200 元且不超过 600 元” 为事件 A； 由 200S600，得 100 175，频数为 33， P（A）=； （2）根据以上数据得到如表： 非重度污染重度污染合计 供暖季22830 非供暖季63770 合计8515100 K

24、2 的观测值 K 2= 4.5753.841 所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关 19 （12 分）如图 1，矩形 ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为 CD、AB边上的 点，且 DE=3 ，BF=4 ，将BCE沿 BE折起至 PBE位置（如图 2 所示） ，连结 AP、 PF ，其中 PF=2 （1）求证： PF 平面 ABED ； （2）求点 A 到平面 PBE的距离 【解答】 解： （1）连结 EF ， 由翻折不变性可知， PB=BC=6 ，PE=CE=9 ， 在PBF中，PF 2+BF2=20+16=36=PB2， 所以 PFBF （2 分） 在图 1 中，利用勾

25、股定理，得EF=， 在PEF中，EF 2+PF2=61+20=81=PE2， PF EF （4 分） 又BF EF=F ，BF? 平面 ABED ，EF ? 平面 ABED ， PF 平面 ABED （6 分） （2）解：由（ 1）知 PF平面 ABED ， PF为三棱锥 PABE的高 （8 分） 设点 A 到平面 PBE的距离为 h， 由等体积法得 VAPBE=VPABE， （10 分） 即 h=， 即点 A 到平面 PBE的距离为 （14 分） 20 （12 分）已知椭圆 C：的离心率为，且过点 A （2，1） （） 求椭圆 C的方程； （） 若 P，Q 是椭圆 C上的两个动点，且使 PA

26、Q的角平分线总垂直于x 轴， 试判断直线 PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由 【解答】 解： （） 因为椭圆 C的离心率为，且过点 A（2，1） ， 所以， （2 分） 因为 a2=b2+c2， 解得 a2=8，b2=2， （3 分） 所以椭圆 C的方程为 （4 分） （）解法一：因为 PAQ的角平分线总垂直于x 轴，所以 PA与 AQ 所在直线 关于直线 x=2对称 设直线 PA的斜率为 k，则直线 AQ的斜率为 k （5 分） 所以直线 PA的方程为 y1=k（x2） ，直线 AQ的方程为 y1=k（x2） 设点 P（xP，yP） ，Q（xQ，yQ） ， 由，消去 y，

27、得（ 1+4k2）x2（16k28k）x+16k216k4=0 因为点 A （2， 1） 在椭圆 C上， 所以 x=2是方程的一个根，则， （6 分） 所以 （7 分） 同理 （8 分） 所以 （9 分） 又 （10 分） 所以直线 PQ的斜率为 （11 分） 所以直线 PQ的斜率为定值，该值为 （12 分） 解法二：设点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则直线 PA的斜率，直线 QA 的斜率 因为 PAQ的角平分线总垂直于x轴， 所以 PA与 AQ所在直线关于直线x=2对称 所以 kPA=kQA，即， （5 分） 因为点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）在椭圆 C上， 所以，

28、由得，得， （6 分） 同理由得， （7 分） 由得， 化简得 x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0， （8 分） 由得 x1y2+x2y1（x1+x2）2（y1+y2）+4=0， （9 分） 得 x1+x2=2（y1+y2） （10 分） 得，得 （11 分） 所以直线 PQ的斜率为为定值 （12 分） 解法三：设直线 PQ的方程为 y=kx+b，点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则 y1=kx1+b，y2=kx2+b， 直线 PA的斜率，直线 QA 的斜率 （5 分） 因为 PAQ的角平分线总垂直于x轴， 所以 PA与 AQ所在直线关于直线x=2对称 所

29、以 kPA=kQA，即=， （6 分） 化简得 x1y2+x2y1（x1+x2）2（y1+y2）+4=0 把 y1=kx1+b，y2=kx2+b 代入上式，并化简得2kx1x2+（b12k） （x1+x2） 4b+4=0 （*） （7 分） 由，消去 y 得（4k2+1）x2+8kbx+4b28=0， （* ） 则， （8 分） 代入（ *）得， （9 分） 整理得（ 2k1） （b+2k1）=0， 所以或 b=12k （10 分） 若 b=12k，可得方程（ * ）的一个根为 2，不合题意 （11 分） 若时，合题意 所以直线 PQ的斜率为定值，该值为 （12 分） 21 （12 分）已知函

30、数 f（x）=x 2（a2）xalnx（aR） （）求函数 y=f（x）的单调区间； （）当 a=1时，证明：对任意的x0，f（x）+exx2+x+2 【解答】 解： （）函数 f（x）的定义域是（ 0，+） ， f （x）=2x（a2）= （2 分） 当 a0 时，f （x）0 对任意 x（0，+）恒成立， 所以，函数 f（x）在区间（ 0，+）单调递增； （4 分） 当 a0 时，由 f （x）0 得 x，由 f （x）0，得 0x， 所以，函数在区间（，+）上单调递增，在区间（0，）上单调递减； （）当 a=1时，f（x）=x 2+xlnx， 要证明 f（x）+exx2+x+2， 只需证

31、明 exlnx20，设 g（x）=exlnx2， 则问题转化为证明对任意的x0，g（x）0， 令 g （x）=e x =0，得 ex=， 容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则 x0满足 ex0=， 当 x 变化时， g （x）和 g（x）变化情况如下表 x（0，x0）x0（x0，） g （x）0+ g（x）递减递增 g（x）min=g（x0）=e x0 lnx02=+x02， 因为 x00，且 x01，所以 g（x）min22=0， 因此不等式得证 （二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做， 则按所做的第一题计分答题时请写清题号并将相应信息点涂黑 选修 4-4

32、 参 数方程与极坐标系 22 （10 分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t 为参数）在以坐标 原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：=2 （） 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （） 求曲线上的点到直线的距离的最大值 【解答】 解： （）直线的参数方程为（t 为参数） ， 转化为： x+y4=0 曲线 C：=2 转化为： x 2+y2=2x+2y， 即：x 2+y22x2y=0 （）圆的方程 x2+y22x2y=0， 转化为标准式为：（x1）2+（y1） 2=2， 则：圆心（ 1，1）到直线的距离 d=， 所以：曲线上的点到直线的最大距离为： 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| x+a1|+| x2a| （1）若 f（1）3，求实数 a 的取值范围； （2）若 a1，xR，求证： f（x）2 【解答】 解： （1）因为 f（1）3，所以 | a|+| 12a| 3 当 a0 时，得 a+（12a）3， 解得 a，所以a0； 当 0a时，得 a+（12a）3， 解得 a2，所以 0a； 当 a时，得 a（12a）3， 解得 a，所以a； 综上所述，实数 a 的取值范围是（，） （2）因为 a1，xR， 所以 f（x）=| x+a1|+| x2a| | （x+a1）（x2a）| =| 3a1| =3a12