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1、学业分层测评 (建议用时： 45 分钟) 学业达标 一、选择题 1若点 P(a，1)在椭圆 x2 2 y 2 3 1 的外部，则 a 的取值范围为 () A. 2 3 3 ，2 3 3 B. 2 3 3 ， ， 2 3 3 C. 4 3， D. ， 4 3 【解析】因为点 P 在椭圆 x2 2 y2 3 1 的外部，所以 a2 2 12 3 1，解 得 a 2 3 3 或 a 2 3 3 ，故选 B. 【答案】B 2若直线 yx2 与椭圆 x2 m y 2 3 1 有两个公共点，则m 的取值 范围是() A(， 0)(1，) B(1，3)(3，) C(， 3)(3，0) D(1，3) 【解析】
2、由 yx2， x2 m y2 3 1， 消去 y，整理得 (3m)x24mxm0. 若直线与椭圆有两个公共点， 则 3m0， （4m） 24m（3m）0， 解得 m3， m1. 由x 2 m y2 3 1 表示椭圆，知 m0 且 m3.综上可知， m1 且 m3， 故选 B. 【答案】B 3已知椭圆 x2 3 y 2 4 1 上的焦点为 F，直线 xy10 和 xy1 0 与椭圆分别相交于点A，B 和 C，D，则|AF|BF|CF|DF| () A2 3B4 3 C4D8 【解析】由题可得 a2.如图，设 F1为椭圆的下焦 点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1， BF1，CF，F
3、D.由椭圆的对称性可知，四边形 AFDF1为 平行四边形， |AF1|FD|，同理可得 |BF1|CF|，|AF|BF|CF|DF| |AF|BF|BF1|AF1|4a8，故选 D. 【答案】D 4椭圆 mx 2ny21(m0，n0 且 mn)与直线 y1x 交于 M， N 两点， 过原点与线段 MN 中点所在直线的斜率为 2 2 ， 则m n 的值是() A. 2 2 B.2 3 3 C.9 2 2 D. 2 3 27 【解析】联立方程组可得 y1x， mx 2ny21， 得(mn)x 22nxn10， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点 P(x0，y0)， 则 x0x 1
4、x2 2 n mn， y01x01 n mn m mn. kOP y0 x0 m n 2 2 .故选 A. 【答案】A 5已知椭圆 C：x 2 2 y 21 的右焦点为 F，直线 l：x2，点 Al， 线段 AF 交椭圆 C 于点 B，若FA 3FB ，则|AF |() A.2 B2 C. 3 D3 【解析】设点 A(2，n)，B(x0，y0) 由椭圆 C：x 2 2y 21 知 a22，b21， c21，即 c1，右焦点 F(1，0) 由FA 3FB ，得(1，n)3(x01，y0) 13(x01)且 n3y0. x0 4 3，y0 1 3n. 将 x0，y0代入 x2 2 y 21，得 1
5、 2 4 3 2 1 3 n 2 1. 解得 n21， |AF |（21） 2n2 112. 【答案】A 二、填空题 6若直线 xym0 与椭圆 x2 9 y21 有且仅有一个公共点，则 m_. 【导学号： 18490053】 【解析】将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到 10y22my m 290， 令 0，解得 m 10. 【答案】 10 7已知 F1为椭圆 C： x2 2 y 21 的左焦点，直线 l：yx1 与椭 圆 C 交于 A，B 两点，那么 |F1A|F1B|的值为 _ 【解析】设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)， 由 x22y22， yx1， 消去 y，得 3
6、x 24x0. A(0，1)，B 4 3， 1 3 . |AB|4 2 3 ， |F1A|F1B|4a|AB|4 2 4 2 3 8 2 3 . 【答案】 8 2 3 8过椭圆 x 2 5 y 2 4 1 的右焦点 F 作一条斜率为2 的直线与椭圆交 于 A，B 两点， O 为坐标原点，则 OAB 的面积为 _ 【解析】由已知可得直线方程为y 2x2，联立方程组 x 2 5 y 2 4 1， y2x2， 解得 A(0，2)，B 5 3， 4 3 ， SAOB1 2|OF|yAyB| 5 3. 【答案】 5 3 三、解答题 9已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm. (1)当直线和椭圆有公共点时
7、，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 【解】(1)由题意得 4x2y21， yxm， 消去 y，整理得： 5x 22mxm210. 直线与椭圆有公共点， 4m 220(m21)2016m20， 5 2 m 5 2 . (2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由(1)得 x1x2 2m 5 ， x1x2m 21 5 . |AB|1k2|x1x2| 1k 2 （x1x2） 24x 1x2 1k 2 4 25m 24（m 21） 5 2 2 5 4m25. 5 2 m 5 2 ， 0m 25 4， 当 m0 时，|AB|取得最大值，此时直线方程为
8、yx，即 xy 0. 10已知椭圆C：x 2 a2 y 2 b21(ab0)的一个顶点为 A(2，0)，离心 率为 2 2 ，直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当AMN 的面积为 10 3 时，求 k 的值 【解】(1)由题意得 a2， c a 2 2 ， a 2b2c2， 解得 b2， 所以椭圆 C 的方程为 x2 4 y 2 2 1. (2)由 yk（x1）， x 2 4 y 2 2 1， 得(12k2)x24k2x2k240， 设点 M，N 的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则 y1k(x11)，y2k(x21)， x1
9、x2 4k2 12k2，x1x2 2k24 12k2， 所以|MN|（x2x1） 2（y 2y1） 2 （1k2）（x1x2）24x1x2 2 （1k2）（46k2） 12k2 ， 又因为点 A(2，0)到直线 yk(x1)的距离 d |k| 1k 2， 所以AMN 的面积为 S 1 2|MN|d |k| 46k 2 12k2 ， 由|k| 46k 2 12k 2 10 3 ， 化简得 7k 42k250，解得 k 1. 能力提升 1设 F1，F2为椭圆 x 2 4 y21 的左、右焦点，过椭圆中心任作一 直线与椭圆交于 P， Q 两点， 当四边形 PF1QF2的面积最大时，则PF1 PF2
10、的值等于 () A0 B2 C4 D2 【解析】由题意得 ca2b23， 又 S四边形 PF1QF22SPF1F221 2|F1F2|h(h 为 F1F2 边上 的高)， 所以当 hb1 时，S四边形 PF1QF2取最大值， 此时F1PF2120. 所以PF1 PF2 |PF1 |PF2 |cos 120 22 1 2 2. 故选 D. 【答案】D 2过椭圆 x2 6 y2 5 1 内一点 P (2，1)的弦恰好被 P 点平分，则这 条弦所在的直线方程是 () A5x3y130 B5x3y130 C5x3y130 D5x3y130 【解析】设弦的两端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联
11、立方程组 5x2 16y 2 130， 5x 2 26y 2 230， 两式作差可得： 5(x1x2)(x1x2)6(y1y2)(y1y2)， 又弦的中点为 (2，1)， 可得 x1x24，y1y22， 将代入式可得 k y1y2 x1x2 5 3， 故直线的方程为y15 3(x2)， 化为一般式为 5x3y130，故选 C. 【答案】C 3斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x2 4 y 21 相交于 A，B 两点，则 |AB| 的最大值为 _. 【导学号： 18490054】 【解析】法一设直线 l 的方程为 yxt， 由 yxt， x2 4 y21， 消去 y，得 x 2 4 (xt)21，
12、 整理得 5x 28tx4(t21)0. 64t280(t 21)0， 5b0)的左焦点为 F，离心率 为 3 3 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 4 3 3 . (1)求椭圆的方程； (2)设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为 k 的直线 与椭圆交于 C，D 两点若 AC DB AD CB 8，求 k 的值 【解】(1)设 F(c，0)，由 c a 3 3 ，知 a3c. 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为xc， 代入椭圆方程有 （c） 2 a2 y2 b21， 解得 y 6b 3 ，于是 2 6b 3 4 3 3 ， 解得 b2， 又 a2c 2b2
13、，从而 a 3，c1， 所以椭圆的方程为 x2 3 y2 2 1. (2)设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由 F(1，0)得直线 CD 的方程为 yk(x1)， 由方程组 yk（x1）， x2 3 y 2 2 1， 消去 y， 整理得(23k2)x26k2x3k260. 可得 x1x2 6k2 23k 2，x1x2 3k26 23k 2. 因为 A(3，0)，B( 3，0)， 所以AC DB AD CB (x13，y1)( 3x2，y2)(x23，y2)(3x1，y1) 62x1x22y1y262x1x22k 2(x 11)(x21) 6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k2 6 2k212 23k2 . 由已知得 6 2k212 23k 28， 解得 k 2.