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1、高中数学人教 A版选修 1-2 章末综合测评 2 Word 版含解析 章末综合测评 ( 二) 推理与证明 (时间 120 分钟，满分 150分) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1数列 2,5,11,20，x,47，中的 x 等于() A28B32 C33 D27 【解析】观察知数列 an满足： a12，an1an3n，故 x2034 32. 【答案】B 2 (2019 汕头高二检测 )有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数 f(x)， 若 f(x0)0， 则 xx0是函数 f(x)的极值点因为 f(x
2、)x3在 x0 处的导数值 f(0) 0，所以 x0 是 f(x)x 3 的极值点以上推理中 () A大前提错误B小前提错误 C推理形式错误D结论正确 【解析】大前提是错误的，若f(x0)0，xx0不一定是函数 f(x)的极值 点，故选 A. 【答案】A 3下列推理过程是类比推理的是() A人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为 1 2 B科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼 C通过检测溶液的pH 值得出溶液的酸碱性 D数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 【解析】A 为归纳推理， C，D 均为演绎推理， B 为类比推理 【答案】B 4下面几种推理是合情推理的是() 由圆的性质
3、类比出球的有关性质； 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180 归纳出所有三角 形的内角和都是 180 ； 由 f(x)sin x，满足 f(x)f(x)，xR，推出 f(x)sin x 是奇函数； 三角形内角和是180 ，四边形内角和是360 ，五边形内角和是540 ，由 此得凸多边形内角和是 (n2)180 . AB CD 【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，是类比推理， 是归纳 推理，是演绎推理 【答案】C 5设 a2 1.522.5，b7，则 a，b 的大小关系是 ( ) AabBab Ca2(b1) 【解析】因为 a21.522.5221.5 22.587，故 ab.
4、【答案】A 6 将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：a b b a； (a b) ca (b c)； a (bc)a ba c； |a b|a|b|；由a b a c(a0)，可得 bc.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是() A2 个B3 个 C4 个D5个 【解析】正确；错误 【答案】A 7证明命题：“ f(x)e x1 e x在(0，)上是增函数”现给出的证法如下： 因为 f(x)ex 1 e x，所以 f(x)ex 1 e x.因为 x0，所以 e x1,00， 即 f(x)0.所以 f(x)在(0， )上是增函数，使用的证明方法是() A综合法B分析法 C
5、反证法D以上都不是 【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法 【答案】A 8已知 c1，ac1 c，b cc1，则正确的结论是 () 【导学号： 19220032】 AabBa1，所以 a0，b0，故只需比较 1 a 与 1 b的大小即可， 而1 a 1 c1c c1c， 1 b 1 cc1 cc1， 显然 1 a 1 b，从而必有 a2，f(8) 5 2， f(16)3，f(32)7 2，观察上述结果，可推测出一般结论 () Af(2n) 2n1 2 Bf(n 2)n2 2 Cf(2 n)n2 2 D以上都不对 【解析】f(2) 3 2，f(4)f(2 2)22 2 ，f(8)
6、f(23)32 2 ，f(16)f(24)42 2 ， f(32)f(2 5)52 2 . 由此可推知 f(2n)n2 2 .故选 C. 【答案】C 10定义 A*B，B*C，C*D，D*A 的运算分别对应下面图1 中的(1)(2)(3)(4)， 则图中 a，b 对应的运算是 () 图 1 AB*D，A*DBB*D，A*C CB*C，A*DDC*D，A*D 【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知 A 对应横线， B 对应矩形， C 对应竖线， D 对应椭圆由此可知选B. 【答案】B 11观察下列各式： ab1，a 2b23，a3b34，a4b47，a5b5 11，则 a 10b10( ) A
7、28 B76 C123 D199 【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始， 后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10b10 123. 【答案】C 12在等差数列 an中，若 an0，公差 d0，则有 a4 a6a3 a7，类比上述性 质，在等比数列 bn 中，若 bn0，公比 q1，则 b4，b5，b7，b8的一个不等关系 是() Ab4b8b5b7Bb4b8b5b8Db4b7a3 a7，所以在 等比数列 bn 中，由于 4857，所以应有 b4b8b5b7或 b4b81，bn0，所以 b4b8b5b7. 【答案】A 二、填空题 (本大题共
8、4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中的横 线上 ) 13已知 x，yR，且 xy2，则 x，y 中至少有一个大于1，在用反证法 证明时假设应为 _ 【解析】“至少有一个 ”的否定为 “一个也没有 ”，故假设应为 “x，y 均不大于 1”(或 x1 且 y1) 【答案】x，y 均不大于 1(或 x1 且 y1) 14如图 2，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来 (n1,2,3，)，则 第 n2(n2)个图形中共有 _个顶点 图 2 【解析】设第 n 个图形中有 an个顶点， 则 a1333，a2444， an(n2)(n2)(n2)，an2n 2n. 【答案】n 2n
9、15设 a0，b0，则下面两式的大小关系为lg(1ab)_ 1 2lg(1a) lg(1b) 【解析】因为(1 ab)2(1a)(1b)12 abab1abab 2 ab(ab)( ab) 20， 所以(1ab)2(1a)(1b)， 所以 lg(1ab)1 2lg(1a)lg(1b) 【答案】 16 (2019 杭州高二检测 )对于命题“如果 O 是线段 AB 上一点，则|OB | OA |OA | OB 0”将它类比到平面的情形是： 若 O 是ABC 内一点，有 SOBC OA S OCA OB SOBA OC 0，将它类比到空间的情形应为：若O 是四面体 ABCD 内 一点，则有 _ 【导
10、学号： 19220033】 【解析】根据类比的特点和规律， 所得结论形式上一致， 又线段类比平面， 平面类比到空间， 又线段长类比为三角形面积， 再类比成四面体的体积， 故可以 类比为 VO-BCD OA VO-ACD OB VO-ABD OC VO-ABC OD 0. 【答案】VO-BCD OA VO-ACD OB VO-ABD OC VO-ABC OD 0 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤 ) 17(本小题满分 10 分)已知 a，b，c 成等差数列，求证： abac，b 2ac， acbc 也成等差数列 【证明】因为 a，b，
11、c 成等差数列，所以2bac，所以 (abac)(ac bc)b(ac)2ac2(b2ac) 所以 abac，b2ac，acbc也成等差数列 18(本小题满分 12 分)在平面几何中，对于RtABC，C90 ，设 AB c，ACb，BCa，则 (1)a 2b2c2； (2)cos 2Acos2B1； (3)RtABC 的外接圆半径 r a 2b2 2 . 把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明 【解】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象 (1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2， S3， 底面积为 S， 则 S 2 1S 2 2 S 2 3S 2. (2)设
12、三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为 ， ， ，则 cos 2 cos2 cos 2 1. (3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外 接球半径 R a 2b2c2 2 . 19(本小题满分 12 分)已知 ABC 的三条边分别为 a，b，c，且 ab，求证： ab 1 ab0，b0， 所以 1ab0,1ab0. 所以要证 ab 1 abb，所以ab1，证明： f(m)，f(n)至少有一个不小于零； (2)若 a，b 为不相等的正实数且满足f(a)f(b)，求证： ab0，n0， m11 矛盾， 假设不成立，即f(m)，f(n)至少有一个不小于零 (2)证明：
13、由 f(a)f(b)，得 a 3a2b3b2， a 3b3a2b2， (ab)(a 2abb2)(ab)(ab)， ab， a 2abb2ab， (ab)2(ab)ab0，且 a1) (1)523，请你推测 g(5)能否用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广 【解】(1)f(3)g(2)g(3)f(2) a 3a3 2 a 2a2 2 a 3a3 2 a 2a2 2 a 5a5 2 ， 又 g(5)a 5a5 2 ， g(5)f(3)g(2)g(3)f(2) (2)由(1)知 g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)， 即 g(32)f(3)g(2)g(3)f(2)， 于是推测 g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y) 证明： f(x) a xax 2 ， g(x) a xax 2 ， g(xy)a xyaxy 2 ， g(y) a yay 2 ，f(y)a yay 2 ， f(x)g(y)g(x)f(y) a xax 2 a yay 2 a xax 2 a yay 2 a xyaxy 2 g(xy)