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1、高考数学二模试卷含答案 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1: 6 题每题 4 分，第 7: 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.若集合|0Ax x，|1Bx x，则AB_ 2.已知复数z满足21i zi（i为虚数单位） ，则z_ 3.函数 sincos cossin xx fx xx 的最小正周期是_ 4.已知双曲线 22 2 10 81 xy a a 的一条渐近线方程3yx，则a_ 5.若圆柱的侧面展开图是边长为4 的正方形，则圆柱的体积为_ 6.已知, x y满足 0 2 20 xy xy x ，则2zxy的最大值是 _ 7.直线 1 2
2、 xt yt （t为参数）与曲线 3cos 2sin x y （为参数）的交点个数是_ 8.已知函数 2 20 log01 x x fx xx 的反函数是 1 fx ，则 1 2 f_ 9.设多项式 23 * 11110, n xxxxxnNL的展开式中x项的系数 为 n T，则 2 lim n n T n _ 10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01 和p，每 道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则 p_ 11.设向量,mx ynxy u rr ，P为曲线10m nx u r r 上的一个动点，若点P到 直线10x
3、y的距离大于恒成立，则实数的最大值为 _ 12. 设 1210 ,x xxL为1,2,L,10的 一 个 排 列 ，则 满 足 对 任 意 正 整 数,m n，且 110mn，都有 mn xmxn成立的不同排列的个数为_ 二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个 正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设,a bR，则“4ab”是“1a且3b”的（） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 14.如图， P为正方体1111 ABCDA B C D中 1 AC与 1 BD的交点，则
4、PACV在该正方体 各个面上的射影可能是（） A.B. C. D. 15.如图，在同一平面内，点P位于两平行直线 12 ,l l同侧，且P到 12 ,l l的距离分别为 1，3.点,M N分别在 12 ,ll上，8PMPN uuu u ruu u r ，则PMPN uu uu r uuu r 的最大值为（） A. 15 B. 12 C. 10 D. 9 16.若存在tR与正数m，使F tmF tm成立，则称“函数F x在xt处 存在距离为2m的对称点”，设 2 0 x fxx x ，若对于任意2,6t，总 存在正数m，使得“函数fx在xt处存在距离为2m的对称点”，则实数的取值 范围是（） A
5、. 0,2B. 1,2C. 1,2D. 1,4 三、解答题（本大题共有5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相 应位置写出必要的步骤 . 17.（本题满分14 分，第 1 小题满分8 分，第 2 小题满分 6 分） 如图，在正方体 1111 ABCDA B C D中，E、F分别是线段BC、 1 CD的中点 . （1）求异面直线EF与 1 AA所成角的大小； （2）求直线EF与平面 11 AAB B所成角的大小. 18.（本题满分14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 已知抛物线 2 20ypx p，其准线方程为10x，直线l过点,00T tt 且与抛物线交于 A、B
6、两点，O为坐标原点 . （1）求抛物线方程，并证明：OA OB uu u r uu u r 的值与直线l倾斜角的大小无关； （2）若P为抛物线上的动点，记PT的最小值为函数d t，求d t的解析式 . 19.（本题满分14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 对于定义域为D的函数yfx，如果存在区间,m nD mn，同时满足： fx在,m n内是单调函数；当定义域是,m n时，fx的值域也是,m n则 称函数fx是区间,m n上的“保值函数”. （ 1）求证：函数 2 2g xxx不是定义域0,1上的“保值函数” ； （ 2）已知 2 11 2,0fxaR a aa x 是区间,
7、m n上的“保值函数” ，求a的 取值范围 . 20.（本题满分16 分，第 1 小题满分4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分6 分） 数列 n a中，已知 1212 1, nnn aaa ak aa对任意 * nN都成立，数列 n a的前n项和为 n S.（这里,a k均为实数） （1）若 n a是等差数列，求k； （2）若 1 1, 2 ak，求 n S; （3）是否存在实数k，使数列 n a是公比不为1 的等比数列，且任意相邻三项 12 , mmm aaa 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值； 若不存在，请说 明理由 . 21.（本题满分18 分，第 1 小题
8、满分4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分8 分） 设T ,R若存在常数0M，使得对任意tT，均有tM，则称T为有界 集合，同时称M为集合T的上界 . （1）设 1 21 |, 21 x x Ay yxR 、 2 1 |sin 2 Axx ，试判断 1 A、 2 A是否为有界 集合，并说明理由； （2）已知 2 fxxu，记 11 ,2,3, nn fxf xfxffxnL.若mR， 1 , 4 u ，且 * | n BfmnN为有界集合，求u的值及m的取值范围； （3）设a、b、c均为正数，将 2 ab、 2 bc、 2 ca中的最小数记为d，是 否存在正数0,1，使得为有界集合
9、 222 |, d Cy y abc a、b、c均为正数 的上界，若存在，试求的最小值；若不存在，请说明理由 . 参考答案 1. (0,1)2.1 3. 4.3 5. 5.1 6. 3 7. 2 8. 1- 9. 1 2 10. 0.03 11. 2 2 12.512 13. B 14. C 15.A 16.A 17. （1）arctan 2（2） 2 arctan 2 18.（1） 2 4yx，证明略 （2） 21,(t2) (t) ,(0t2) t d t 19. （1）证明略 （2） 1 2 a 或 3 2 a - 20. （1） 1 2 k （2） 2(21,) ,(2 ,) n n
10、nkkN S n nk kN （3） 2 5 k 21.（1） 1 A为有界集合，上界为 1； 2 A不是有界集合 （2） 1 4 u， 1 1 , 2 2 m （3） 1 5 解析： （3）不失一般性，不妨假设cba （i）若 2 ac b。设 2 2 ac d ， 此时 22 2 22222 353 22 acac abcacacacdac， 222222222 22 1131131112 555555525 4 dacacac abcabcaacc ac ac 2222222 12121 0,10, 5255 525 acd y aaccabc ac ca 猜测 1 5 y，即 min
11、1 5 （ii）若abbc，即20abc时， 2 dbc 此时 222 222222222 5552630dabcbcabcbcbcbcbcc 即 222 1 5 d abc （iii）若abbc，即022abcb时， 2 dab 此时 2 2222222222 5541042220dabcababcaabbcababc 即 222 1 5 d abc 综上所述， 1 0 5 y，集合 222 |, d Cy yabc abc 、 、 均为正数的上界 存在， 1 5 （2）设 011 ,1,2,3,. nn am af mafan，则 nn afm 2 1 1 4 afmmu，则 2 2 21
12、111 11 0 24 aaaauau 且 2 111 11 0 24 nnnnn aaauaa 若 * |N n Bfmn为有界集合，则设其上界为0 M，既有 * 0, N n aMn 112211112211 nnnnnnnnn aaaaaaaaaaaaaaa 222 2 121 111111 . 242424 nn auauaumu 222 2 121 11111 . 22244 nn aaamn uun uu 若 0n aM恒成立，则 0 1 4 n uuM 恒成立，又 11 0 44 uu 1 4 u， 2 1 4 fxx 设 1 2 m （i）0，则 2 2 1010 1111 2
13、422 aafmmaa 11 1 . 2 nn aaam 记 2 1 2 g xfxxx，则当 12 1 2 xx时， 12 g xg x 2 111110nnnnn g afaaaag maa 2 1 1 n aan，若 0n aM恒成立，则0，矛盾。 （ii）0，由（ i）可知 11 1 . 2 nn aaam，满足题意。 （iii）0，同样有 2 22 1010 111 242 aafmmaa 若 2 1 111 1 222 a，则由（ i）可知，0，不可能。 若1，则 1 11 , 22 ma，则由（ ii）可知， 11 1 . 2 nn aaa，满足题 意。 若10，则 2 2 111 ,0 244 ，则 222 10 11 1 , 24 2 aam 则存在 1 1,0，使得 11 1 2 a，故存在 2 1,0，使得 22 1 2 a 以此类推，存在1,0 n ，使得 1 2 nn a 此时 12 11 . 42 n aaa，若 * 0, N n aMn，则 0 M可取 1 2 ，满足题意。 综上所述1,0， 1 1 , 2 2 m