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1、11变化率与导数 11.1变化率问题 11.2导数的概念 学习目标 1会利用导数的定义求函数在某点处的导数 2会求函数在某一点附近的平均变化率 3了解导数概念的实际背景 知识链接 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢从数 学的角度，如何描述这种现象呢？ 答气球的半径 r(单位： dm)与体积 V(单位： L)之间的函数关系是r(V) 3 3V 4 ， (1)当 V 从 0 增加到 1 L 时，气球半径增加了r(1)r(0)0.62 (dm)， 气球的平均膨胀率为 r 1 r 0 10 0.62(dm/L) (2)当 V 从 1 L
2、 增加到 2 L 时，气球半径增加了r(2)r(1)0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为 r 2 r 1 21 0.16(dm/L) 可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了 预习导引 1函数的变化率 定义实例 平均 变化率 函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率为 f x2f x1 x2x1 ， 简记作： y x 平均速度；曲线割线的斜率 瞬时 变化率 函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从 x0到 x0 x 的平均变化率在 x0 时的极限，即 lim x0 f x0 x f x0 x lim x0 y x. 瞬时速度：物体在某一时刻的速度；切线斜
3、 率 2.函数 f(x)在 xx0处的导数 函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率 lim x0 y xlim x0 f x0 x f x0 x 称为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0， 即 f(x0)lim x0 y xlim x0 f x0 x f x0 x . 要点一求平均变化率 例 1已知函数 h(x)4.9x 26.5x10. (1)计算从 x1 到 x1 x 的平均变化率，其中 x 的值为 2；1；0.1；0.01. (2)根据(1)中的计算，当 | x|越来越小时，函数h(x)在区间 1,1 x上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解(1) yh(1
4、 x)h (1)4.9 ( x)23.3 x， y x4.9 x3.3. 当 x2 时， y x4.9 x3.313.1； 当 x1 时， y x4.9 x3.38.2； 当 x0.1 时， y x4.9 x3.33.79； 当 x0.01 时， y x4.9 x3.33.349. (2)当| x|越来越小时，函数f(x)在区间 1,1 x上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3. 规律方法求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量 yf(x2)f(x1) (2)再计算自变量的改变量 xx2x1. (3)得平均变化率 y x f x2f x1 x2x1 . 跟踪演练 1求函数 yf(x
5、)3x22 在区间 x0，x0 x上的平均变化率，并求当x02， x0.1 时平均变化率的值 解函数 yf(x)3x22 在区间 x0，x0 x上的平均变化率为 f x0 x f x0 x0 x x0 3 x 0 x 22 3x2 02 x 6x0x3 x 2 x 6x03 x. 当 x02， x0.1 时，函数 y3x22 在区间 2,2.1上的平均变化率为 6230.112.3. 要点二物体运动的瞬时速度 例 2高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位： s)之间的关系式为h(t)4.9t26.5t 10，求运动员在 t 65 98 s时的瞬时速度，并解释
6、此时的运动状况 解令 t0 65 98， t 为增量则 h t0 t h t0 t 4.9 65 98 t 26.5 65 98 t 10 t 4.9 65 98 26.565 9810 t 4.9 t 65 49 t 6.5 t t 4.9 65 49 t 6.5， lim t0 h t0 t h t0 t lim t0 4.9 65 49 t 6.5 0， 即运动员在 t065 98 s时的瞬时速度为0 m/s. 说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处 规律方法求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近 ”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移s与时间 t 的函数关系式求出位
7、移增量 ss(t0 t)s(t0)； (2)求时间 t0到 t0 t 之间的平均速度v s t ； (3)求lim t0 s t的值，即得 tt0 时的瞬时速度 跟踪演练 2一质点按规律 s(t)at21 作直线运动 (位移单位： m，时间单位： s)，若该质点在 t2 s时的瞬时速度为 8 m/s， 求常数 a的值 解 ss(2 t)s(2) a(2 t) 21a 221 4a ta( t)2， s t 4aa t. 在 t2 s时，瞬时速度为 lim x0 s t 4a，即 4a8，a2. 要点三函数在某点处的导数 例 3求函数 f(x)3x22x 在 x1 处的导数 解 y3(1 x)2
8、2(1 x)(31221)3( x)24 x， y x 3 x 24 x x 3 x4， y|x1 lim x0 y xlim x0 (3 x4)4. 规律方法求一个函数 yf(x)在 xx0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 yf(x0 x)f(x0)； (2)求平均变化率 y x f x0 x f x0 x ； (3)取极限，得导数 f(x0)lim x0 y x. 跟踪演练 3利用导数的定义求函数f(x)x23x 在 x2 处的导数 解由导数的定义知，函数在x2 处的导数 f(2) lim x0 f 2 x f 2 x ，而 f(2 x)f(2) (2 x)23(2 x)(22
9、32) ( x) 2 x， 于是 f(2) lim x0 x 2 x x lim x0 ( x1)1. 1如果质点 M 按规律 s3t 2 运动，则在一小段时间 2,2.1中相应的平均速度是 () A4 B4.1 C0.41 D3 答案B 解析v 32.1 2 32 2 0.1 4.1. 2函数 f(x)在 x0处可导，则 lim x0 f x0h f x0 h () A与 x0、h 都有关 B仅与 x0有关，而与 h 无关 C仅与 h 有关，而与 x0无关 D与 x0、h 均无关 答案B 3已知函数 f(x)2x 21 的图象上一点 (1,1)及邻近一点 (1 x,1 y)，则 y x等于(
10、 ) A4 B4x C42 xD42( x) 2 答案C 解析 yf(1 x)f(1)2(1 x)2112( x)24 x， y x2 x4. 4已知函数 f(x) 1 x，则 f(1)_. 答案1 2 解析f(1) lim x0 f 1 x f 1 x lim x0 1 1 x1 x lim x0 1 1 x 11 x 1 2. 利用导数定义求导数三步曲： (1)作差求函数的增量 yf(x0 x)f(x0)； (2)作比求平均变化率 y x f x0 x f x0 x ； (3)取极限得导数 f(x0)lim x0 y x， 简记为一差，二比，三极限. 一、基础达标 1函数 yf(x)在 x
11、0到 x0 x 之间的平均变化率 f x0 x f x0 x 中， x 不可能是 () A大于 0 B小于 0 C等于 0 D大于 0 或小于 0 答案C 2 如图，函数 yf(x)在 A，B 两点间的平均变化率是 () A1 B 1 C2 D2 答案B 解析 y x f 3 f 1 31 13 2 1. 3如果某物体的运动方程为s2(1t 2) (s 的单位为 m，t 的单位为 s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为 ( ) A4.8 m/s B 0.88 m/s C0.88 m/s D4.8 m/s 答案A 解析物体运动在 1.2 s末的瞬时速度即为s在 1.2 处的导数，利用导数的定义
12、即可求得 4设函数 f(x)可导，则 lim x0 f 13 x f 1 3 x 等于() Af(1) B3f(1) C1 3f(1) Df(3) 答案A 解析lim x0 f 13 x f 1 3 x f(1) 5已知函数 y 2 x3，当 x 由 2 变到 1.5 时，函数的增量 y_. 答案 1 3 解析 yf(1.5)f(2) 2 1.53 2 23 4 31 1 3. 6一做直线运动的物体，其位移s与时间 t 的关系是 s3tt 2，则物体的初速度是 _ 答案3 解析v初s|t0lim x0 s 0 t s 0 t lim x0 (3 t)3. 7利用定义求函数y2x 25 在 x2
13、 处的瞬时变化率 解因为在 x2 附近， y2(2 x) 25(2225)8 x2( x)2， 所以函数在区间 2,2 x内的平均变化率为 y x 8 x2 x 2 x 82 x.故函数 y 2x 25 在 x2 处的瞬时变化率为 lim x0 (82 x)8. 二、能力提升 8. 甲、乙两厂污水的排放量W与时间 t 的关系如图所示，治污效果较好的是() A甲B乙 C相同D不确定 答案B 解析在 t0处，虽然 W1(t0)W2(t0)， 但是，在 t0 t 处，W1(t0 t)0， 对于任意实数 x， 有 f(x)0， 则 f 1 f 0 的最小值为 _ 答案2 解析由导数的定义， 得 f(0
14、)lim x0 f x f 0 x lim x0 a x 2b x cc x lim x0 a( x)bb0. 又 b 24ac0 a0 ，ac b 2 4 ，c0. f 1 f 0 abc b b2 ac b 2b b 2. 11求函数 yf(x)2x 24x 在 x3 处的导数 解 y2(3 x)24(3 x)(23243) 12 x2( x)24 x2( x)216 x， y x 2 x 216 x x 2 x16. y|x3 lim x0 y xlim x0 (2 x16)16. 12若函数 f(x)ax 2c，且 f(1)2，求 a 的值 解f(1 x)f(1)a(1 x) 2cac
15、 a( x)22a x. f(1)lim x0 f 1 x f 1 x lim x0 a x 22a x x lim x0 (a x2a)2a，即 2a2，a1. 三、探究与创新 13已知 f(x)x 2，g(x)x3，求满足 f(x)2g(x)的 x 的值 解由导数的定义知， f(x) lim x0 x x 2x2 x 2x， g(x)lim x0 x x 3x3 x 3x 2. f(x)2g(x)，2x23x2. 即 3x 22x20，解得 x1 7 3 或 x 1 7 3 . 11.3导数的几何意义 学习目标 1了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系 2理解曲线的切线的概念；理解
16、导数的几何意义 3会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义 知识链接 如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象 上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？ 答 设函数 yf(x)的图象如图所示，AB是过点 A(x0， f(x0)与点 B(x0 x， f(x0 x)的一条割线，此割线的斜率是 y x f x0 x f x0 x . 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB绕点 A 转动，它的极限位置为直线AD，这条直线 AD 叫做此曲线在点A 处的切线于是， 当 x0 时，割线 AB 的斜率无限趋近于过点A
17、 的切线 AD 的斜率 k，即 kf(x0) lim x0 f x0 x f x0 x . 预习导引 1导数的几何意义 函数 yf(x)在点 xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率是f(x0)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0) 2函数的导函数 当 xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x 变化时， f(x)是 x 的一个函数，称f(x)是 f(x)的导函数 (简称导数 )f(x)也记 作 y，即 f(x)y lim x0 f x x f x x . 要点一过曲线上一点的
18、切线方程 例 1若曲线 yx33ax 在某点处的切线方程为y3x1，求 a 的值 解yx 33ax. y lim x0 x x 33a x x x33ax x lim x0 3x 2 x3x x2 x33a x x lim x0 3x 23x x( x)23a3x23a. 设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)， 结合已知条件，得 3x 2 03a3， x 3 03ax0y03x01， 解得 a1 3 2 2 ， x0 3 4 2 . a1 3 2 2 . 规律方法一般地，设曲线C 是函数 yf(x)的图象， P(x0，y0)是曲线 C 上的定点，由导数的几何意义知k lim x0 y xl
19、im x0 f x0 x f x0 x ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程 跟踪演练 1求曲线 y1 x在点 2， 1 2 处的切线方程 解因为 lim x0 f 2 x f 2 x lim x0 1 2 x 1 2 x lim x0 1 2 2 x 1 4.所以这条曲线在点 2，1 2 处的切线斜率为 1 4，由直线的点斜式方程可得切线方程为 y1 2 1 4(x2)，即 x4y40. 要点二求过曲线外一点的切线方程 例 2已知曲线 y2x 27，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20? (2)曲线过点 P(3,9)的切线方程 解ylim x0 y x lim x0
20、2 x x 27 2x27 x lim x0 (4x2 x)4x. (1)设切点为 (x0，y0)，则 4x04，x01，y05， 切点坐标为 (1，5) (2)由于点 P(3,9)不在曲线上 设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0， 故所求的切线方程为yy04x0(xx0) 将 P(3,9)及 y02x207 代入上式， 得 9(2x207)4x0(3x0) 解得 x02或 x04，所以切点为 (2,1)或(4,25) 从而所求切线方程为8xy150 或 16xy390. 规律方法若题中所给点 (x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求
21、出切点坐标，进 而求出切线方程 跟踪演练 2求过点 A(2,0)且与曲线 y 1 x相切的直线方程 解易知点 (2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由 y|xx0 lim x0 lim x0 1 x0 x 1 x0 x 1 x 2 0 ， 得所求直线方程为yy0 1 x 2 0(xx0) 由点(2,0)在直线上，得 x 2 0y02x0，再由 P(x0，y0)在曲线上，得 x0y01，联立可解得 x01，y01，所求直线方程为 xy 20. 要点三求切点坐标 例 3在曲线 yx 2 上过哪一点的切线， (1)平行于直线 y4x5； (2)垂直于直线 2x6y50； (3)与 x 轴
22、成 135 的倾斜角 解f(x)lim x0 f x x f x x lim x0 x x 2x2 x 2x，设 P(x0，y0)是满足条件的点 (1)因为切线与直线 y4x5 平行， 所以 2x04，x02，y04， 即 P(2,4)是满足条件的点 (2)因为切线与直线 2x6y50 垂直， 所以 2x0 1 31，得 x0 3 2，y0 9 4， 即 P 3 2， 9 4 是满足条件的点 (3)因为切线与 x 轴成 135 的倾斜角， 所以其斜率为 1.即 2x01， 得 x0 1 2，y0 1 4， 即 P 1 2， 1 4 是满足条件的点 规律方法解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜
23、率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此 点的横坐标解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等 跟踪演练 3已知抛物线 y2x21，求 (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30? 解设点的坐标为 (x0，y0)，则 y2(x0 x) 212x2 014x0x2( x) 2. y x4x02 x. 当 x 无限趋近于零时， y x无限趋近于 4x0. 即 f(x0)4x0. (1)抛物线的切线平行于直线4xy20， 斜率为 4， 即 f(x0)4x04，得 x01，该点为 (1,3) (2)
24、抛物线的切线与直线x8y30 垂直， 斜率为 8， 即 f(x0)4x08，得 x02，该点为 (2,9) 1已知曲线 yf(x)2x 2 上一点 A(2,8)，则点 A 处的切线斜率为 () A4 B16 C8 D2 答案C 解析f(2) lim x0 f 2 x f 2 x lim x0 2 2 x 28 x lim x0 (82 x)8，即 k8. 2若曲线 yx 2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则() Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 答案A 解析由题意，知 ky|x0 lim x0 0 x 2a 0 x bb x 1，a1. 又(0，b)在切线
25、上， b1，故选 A. 3已知曲线 y 1 2x 22 上一点 P 1，3 2 ，则过点 P 的切线的倾斜角为 () A30B45 C135D165 答案B 解析y1 2x 22， y lim x0 1 2 x x 22 1 2x 22 x lim x0 1 2 x 2x x x lim x0 x 1 2 x x. y|x11.点 P 1， 3 2 处切线的斜率为 1，则切线的倾斜角为45 . 4已知曲线 yf(x)2x 24x 在点 P 处的切线斜率为 16.则 P 点坐标为 _ 答案(3,30) 解析设点 P(x0,2x 2 04x0)， 则 f(x0)lim x0 f x0 x f x0
26、 x lim x0 2 x 24x 0x4 x x 4x04， 令 4x0416得 x03，P(3,30) 1导数 f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k lim x0 f x0 x f x0 x f(x0)，物理意义是运 动物体在某一时刻的瞬时速度 2 “函数 f(x)在点 x0处的导数 ”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别， 但又有密切关系， f(x0) 是其导数 yf(x)在 xx0处的一个函数值 3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0) f(x0)(x
27、 x0) ； 若 已 知 点 不 在 切 线 上 ， 则 设 出 切 点 (x0， f(x0) ， 表 示 出 切 线 方 程 ， 然 后 求 出 切 点. 一、基础达标 1下列说法正确的是 () A若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处就没有切线 B若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则 f(x0)必存在 C若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在 D若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则 f(x0)有可能存在 答案C 解析kf(x0)，所以 f(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当
28、斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切 线方程为 xx0. 2已知 yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与 f(xB)的大小关系是 () Af(xA)f(xB) Bf(xA)0，且 a1) f(x)e x f(x)e x f(x)logax f(x) 1 xln a(a0，且 a1) f(x)ln x f(x)1 x 要点一利用导数定义求函数的导数 例 1用导数的定义求函数f(x)2 013x2的导数 解f(x)lim x0 2 013 x x 22 013x2 x xx lim x0 2 013x 22x x x 22 013x2 x lim x0 4 026xx2 013 x 2 x l
29、im x0 (4 026x2 013 x) 4 026x. 规律方法解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循 “一差、二比、三取极限 ”的步骤 (2)当 x 趋于 0 时， kx(kR)、( x) n(nN*)等也趋于 0. (3)注意通分、分母 (或分子 )有理化、因式分解、配方等技巧的应用 跟踪演练 1用导数的定义求函数yx2axb(a，b 为常数 )的导数 解ylim x0 x x 2a x x b x2axb x lim x0 x 22x x x 2axa xbx2axb x lim x0 2xxax x 2 x lim x0 (2xa x)2xa. 要点二利用导数公式求函数的导
30、数 例 2求下列函数的导数 (1)ysin 3；(2)y5 x；(3)y1 x 3；(4)y 4 x 3；(5)ylog 3x. 解(1)y0； (2)y(5 x)5xln 5； (3)y(x 3)3x4； (4)y 4 x 3 x3 4 3 4x 1 4 3 44x ； (5)y(log3x) 1 xln 3. 规律方法求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择 合适的求导公式 跟踪演练 2求下列函数的导数： (1)yx8；(2)y 1 2 x；(3)
31、yx x；(4)ylog1 3x. 解(1)y8x 7； (2)y 1 2 xln 1 2 1 2 xln 2； (3)yx xx3 2，y 3 2x 1 2； (4) y 1 xln 1 3 1 xln 3. 要点三利用导数公式求曲线的切线方程 例 3求过曲线 ysin x 上点 P 6， 1 2 且与过这点的切线垂直的直线方程 解ysin x，ycos x， 曲线在点 P 6， 1 2 处的切线斜率是： y|x 6cos 6 3 2 . 过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 2 3， 故所求的直线方程为y1 2 2 3 x 6 ， 即 2x3y 3 2 30. 规律方法导数的几何意义是曲线
32、在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于1 是解题的关键 跟踪演练 3已知点 P(1,1)，点 Q(2,4)是曲线 yx2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线 yx2的切线方程 解y(x2)2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y|xx02x0， 又PQ 的斜率为 k41 211，而切线平行于 PQ， k2x01，即 x01 2，所以切点为 M 1 2， 1 4 . 所求的切线方程为y1 4x 1 2，即 4x4y10. 1已知 f(x)x 2，则 f(3)( ) A0 B2x C6 D9 答案C 解析f(x)x2，f(x)2x，f(3)6. 2函数 f(x)x，则 f(3)等于()
33、A. 3 6 B0 C 1 2 x D 3 2 答案A 解析f(x)( x) 1 2 x，f(3) 1 2 3 3 6 . 3设正弦曲线 ysin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线l，则直线 l 的倾斜角的范围是 () A. 0， 4 3 4 ，B0，) C 4， 3 4 D 0， 4 2， 3 4 答案A 解析(sin x)cos x，klcos x， 1kl1， l 0， 4 3 4 ，. 4曲线 ye x 在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_ 答案 1 2e 2 解析y(ex)ex，ke 2， 曲线在点 (2，e 2)处的切线方程为 ye2e2(x2)， 即
34、ye 2xe2.当 x0 时，ye2，当 y0 时，x1. S1 21| | e 2 1 2e 2. 1利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的 结构特征，积极地进行联想化归 2有些函数可先化简再应用公式求导 如求 y12sin2x 2的导数因为 y12sin 2x 2cos x， 所以 y(cos x)sin x. 3对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化. 一、基础达标 1下列结论中正确的个数为() yln 2，则 y 1 2；y 1 x 2，则 y|x3 2 27；y2 x，则 y2xln 2；ylo
35、g 2x，则 y 1 xln 2. A0 B1 C2 D3 答案D 解析yln 2 为常数，所以 y0.错正确 2过曲线 y1 x上一点 P 的切线的斜率为 4，则点 P 的坐标为 ( ) A. 1 2，2 B 1 2，2 或 1 2，2 C 1 2，2 D 1 2，2 答案B 解析y 1 x 1 x 24，x 1 2，故选 B. 3已知 f(x)x a，若 f(1)4，则 a 的值等于 ( ) A4 B 4 C5 D5 答案A 解析f(x)axa 1，f(1)a(1)a14，a4. 4函数 f(x)x 3 的斜率等于 1 的切线有 () A1 条B2 条 C3 条D不确定 答案B 解析f(x
36、)3x2，设切点为 (x0，y0)，则 3x201，得 x0 3 3 ，即在点 3 3 ， 3 9 和点 3 3 ， 3 9 处有斜率为 1 的切线 5曲线 y9 x在点 M(3,3)处的切线方程是 _ 答案xy60 解析y 9 x 2，y|x31， 过点 (3,3)的斜率为 1 的切线方程为： y3(x3)即 xy60. 6若曲线 yx 1 2在点 a，a 1 2 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则 a_. 答案64 解析yx1 2，y 1 2x 3 2， 曲线在点 a，a1 2 处的切线斜率 k 1 2a 3 2， 切线方程为 ya1 2 1 2a 3 2(xa) 令 x0
37、得 y 3 2a 1 2；令 y0 得 x3a. 该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S1 2 3a 3 2a 1 2 9 4a 1 218，a64. 7求下列函数的导数： (1) y 5 x 3；(2)y1 x 4；(3)y2sin x 2 12cos 2x 4 ； (4)ylog2x 2log 2x. 解(1)y 5 x 3 x3 5 3 5x 3 51 3 5x 2 5 3 55x 2 . (2)y 1 x 4 (x 4) 4x414x54 x 5. (3)y2sinx 2 12cos 2x 4 2sin x 2 2cos 2x 41 2sin x 2cos x 2sin x， y(s
38、in x) cos x. (4)ylog2x 2log 2xlog2x， y(log2x) 1 x ln 2. 二、能力提升 8已知直线 ykx 是曲线 ye x 的切线，则实数 k 的值为 () A.1 e B 1 e Ce De 答案D 解析yex，设切点为 (x0，y0)，则 y0kx0 y0ex0 kex0. ex0ex0 x0，x01，ke. 9曲线 yln x 在 xa 处的切线倾斜角为 4，则 a_. 答案1 解析y1 x，y| xa 1 a1，a1. 10点 P 是曲线 ye x 上任意一点，则点P 到直线 yx 的最小距离为 _ 答案 2 2 解析 根据题意设平行于直线yx
39、的直线与曲线 ye x 相切于点 (x0，y0)，该切点即为与 yx 距离最近的点，如图则在点(x0，y0) 处的切线斜率为1，即 y|xx01. y(ex)ex， ex01，得 x00，代入 ye x，得 y 01，即 P(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为 2 2 . 11已知 f(x)cos x，g(x)x，求适合 f(x)g(x)0 的 x 的值 解f(x)cos x，g(x)x， f(x)(cos x)sin x，g(x)x1， 由 f(x)g(x)0，得 sin x10， 即 sin x1，但 sin x1,1， sin x1，x2k 2，kZ. 12已知抛物线 yx 2，直线
40、 xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离 解根据题意可知与直线xy20 平行的抛物线 yx 2 的切线，对应的切点到直线xy20 的距离最短， 设切点坐标为 (x0，x 2 0)，则 y|xx02x01， 所以 x0 1 2，所以切点坐标为 1 2， 1 4 ， 切点到直线 xy20 的距离 d 1 2 1 42 2 7 2 8 ， 所以抛物线上的点到直线xy20 的最短距离为 7 2 8 . 三、探究与创新 13设 f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)， fn1(x)fn(x)，nN，试求 f2 014(x) 解f1(x)(sin x)cos x， f2(x)(
41、cos x)sin x， f3(x)(sin x)cos x， f4(x)(cos x)sin x， f5(x)(sin x)f1(x)， f6(x)f2(x)， fn4(x)fn(x)，可知周期为 4， f2 014(x)f2(x)sin x 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 学习目标 1理解函数的和、差、积、商的求导法则 2理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数 3能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导 知识链接 前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松我们 已经会求 f(x)5 和 g(x)1.05 x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与 g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 答利用导数的运算法则 预习导引 1导数运算法则 法则语言叙述 f(x) g(x)f(x) g(x) 两个