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1、章末综合测评 ( 四) 圆与方程 (时间 120 分钟，满分 150分) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1圆 O1：x 2y24x6y120 与圆 O 2：x 2y28x6y160 的位置关 系是() A相交B相离 C内含D内切 【解析】把圆 O1：x2y24x6y120 与圆 O2：x2y28x6y160 分别化为标准式为 (x2) 2(y3)21 和(x4)2(y3)29，两圆心间的距离 d 42 2 3322|r 1r2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D. 【答案】D 2在空间直角坐标系中，点A(
2、3,4,0)与点 B(2，1,6)的距离是 () A2 43 B2 21 C9 D.86 【解析】由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB|32 2 412 062 86. 【答案】D 3(2019北京高考题 )当圆 x 2y22xkyk20 的面积最大时，圆心坐标 是() A(0，1) B(1,0) C(1，1) D(1,1) 【解析】圆的标准方程得： (x1) 2 yk 2 213k 2 4 ，当半径的平方 1 3k 2 4 取最大值为 1 时，圆的面积最大 k0，即圆心为 (1,0) 【答案】B 4(2019 葫芦岛高一检测 )过点(2,1)的直线中，被圆 x 2y22x4y0 截得
3、的 最长弦所在的直线方程为 () A3xy50 B3xy70 Cx3y50 Dx3y10 【解析】依题意知所求直线通过圆心(1， 2)， 由直线的两点式方程， 得 y2 12 x1 21，即 3xy50，故选 A. 【答案】A 5已知点 M(a，b)在圆 O：x 2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位置关 系是() A相切B相交 C相离D不确定 【解析】由题意知点在圆外，则a 2b21，圆心到直线的距离 d 1 a 2b2 1，故直线与圆相交 【答案】B 6若 P(2，1)为圆 C：(x1) 2y225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程 是() A2xy50 B2xy30 C
4、xy10 Dxy30 【解析】圆心 C(1,0)，kPC 0 1 12 1， 则 kAB1，AB 的方程为 y1x2， 即 xy30，故选 D. 【答案】D 7圆心在 x 轴上，半径为 1，且过点 (2,1)的圆的方程是 () A(x2) 2y21 B(x2) 2y21 C(x1) 2(y3)21 Dx 2(y2)21 【解析】设圆心坐标为 (a,0)，则由题意可知 (a2) 2(10)21，解得 a 2.故所求圆的方程是 (x2) 2y21. 【答案】A 8(2019 泰安高一检测 )圆 x 2y24x4y100 上的点到直线 xy140 的最大距离与最小距离的差是() 【导学号： 0996
5、0151】 A36 B18 C6 2 D5 2 【解析】圆 x2y24x4y100 的圆心为 (2,2)，半径为 3 2，圆心到直 线 xy140 的距离为 |2214| 2 5 23 2， 圆上的点到直线的最大距离与最 小距离的差是 2R6 2. 【答案】C 9过点 P(2,4)作圆 O：(x2) 2(y1)225 的切线 l，直线 m：ax3y0 与直线 l 平行，则直线 l 与 m的距离为 () A4 B2 C.8 5 D. 12 5 【解析】P 为圆上一点，则有kOP kl1，而 kOP 41 22 3 4， kl 4 3.a4，m：4x3y0，l：4x3y200.l 与 m 的距离为
6、 |20| 4 2 324. 【答案】A 10一个几何体的三视图如图1 所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该 几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能是() 图 1 A(1,1,1) B(1,1，2) C(1,1，3) D(2,2，3) 【解析】由三视图知，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的顶点在底面的射 影是底面正方形的中心，高为3，则第五个顶点的坐标为(1,1，3)故选 C. 【答案】C 11 已知圆 C1： (x2) 2(y2)22， 圆 C 2与圆 C1关于直线 xy10 对称，
7、则圆 C2的方程为 () A(x3) 2(y3)22 B(x1) 2(y1)22 C(x2) 2(y2)22 D(x3) 2(y3)22 【解析】设点 (2,2)关于直线x y10 的对称点为Q(m，n)，则 n2 m211， m2 2 n2 2 10， 解得 m3，n3，所以圆 C2的圆心坐标为 (3，3)， 所以圆 C2的方程为 (x3) 2(y3)22，故选 D. 【答案】D 12(2019 台州高二检测 )已知圆 O：x 2y240，圆 C：x2y22x150， 若圆 O 的切线 l 交圆 C 于 A，B 两点，则 OAB 面积的取值范围是 () 图 2 A27，2 15 B27，8
8、C23，2 15 D23，8 【解析】SOAB1 2|AB| 2|AB|， 设 C 到 AB 的距离为 d， 则|AB|242d2，又 d1,3， 74 2d215， 所以 SOAB|AB|27，2 15 【答案】A 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线 上) 13已知 A(1,2,3)，B(5,6，7)，则线段 AB 中点 D 的坐标为 _ 【解析】设 D(x，y，z)，由中点坐标公式可得x15 2 3，y 26 2 4，z 37 2 2，所以 D(3,4，2) 【答案】(3,4，2) 14以原点O 为圆心且截直线3x4y150 所得弦长为8
9、的圆的方程是 _ 【解析】原点 O 到直线的距离d 15 3 2423，设圆的半径为 r，r 232 4225，圆的方程是 x2y225. 【答案】x 2y225 15(2019 重庆高考 )若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为 _ 【解析】以原点 O 为圆心的圆过点 P(1,2)， 圆的方程为 x2y25. kOP2，切线的斜率 k 1 2. 由点斜式可得切线方程为y2 1 2(x1)， 即 x2y50. 【答案】x2y50 16若 x，yR，且 x1y 2，则y2 x1的取值范围是 _ 【解析】 x1y 2? x2y21(x0)，此方程表示半圆，如图，设
10、 P(x，y)是半圆上的 点，则 y2 x1表示过点 P(x，y)，Q(1，2)两点直线的斜率设切线 QA 的斜率为 k，则它的方程为 y2k(x1)从而由 |k2| k 211，解得 k 3 4.又 kBQ3，所求 范围是 3 4，3 . 【答案】 3 4，3 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 ) 17(2019北京高考题 )(本小题满分 10 分)求经过两点 A(1,4)，B(3,2)且圆 心在 y 轴上的圆的方程 【解】法一： 圆心在 y 轴上， 设圆的标准方程是x2(yb)2r2. 该圆经过 A、B 两点， 1 2 4b2r2， 3
11、 2 2b2r2， b1， r 210. 所以圆的方程是x2(y1)210. 法二： 线段 AB 的中点为 (1,3)， kAB 24 3 1 1 2， 弦 AB 的垂直平分线方程为y32(x1)， 即 y2x1. 由 y2x1， x0， 得(0,1)为所求圆的圆心 由两点间距离公式得圆半径r 为 01 2 142 10， 所求圆的方程为 x2(y1)210. 18(本小题满分 12 分)如图 3 所示， BC4，原点 O 是 BC 的中点，点 A 的 坐标是 3 2 ，1 2，0 ，点 D 在平面 yOz上，且BDC90 ，DCB30 ，求 AD 的 长度 图 3 【解】由题意得 B(0，2
12、,0)，C(0,2,0)，设 D(0，y，z)，在 RtBDC 中， DCB30 ， |BD|2，|CD|23，z 3，2y3， y1，D(0，1，3) 又A 3 2 ，1 2，0 ， |AD| 3 2 2 1 21 2( )3 2 6. 19(本小题满分 12 分)已知圆 C：(x1) 2(y2)225，直线 l：(2m1)x (m1)y7m40(mR) (1)证明：不论 m为何值时，直线和圆恒相交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程 【解】(1)证明： 由(2m1)x(m1)y7m40， 得(2xy7)mxy40. 解 2xy70， xy40， 得 x3， y1，
13、直线 l 恒过定点 A(3,1)又(31)2(12)2525， (3,1)在圆 C 的内部，故直线 l 与圆 C 恒有两个公共点 (2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，有lAC，由 kAC 1 2，得 l 的方程为 y12(x3)，即 2xy50. 20(本小题满分 12 分)点 A(0,2)是圆 x 2y216 内的定点， B，C 是这个圆上 的两个动点，若 BACA， 求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线 【解】设点 M(x，y)，因为 M 是弦 BC 的中点，故 OMBC. 又BAC90 ，|MA| 1 2|BC|MB|. |MB| 2|OB|2|OM|2，
14、|OB| 2|MO|2|MA|2，即 42(x2y2)(x0)2(y2)2，化简为 x2y2 2y60， 即 x2(y1)27. 所求轨迹为以 (0,1)为圆心，以7为半径的圆 21(本小题满分 12 分)如图 4 所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交 于 E 点，定点 A，C 的坐标分别是 A(2,3)，C(2,1) 图 4 (1)求以线段 AC为直径的圆 E 的方程； (2)若 B 点的坐标为 (2，2)，求直线 BC 截圆 E 所得的弦长 【解】(1)AC 的中点 E(0,2)即为圆心， 半径 r1 2|AC| 1 2 4 2 22 5， 所以圆 E 的方程为 x 2
15、(y2)25. (2)直线 BC 的斜率 k1 2 2 2 3 4， 其方程为 y13 4(x2)，即 3x4y20. 点 E 到直线 BC 的距离为 d|82| 5 2，所以 BC 截圆 E 所得的弦长为 2 52 22. 22.(本小题满分 12 分)如图 5，已知圆 C：x 2y210x10y0，点 A(0,6) (1)求圆心在直线 yx 上，经过点 A，且与圆 C 相外切的圆 N 的方程； (2)若过点 A 的直线 m与圆 C 交于 P，Q 两点，且圆弧 PQ 恰为圆 C 周长的 1 4， 求直线 m的方程【导学号： 09960152】 图 5 【解】(1)由 x 2y210x10y0
16、， 化为标准方程： (x5)2(y5)250. 所以圆 C 的圆心坐标为 C(5，5)， 又圆 N 的圆心在直线 yx 上， 所以当两圆外切时，切点为O，设圆 N 的圆心坐标为 (a，a)， 则有a0 2 a62 a0 2 a02， 解得 a3， 所以圆 N 的圆心坐标为 (3,3)，半径 r3 2， 故圆 N 的方程为 (x3)2(y3)218. (2)因为圆弧 PQ 恰为圆 C 周长的 1 4，所以 CPCQ. 所以点 C 到直线 m的距离为 5. 当直线 m 的斜率不存在时，点C 到 y 轴的距离为 5，直线 m 即为 y 轴，所以 此时直线 m 的方程为 x0. 当直线 m的斜率存在时，设直线m 的方程为 ykx6， 即 kxy60. 所以 |5k56| 1k 2 5，解得 k48 55. 所以此时直线 m的方程为 48 55xy60， 即 48x55y3300， 故所求直线 m的方程为 x0 或 48x55y3300.