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1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课时目标1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4. 理解向量共线的条件 1向量数乘的运算律 (1) ( a)_. (2)( )a_. (3) (ab)_. 特别地，有 ( )a_； (ab)_. 2向量数乘运算 实数 与向量 a 的积是一个 _，这种运算叫做向量的_，记作 _， 其长度与方向规定如下： (1)| a|_. (2) a (a0)的方向 当时，与 a方向相同 当时，与 a方向相反 ； 特别地，当 0 或 a0 时， 0a_或 0 _. 3共线向量定理 向量 a (a0)与 b共线，当且仅当有唯一一个实数
2、，使 _ 4向量的线性运算 向量的 _、_、_运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意 实数 、 1、 2，恒有 (1a 2b)_. 一、选择题 1已知向量a、b，且AB a2b，BC 5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点是() AB、C、DBA、B、CCA、B、DDA、C、D 2已知 ABC 的三个顶点A，B，C 及平面内一点P，且 PA PB PC AB ，则 () AP 在 ABC 内部 BP 在 ABC 外部 CP 在 AB 边上或其延长线上 DP 在 AC 边上 3已知 ABC 和点 M 满足 MA MB MC 0.若存在实数m 使得 AB AC mAM 成立，则
3、 m 的值为 () A2 B3 C4 D 5 4在 ABC 中，点 D 在直线 CB 的延长线上， 且CD 4BD rAB sAC ，则 rs等于 () A0 B.4 5 C.8 3 D3 5设点 M 是线段 BC 的中点，点A 在直线 BC 外， BC 216，|AB AC |AB AC |，则 |AM |等于 () A8 B4 C2 D 1 6设 e1，e2是两个不共线的向量，若向量 m e1ke2 (kR)与向量 ne22e1共线，则 () Ak0 Bk1 Ck2 Dk1 2 题号123456 答案 二、填空题 7已知平面内O，A，B，C 四点，其中A，B，C 三点共线，且 OC xOA
4、 yOB ，则 xy _. 8如图所示，D 是 ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD _.(填写正确的序号) BC 1 2BA BC 1 2BA BC 1 2BA BC 1 2BA 9. 若 2 y 1 3a 1 2(cb3y)b0，其中 a、b、c为已知向量，则未知向量 y _. 10. 如图所示， 在?ABCD 中，AB a， AD b， AN 3NC ， M 为 BC 的中点，则MN _.(用 a，b 表示 ) 三、解答题 11两个非零向量a、b不共线 (1)若 AB ab， BC2a8b，C D3(ab)，求证： A、B、D 三点共线； (2)求实数 k 使 kab 与 2akb
5、共线 12. 如图所示， 在?ABCD 中，AB a， AD b， AN 3NC ， M 为 BC 的中点，则MN _.(用 a，b 表示 ) 能力提升 13已知 O 是平面内一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OP OA AB |AB | AC |AC | ( 0， )，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的() A外心B内心C重心D垂心 14在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F.若AC a，BD b，则 AF 等于 () A. 1 4a 1 2b B. 2 3a 1 3b C.1 2a 1
6、4b D. 1 3a 2 3b 1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 a， a 是没有意义的 2 a 的几何意义就是把向量a 沿着 a的方向或反方向扩大或缩小为原来的| |倍向量 a |a|表 示与向量a 同向的单位向量 3共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题 22.3 向量数乘运算及其几何意义 知识梳理 1(1)()a(2) a a(3) a b( a) (a) a b 2向量数乘 a(1)| |a|(2) 0 000 3b a 4加减数乘1a 2b 作业设计 1CBD BC CD 2a4b2AB ， A、B、D 三点共线 2DPA P
7、B PC PB P A ， PC 2PA ， P 在 AC 边上 3BMA MB MC 0， 点 M 是 ABC 的重心 AB AC 3AM ， m3. 4C CD CB BD 4BD ， CB 3BD . CD AD AC AB BD AC AB 1 3CB AC AB 1 3(AB AC ) AC 4 3AB 4 3AC r 4 3，s 4 3 ，rs 8 3. 5CBC 216， |BC |4.又 |AB AC |CB |4， |AB AC |4. M 为 BC 中点， AM 1 2(AB AC )， |AM | 1 2|AB AC |2. 6D当 k 1 2时， m e 1 1 2e
8、2，n 2e1e2. n2m，此时， m，n 共线 7. 1 8 解析BC 1 2BA CB 1 2BA CB BD CD . 9 4 21a 1 7b 1 7c 解析A，B，C 三点共线， ? R 使 AC AB . OC OA (OB OA ) OC (1 )OA OB . x1 ，y ， x y1. 10.1 4(ba) 解析MN MB BA AN 1 2ba 3 4AC 1 2ba 3 4(ab) 1 4(ba) 11 (1)证明AD A BB C CD ab2a8b 3a3b6a6b6AB， A、B、 D 三点共线 (2)解kab 与 2akb 共线， kab (2akb) (k2
9、)a (1k)b0， k 2 0， 1k0 ? k 2. 12 证明设BA a，BC b，则由向量加法的三角形法则可知： CM BM BC 1 2BA BC 1 2a b. 又 N 在 BD 上且 BD3BN， BN 1 3BD 1 3(BC CD ) 1 3(ab)， CN BN BC 1 3(ab)b 1 3a 2 3b 2 3 1 2ab ， CN 2 3CM ，又 CN 与 CM 共点为 C， C、M、N 三点共线 13 B AB |AB | 为AB 上的单位向量， AC |AC | 为AC 上的单位向量，则 AB |AB | AC |AC | 的方向为 BAC 的 角平分线 AD 的方向 又 0， )， AB |AB | AC |AC | 的方向与 AB |AB | AC |AC | 的方向相同 而OP OA AB |AB | AC |AC | ， 点 P 在AD 上移动 点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心 14 B 如图所示， E 是 OD 的中点， OE 1 4BD 1 4b. 又 ABE FDE ， AE EF BE DE 3 1. AE 3EF ， AE 3 4AF . 在 AOE 中， AE AO OE 1 2a 1 4b. AF 4 3AE 2 3a 1 3b.