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1、2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课时目标1.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积 的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用 数量的坐标表示求向量的模 1平面向量数量积的坐标表示 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a b_. 即两个向量的数量积等于_ 2两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则 ab? _. 3平面向量的模 (1) 两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2， y2)，则 |AB |_. (2) 向量模公式：设a(x1，y1)，则 |a|_.
2、 4向量的夹角公式 设两非零向量a(x1，y1)， b(x2，y2)， a 与 b的夹角为 ，则 cos _ _. 一、选择题 1平面向量a 与 b的夹角为60 ， a(2,0)，|b|1，则 |a2b|等于 () A.3 B23 C4 D12 2已知 a，b 为平面向量，a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b夹角的余弦值等于() A. 8 65 B 8 65 C.16 65 D 16 65 3已知向量a (1,2)，b(2， 3)若向量c 满足 (ca)b，c(ab)，则 c等于 () A. 7 9， 7 3 B. 7 3， 7 9 C. 7 3， 7 9 D. 7 9， 7 3 4已
3、知向量a (2,1)，a b10，|ab|52，则 |b|() A.5 B.10 C5 D25 5已知 a(3,2)，b (1,0)，向量 ab 与 a2b 垂直，则实数 的值为 () A 1 7 B. 1 7 C 1 6 D.1 6 6已知向量a (1，n)，b (1，n)，若 2a b与 b垂直，则 |a|等于 () A1 B.2 C2 D 4 题号123456 答案 二、填空题 7若平面向量a(1， 2)与 b 的夹角是180 ，且 |b|4 5，则 b_. 8若 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为_ 9已知 a(3，3)，b(1,0)，则 (a2b) b_. 1
4、0已知 a(2，1)，b( ，1)，若 a 与 b的夹角 为钝角， 则 的取值范围为_ 三、解答题 11已知 a 与 b 同向， b(1,2)，a b10. (1)求 a 的坐标； (2)若 c(2， 1)，求 a(b c)及(a b)c. 12已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)， (1)求证： AB AD； (2)要使四边形ABCD 为矩形，求点 C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值 能力提升 13已知向量a(1,1)，b(1，a)，其中 a 为实数， O 为原点，当此两向量夹角在0， 12 变 动时， a 的范围是 () A(0,1) B. 3 3 ，3
5、C. 3 3 ，1 (1，3) D(1， 3) 14 若等边 ABC 的边长为2 3， 平面内一点M 满足 CM 1 6CB 2 3CA ， 则MA MB _. 1向量的坐标表示简化了向量数量积的运算为利用向量法解决平面几何问题以及解析几 何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持 2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要 不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力 24.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 答案 知识梳理 1x1x2y1y2 相应坐标乘积的和 2x1x2y1y20 3(1) x2x1 2 y 2y1 2 (2) x2 1y 2 1 4.
6、 a b |a|b| x1x2y1y2 x 2 1y 2 1x 2 2y 2 2 作业设计 1Ba(2,0)，|b| 1， |a| 2，a b21cos 60 1. |a2b|a24a b4b22 3. 2Ca(4,3)， 2a(8,6)又 2ab(3,18)， b (5,12)， a b 203616. 又|a| 5，|b| 13， cosa，b 16 513 16 65. 3D设 c(x， y)， 由(ca) b有 3(x1)2(y2)0， 由 c(ab)有 3xy0， 联立有x 7 9，y 7 3，则 c( 7 9， 7 3)， 故选 D. 4C|ab|52， |ab|2a22a bb2
7、52 10b 2(5 2)2， |b| 5. 5A由 a (3,2)，b(1,0)， 知 ab(3 1,2 )，a 2b(1,2) 又( ab) (a2b)0， 3 14 0， 1 7. 6C由(2ab) b0，则 2a b |b| 20， 2(n21) (1n2)0，n23. |a|1n22.故选 C. 7(4,8) 解析由题意可设b a( ， 2 )， 5 25， 即 1 2， 2 1 21 2， 2， 的取值范围是1 2，2 (2， ) 11解(1)设 a b ( ， 2 ) ( 0)，则有 ab 4 10， 2， a(2,4) (2)b c12210， ab1 22410， a(b c
8、)0a 0， (a b)c10(2， 1)(20， 10) 12 (1)证明 A(2,1)， B(3,2)，D(1,4)， AB (1,1)，AD ( 3,3)， 又 AB AD 1(3)130， AB AD ，即 ABAD. (2)解AB AD ，四边形ABCD 为矩形， AB DC . 设 C 点坐标为 (x，y)，则 AB (1,1)，DC (x1，y4)， x 11， y 41， 得 x0， y5. C 点坐标为 (0,5) 由于 AC (2,4)，BD (4,2)， 所以 AC BD 88 16， |AC |2 5，|BD |2 5. 设AC 与BD 夹角为 ，则 cos AC BD
9、 |AC | |BD | 16 20 4 50， 解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为 4 5. 13 C 已知 OA (1,1)，即 A(1,1)如图所示，当点B 位于 B1和 B2时， a 与 b夹角为 12，即 AOB 1 AOB2 12 ，此时， B1Ox 4 12 6 ，B2Ox 4 12 3，故 B1 1， 3 3 ，B2(1， 3)， 又 a 与 b 夹角不为零，故a1，由图易知a 的范围是 3 3 ，1 (1，3) 14 2 解析建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A(0,3)，B(3，0)，M(0,2)， MA (0,1)， MB (3， 2) MA MB 2.