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1、导数 选修 1-1 第 3 章 导数及其运用 3.1 导数概念及其几何意义 重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义 考纲要求：了解导数概念的实际背景 理解导数的几何意义 经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x0)的导数 当堂练习： 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量 x满足（ ） A x0 B x0 Bf(x0)0) 在 R 上是增函数 ,则( ) A.b2-4ac0 B.b0,c0 C.b=0,c0 D.b2-3ac1) ()求导数 f (x); ()若不等式f(x1)+ f(x2)0 成立，求 a 的取值范围 18、已知 cxbxaxxf2)( 23 在 2x
2、 时有极大值6，在 1x 时有极小值，求 cba, 的值；并求 )(xf 在区间 3，3上的最大值和最小值. 19、设函数 Rxxxxf,56)( 3 （）求 )(xf 的单调区间和极值； （）若关于 x的方程 axf)( 有 3 个不同实根，求实数 a 的取值范围 . （）已知当 )1()(,), 1(xkxfx时 恒成立，求实数 k 的取值范围 . 选修 1-1 选修 1-1 综合测试 1已知命题甲： 0)( 0 xf ，命题乙：点 0 x 是可导函数 )(xf 的极值点，则甲是乙的 （） A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分而不必要条件 2、已知椭圆的焦点为 1 1,
3、0F 和 2 1,0F ，点P在椭圆上的一点，且 12 F F 是 12 PFPF和 的等差中项，则该椭圆的方程为（） A、 22 1 169 xy B、 22 1 1612 xy C、 22 1 43 xy D、 22 1 34 xy 3、已知 4| AB ，点 P 在 A、B 所在的平面内运动且保持 6|PBPA ，则 |PA 的 最大值和最小值分别是( ) A 5 、3 B10、2C5、1 D6、4 4、椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（） A、 3 2 B、 3 4 C、 2 2 D、 1 2 5双曲线x2ay21 的焦点坐标是（） A( a1 , 0) ,
4、 ( a1 , 0) B( a1 , 0), ( a1 , 0) C（ a a1 , 0）,（ a a1 , 0）D( a a1 , 0), ( a a1 , 0) 6、若双曲线 22 22 1 xy ab 与 22 22 10 xy ab ab 的离心率分别为 12 ,e e ，则当 ,a b 变 化时， 22 12 ee 的最小值是（） A 42 B4C 2 2 D3 7.曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线平行于直线y=4x-1, 则 P0 的坐标可能是 ( ) A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4) 8. 函数 x ax xf 1 )( 2 在区间 )
5、,0( 上单调递增，那么实数a的取值范围是（） A 0a B 0a C 0a D 0a 9、方程 x36x2+9x 10=0 的实根个数是（） A、3 B、2 C、1 D、0 10已知函数f(x) 的导函数 )( xf 的图像如左图所示，那么函数f(x) 的图像最有可能的是 ( ) 11命题 2 ,3 0x Rxx 的否命题是. 12已知p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立的条件。（填“充分不必要”“必要不充分”、“充要”或“既不充分 也不必要”） 13若方程 1 14 22 t y t x 所表示的曲线为C，给出下列四个命题：
6、若 C 为椭圆，则 14 或 t0 时，y=x，则 1 )( x xxx x y 0 lim x x y =1 当 x0. 因此 ,当半径r2 时,f (r)0,它表示 f(r) 单调递增 ,即半径越大 ,利润越高 ;半径 r0，即 3ax2+2bx0, a b 3 2 0. 因此当 x(-, a b 3 2 )时，函数为减函数 ; x(0,+)时，函数也为减函数. 16. 分析本题考查导数的几何意义及利用导数知识解决实际问题的能力. 解 (1)b(t)=-2 000t+10 000, b(t)|t=5=-2 000 5+10 000=0, b(t)|t=10=-2 000 10+10 000
7、=-10 000, 即细菌在t=5 与 t=10 时的瞬时速度分别为0 和-10 000. (2)由-2 000t+10 0000, 得 t5, 即细菌在t (0,5)时间段数量增加,在 t(5,+)时间段数量减少. 17. 分析本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用能 力.求函数在闭区间的最值,只需比较导数为零的点与区间端点处的函数值的大小即可. 解 (1)由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a, f(x)=3x2-2ax-4. (2)由 f (-1)=0,得 a= 2 1 . 此时有 f(x)=(x2-4)(x- 2 1 ), f(x)=3x2-x-4.
8、 由 f(x)=0, 得 x=3 4 或 x=-1. 又 f( 3 4 )=- 27 50 ,f(-1)= 2 9 ,f(-2)=0,f(2)=0, f(x) 在 -2,2上的最大值为 2 9 ,最小值为 27 50 . 18. 分析在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大” 等问题 ,在生产、 生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见 的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域 内进行 . 解法一设相同的时间内,生产第 x(x N*,1 x10)档次的产品利润y 最大 . 依题意 ,得 y=8
9、+2(x-1) 60-3(x-1) =-6x2+108x+378 =-6(x-9)2+864(1 x10), 显然 ,当 x=9 时 ,ymax=864( 元), 即在相同的时间内,生产第 9 档次的产品的总利润最大,最大利润为864 元. 解法二由上面解法得到y=-6x2+108x+378. 求导数 ,得 y=-12x+108. 令 y=-12x+108=0, 解得 x=9.因为 x=9 1,10,y 只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第 9 档次的产品利润最大,最大利润为864 元. 3.5 导数及其运用单元测试 1.B; 2.D; 3.B; 4.D; 5.B; 6.C
10、; 7.B; 8.A; 9.C; 10.D; 11. 5; 12. ) 1 ,0( ; 13. e2 1 ;14. 2 1 ; 15、 (I)解： 32 ( )3 ,( )333(1)(1).f xxxfxxxxQ 令 ( )0,fx 得 1,1.xx 若 (, 1)(1,),xU 则 ( )0fx ， 故 ( )f x 在 (, 1) 上是增函数， ( )f x 在 (1,) 上是增函数 若 ( 1,1),x 则 ( )0fx ，故 ( )f x 在 ( 1,1) 上是减函数 (II) ( 3)18,( 1)2,(1)2,(2)2ffffQ 3 ( )18.xf x当时，在区间 -3,2取到
11、最小值为 12 ( )2.xf x当或时，在区间 -3,2取到最大值为 16、解：（）当 时，1a 1)(xf 1 1 1 x x ,化为 0 1 2 x ,01x 1x即： 故，满足（）条件的集合为 1xx （） 22 )1( 1 )1( )1()1( )( x a x axxa xf 要使 f（x）在区间（ 0，+）上是单调减函数，必须 0)( xf ， 即 1a ，但 1a 时， )(xf 为常函数，所以 1a 17、 .解:（I） .)1(23)( 2 axaxxf （II）因 故得不等式,0)()( 21 xfxf .0)(2)(1 (3)( .0)()(1 ( 2121 2 212
12、1 2 2121 21 2 2 2 1 3 2 3 1 xxaxxxxaxxxxxx xxaxxaxx 即 又由（ I）知 . 3 ),1 ( 3 2 21 21 a xx axx 代入前面不等式，两边除以（ 1+a），并化简得 .0)()(,2, )( 2 1 2 .0252 21 2 成立不等式时当因此 舍去或解不等式得 xfxfa aa aa 18、 .解：（ 1） ,223)( 2 bxaxxf 由条件知 . 3 8 , 2 1 , 3 1 .6448)2( ,0223)1 ( ,02412)2( cba cbaf baf baf 解得 （2） ,2)(, 3 8 2 2 1 3 1
13、)( 223 xxxfxxxxf x 3 (3,2) 2 (2,1) 1 (1,3) 3 )(xf 0 0 )(xf 6 1 46 2 3 6 1 10 由上表知，在区间 3，3上，当 3x 时， , 6 1 10 max f 1x 时， . 2 3 min f 19、解 :（） 2,2,0)(),2(3)( 21 2 xxxfxxf得令 当 0)(,22,0)(22xfxxfxx时当时或 ， )(xf 的单调递增区间是 ),2()2,(及 ，单调递减区间是 )2,2( 当 245)(,2有极大值xfx ；当 245)(,2有极小值xfx （）由（）的分析可知 )(xfy 图象的大致形状及走向
14、（图略） 当 )(,245245xfyaya与直线时 的图象有3 个不同交点， 即方程 )(xf 有三解（ （） )1()5)(1()1()( 2 xkxxxxkxf即 ), 1(5, 1 2 在xxkx 上恒成立 令 5)( 2 xxxg ，由二次函数的性质， ), 1()(在xg 上是增函数， , 3)1()(gxg 所求 k 的取值范围是 3k 选修 1-1 综合测试 1.B; 2.C; 3.D; 4.A; 5.C; 6.B; 7.C; 8.A; 9.C; 10.A; 11. 03, 2 xxRx ; 12. 充分不必 要; 13. （2）;14. , 3 3 3 3 ,0 ; 17解：
15、设P（x，y）是所求轨迹上的任一点， 当斜率存在时，直线 l 的方程为y=kx+1 ，A（ x1，y1），B（ x2，y2）， 由 1 044 22 kxy yx 得：（ 4+k2）x2+2kx 3=0，x1+x2= , 4 2 2 k k y1+y2= 2 4 8 k ， 由 )( 2 1 OBOAOP 得：（ x，y） = 2 1 （x1+x2 ，y1+y2）， 即： 2 21 2 21 4 4 2 42 k yy y k kxx x 消去 k 得： 4x2+y2 y=0 当斜率不存在时，AB 的中点为坐标原点，也适合方程所以动点P 的轨迹方程为： 4x2+y2- y= 0 。 18. 2
16、2 2 2 22 22 2 2 12 2 1122 12 2 0 6 3 3,1 3 2 1 3 2 2 131290 330 1236 1301 12 13 , 9 13 ABbxayab c a ab ab ab x y ykx kxkx xy kk k xx k Cx yDxy x x k L L L L L L L L L L g 1 直线方程为 依题意可得： 解得： 椭圆的方程为 假设存在这样的值。 由得 设则 2 12121212 12 12 1212 2 1212 2 2224 1 11 110 121503 y ykxkxk xxk xx CEDE yy xx y yxx kx
17、 xkxx k k k L L L L L g g g L L L L L L 而 要使以 CD 为直径的圆过点 E 1，0 ，当且仅当时 则 即 7 将 2 代入3 整理得 6 7 经验证 使得 1 成立 6 7 综上可知，存在使得以 CD 为直径的圆过点 E 6 15. 22 22 22 2 2 22 105 144169 10, 25421 1 421 410 xy yx abo ab a b yx 椭圆的焦点是，-、0，5 ，焦点在 y轴上 设双曲线的方程为 又因为双曲线过点0，2 ，把这个点代入方程可得4 所以双曲线的方程为 双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为 2.5 16(1)在 3 2 , , 1 上为单调递增区间,在 1 , 3 2 上为单调递减区间. (2)x=1 时,y= 2 7 ,x= 3 2 时 ,y= 27 157