《高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：2.1合情推理与演绎推理2.1.2Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：2.1合情推理与演绎推理2.1.2Word版含答案.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.1.2演绎推理 学习目标 1了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系 2掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 3理解演绎推理的意义 知识链接 1演绎推理的结论一定正确吗？ 答演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式 正确，其结论就一定正确 2如何分清大前提、小前提和结论？ 答在演绎推理中， 大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论 是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指 出一般情况， 从中取出一个特例， 特例也具有一般意义例如，平行四边形对角线互相平分， 这是一般情况； 矩形是
2、平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意 义 3演绎推理一般是怎样的模式？ 答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提 已知的一般原理；(2)小前 提 所研究的特殊情况；(3)结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 预习导引 1演绎推理 含义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理 特点由一般到特殊的推理 2.三段论 一般模式常用格式 大前提已知的一般原理M 是 P 小前提所研究的特殊情况S是 M 结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是 P 要点一用三段论的形式表示演绎推理 例 1把下列演绎推理写成三段论的形式 (1)在一个标准大气压下，水的沸点
3、是100 ，所以在一个标准大气压下把水加热到100 时，水会沸腾； (2)一切奇数都不能被2 整除， 2 1001 是奇数，所以 21001 不能被 2 整除； (3)三角函数都是周期函数，ytan 是三角函数，因此y tan 是周期函数 解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ，大前提 在一个标准大气压下把水加热到100 ，小前提 水会沸腾结论 (2)一切奇数都不能被2 整除，大前提 2 1001 是奇数，小前提 2 1001 不能被 2 整除结论 (3)三角函数都是周期函数，大前提 ytan 是三角函数，小前提 ytan 是周期函数结论 规律方法用三段论写推理过程时，关键是明确大、
4、小前提， 三段论中的大前提提供了一个 一般性的原理， 小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情 况的内在联系 有时可省略小前提， 有时甚至也可大前提与小前提都省略在寻找大前提时， 可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 跟踪演练1试将下列演绎推理写成三段论的形式： (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星 以椭圆轨道绕太阳运行； (2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热； (3)一次函数是单调函数，函数y2x1 是一次函数，所以y 2x1 是单调函数； (4)等差数列的通项公式具有形式anpnq(p，q 是常数 )
5、，数列 1,2,3， n 是等差数列， 所以数列1,2,3， n 的通项具有anpnq 的形式 解(1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行； 小前提：海王星是太阳系里的大行星； 结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行 (2)大前提：所有导体通电时发热； 小前提：铁是导体； 结论：铁通电时发热 (3)大前提：一次函数都是单调函数； 小前提：函数y2x1 是一次函数； 结论： y2x 1 是单调函数 (4)大前提：等差数列的通项公式具有形式an pnq； 小前提：数列1,2,3，n 是等差数列； 结论：数列1,2,3，n 的通项具有anpnq 的形式 要点二演绎推理的应用 例 2正三棱柱A
6、BCA1B1C1的棱长均为a，D、E 分别为C1C 与 AB 的中点， A1B 交 AB1 于点 G. (1)求证： A1BAD； (2)求证： CE平面 AB1D. 证明 (1)连接 BD. 三棱柱 ABCA1B1C1是棱长均为a 的正三棱柱， A1ABB1为正方形，A1BAB1. D 是 C1C 的中点， A1C1D BCD， A1D BD， G 为 A1B 的中点， A1BDG， 又 DGAB1G， A1B平面 AB1D. 又 AD? 平面 AB1D， A1BAD. (2)连接 GE， EGA1A， GE平面 ABC. DC平面 ABC， GEDC， GEDC 1 2a，四边形 GECD
7、 为平行四边形，CEGD. 又 CE?平面 AB1D，DG? 平面 AB1D， CE平面 AB1D. 规律方法(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述 的简洁，如果前提是显然的，则可以省略 (2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理 的依据 大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提 跟踪演练2求证：函数y 2 x 1 2 x 1是奇函数，且在定义域上是增函数 证明y 2 x1 2 2 x1 1 2 2 x1， 所以 f(x)的定义域为R. f(x)f(x) 1 2 2 x1 1 2 2 x1 2 2 2
8、 x1 2 2 x1 2 2 2 x 1 2 2 x 2 x1 2 2 2 x1 2 x1220. 即 f( x) f(x)，所以 f(x)是奇函数 任取 x1，x2R，且 x10，则数列bn n a1a2an(nN *) 也是等比数列” 类比这一性质， 你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论 解类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，则数 列 bn a1a2an n 也是等差数列 证明如下： 设等差数列 an的公差为 d，则 bn a1a2 an n na1 n n1 d 2 n a1 d 2(n 1)， 所以数列 bn 是以 a1为首项， d 2
9、为公差的等差数列 1下面几种推理过程是演绎推理的是() A两条直线平行，同旁内角互补，如果A 与 B 是两条平行直线的同旁内角，则A B180 B某校高三1 班有 55 人， 2 班有 54 人， 3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过50 人 C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D在数列 an中， a11，an 1 2 an1 1 an1 (n2)，由此归纳出 an的通项公式 答案A 解析A 是演绎推理，B、 D 是归纳推理，C 是类比推理 2“因为对数函数ylogax 是增函数 (大前提 )，又 ylog1 3 x 是对数函数 (小前提 )，所以y log 1 3x 是增函数
10、 (结论 )”下列说法正确的是 () A大前提错误导致结论错误 B小前提错误导致结论错误 C推理形式错误导致结论错误 D大前提和小前提都错误导致结论错误 答案A 解析ylogax 是增函数错误故大前提错 3把“函数yx 2x1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提： _；小 前提： _；结论： _. 答案二次函数的图象是一条抛物线函数 yx2x1 是二次函数函数 yx2x1 的 图象是一条抛物线 4 “如图，在ABC 中， ACBC，CD 是 AB 边上的高，求证：ACD BCD” 证明：在 ABC 中 ， 因为 CD AB，ACBC， 所以 ADBD， 于是 ACDBCD. 则在上面证
11、明的过程中错误的是_(只填序号 ) 答案 解析由 ADBD，得到 ACDBCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大 角” ，小前提是 “ ADBD” ，而 AD 与 BD 不在同一三角形中，故错误 1演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正 确，通过演绎推理得到的结论一定正确 2在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程 中常省略三段论的大前提. 一、基础达标 1下列表述正确的是() 归纳推理是由部分到整体的推理； 归纳推理是由一般到一般的推理； 演绎推理是由一般到特殊的推理； 类比推理是由特殊到一般的推理； 类比
12、推理是由特殊到特殊的推理 AB CD 答案D 解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道正确 2 论语 学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴； 礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足” 上述推理用的是() A类比推理B归纳推理 C演绎推理D一次三段论 答案C 解析这是一个复合三段论，从“ 名不正 ”推出 “ 民无所措手足 ” ，连续运用五次三段论， 属演绎推理形式 3正弦函数是奇函数，f(x)sin(x 2 1)是正弦函数， 因此 f(x) sin (x21)是奇函数 以上推 理() A结论正确B大前提不正确 C
13、小前提不正确D全不正确 答案C 解析由于函数f(x)sin (x21)不是正弦函数故小前提不正确 4“四边形ABCD 是矩形，四边形ABCD 的对角线相等 ”以上推理的大前提是() A正方形都是对角线相等的四边形 B矩形都是对角线相等的四边形 C等腰梯形都是对角线相等的四边形 D矩形都是对边平行且相等的四边形 答案B 解析利用三段论分析： 大前提：矩形都是对角线相等的四边形； 小前提：四边形ABCD 是矩形； 结论：四边形ABCD 的对角线相等 5三段论：“小宏在2013 年的高考中考入了重点本科院校；小宏在2013 年的高考中 只要正常发挥就能考入重点本科院校；小宏在2013 年的高考中正常
14、发挥”中，“小前提” 是_(填序号 ) 答案 解析在这个推理中，是大前提，是小前提，是结论 6在求函数ylog2x2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时， a0；小前 提是log2x2有意义；结论是 _ 答案ylog2x2的定义域是 4， ) 解析由大前提知log2x20，解得 x4. 7用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90 . 证明因为任意三角形内角之和为180 (大前提 )，而直角三角形是三角形(小前提 )，所以直 角三角形内角之和为180 (结论 ) 设直角三角形两个锐角分别为A、B，则有 A B90 180 ，因为等量减等量差相 等(大前提 )，(A B90 )90 180
15、 90 (小前提 )，所以 A B90 (结论 ) 二、能力提升 8“所有9 的倍数 (M)都是 3 的倍数 (P)，某奇数 (S)是 9 的倍数 (M)，故某奇数 (S)是 3 的倍 数(P)”上述推理是() A小前提错B结论错 C正确的D大前提错 答案C 解析由三段论推理概念知推理正确 9已知三条不重合的直线m、n、 l，两个不重合的平面 、 ，有下列命题： 若 mn， n? ，则 m ； 若 l ，m且 lm，则 ； 若 m? ， n? ，m ，n ，则 ； 若 ， m，n? ，nm，则 n . 其中正确的命题个数是() A1 B 2 C3 D4 答案B 解析中，m 还可能在平面内，错误
16、； 正确； 中，m 与 n 相交时才成立， 错误； 正确故选B. 10已知函数f(x)满足：f(1) 1 4，4f(x)f(y)f(x y) f(xy)(x，yR)，则 f(2 010)_. 答案 1 2 解析令 y1 得 4f(x) f(1)f(x1)f(x1) 即 f(x)f(x1)f(x1) 令 x 取 x 1则 f(x1)f(x2)f(x) 由得f(x)f(x2)f(x)f(x1)， 即 f(x1) f(x2)， f(x) f(x3)， f(x3) f(x6)， f(x)f(x6)， 即 f(x)周期为 6， f(2 010)f(6335 0) f(0) 对 4f(x)f(y) f(x
17、y)f(xy)，令 x 1，y0，得 4f(1)f(0)2f(1)， f(0) 1 2，即 f(2 010) 1 2. 11用演绎推理证明函数f(x)|sin x|是周期函数 证明大前提：若函数 yf(x)对于定义域内的任意一个x值满足 f(xT)f(x)(T为非零常数 )， 则它为周期函数，T为它的一个周期 小前提： f(x )|sin(x )|sin x|f(x) 结论：函数f(x)|sin x|是周期函数 12 S为 ABC 所在平面外一点，SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC.求证： ABBC. 证明 如图，作 AESB于 E. 平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBC
18、SB.AE? 平面 SAB. AE平面 SBC， 又 BC? 平面 SBC. AEBC.又 SA平面 ABC， SABC. SAAEA，SA? 平面 SAB，AE? 平面 SAB， BC平面 SAB. AB? 平面 SAB.AB BC. 三、探究与创新 13设 f(x)a xax 2 ，g(x)a x ax 2 (其中 a0 且 a1) (1)523 请你推测g(5)能否用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示； (2)如果 (1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广 解(1)由 f(3)g(2)g(3)f(2) a 3a3 2 a 2 a2 2 a 3a3 2 a 2a2 2 a 5a5 2 ， 又 g(5)a 5a5 2 因此， g(5)f(3)g(2)g(3)f(2) (2)由 g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)，即 g(23) f(3)g(2)g(3)f(2)， 于是推测g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y) 证明因 f(x) a xax 2 ， g(x)a xax 2 (大前提 )， 所以 g(xy) a xy axy 2 ，g(y) a yay 2 ，f(y) a yay 2 (小前提及结论)， 所以 f(x)g(y)g(x)f(y) a xax 2 a yay 2 a xax 2 a yay 2 a xyaxy 2 g(xy).