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1、1 高考数学填空题解题技巧 数学填空题在新课标高考数学试卷中总计4 题，20 分，占总分的14%。它和选择题同属客观性试题，它们 有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体， 评分客观、公正、准确等。 根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型： 一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、 最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数 是以定量型问题出现。 二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某
2、种性质，如：给定二次曲线的 准线方程、焦点坐标、离心率等等。近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题。 在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、更严格，考试 说明中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。为此在解填空题时要做到：快运算要快，力 戒小题大作；稳变形要稳，不可操之过急；全答案要全，力避残缺不齐；活解题要活，不要生搬 硬套；细审题要细，不能粗心大意。 （一）数学填空题的解题方法 1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结 论的，称为直接法。 它是解填空题的最基本、最常用的方法。使用直接
3、法解填空题，要善于通过现象看本质，自 觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。 例 1、 乒乓球队的10 名队员中有3 名主力队员，派 5 名参加比赛。 3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其 余 7 名队员选2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_种（用数字作答） 。 解：三名主力队员的排法有 3 3A 种，其余 7 名队员选2 名安排在第二、四位置上有 2 7A 种排法，故共有排法数 3 3 A 2 7 A=252 种。 例 2、 102 (2)(1)xx的展开式中 10 x的系数为。 解： 102010192810102 10101010 (2)(1)(242 )(1)xxC
4、xC xC xCx 得展开式中 10 x的系数为 0 10C 2 104C =179。 例 3、已知函数 2 1 )( x ax xf在区间), 2(上为增函数，则实数a的取值范围是。 解： 2 21 2 1 )( x a a x ax xf，由复合函数的增减性可知， 2 21 )( x a xg在), 2(上为增函数， 021a， 2 1 a。 2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量， 但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示 答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当 特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊 数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）
5、进行处理，从而得出探求的结论。这样可大大地 简化推理、论证的过程。 例 4、在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，如果 a、b、c 成等差数列，则 CA CA coscos1 coscos 解法一 ：取特殊值a3, b4, c5 ,则 cosA, 5 4 cosC0, CA CA coscos1 coscos4 5 。 解法二 ：取特殊角ABC600 cosAcosC 2 1 , CA CA coscos1 coscos4 5 。 2 例 5、如果函数 2 ( )f xxbxc对任意实数t都有(2)(2)ftft，那么(1),(2),(4)fff的大小关系是 。 解： 由于(
6、2)(2)ftft，故知( )f x的对称轴是2x。可取特殊函数 2 ( )(2)f xx，即可求得 (1)1,(2)0,(4)4fff。(2)(1)(4)fff。 例 6、已知 SA，SB，SC 两两所成角均为60，则平面 SAB 与平面 SAC 所成的二面角为 。 解： 取 SA=SB=SC，则在正四面体SABC 中，易得平面SAB 与平面 SAC 所成的二面角为 1 arccos3。 例 7、 已知,m n是直线，,是平面，给出下列命题： 若,，则； 若,nn， 则； 若内不共线的三点到的距离都相等，则； 若,nm，且n，m，则 ；若,m n为异面直线，n，n，m,m，则。则其中正确的命
7、题是 。 （把你认为正确的命题序号都填上） 解： 依题意可取特殊模型正方体AC1（如图）， 在 正方体AC1中逐一判断各命题， 易得正确的命题是 。 3、 数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题， 若能 根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做 到数中思形，以形助数，并 通过对图形的 直观 分析、 判断 ，则往往可以简捷地得出正确的结果。 例 8、已知向量a r =)sin,(cos，向量b r =) 1,3(，则|2a r b r |的最大值是 解：因| 2 | |2ab rr ，故向量 2a r 和b r 所对应的点A、B 都在以原点为圆心，2 为半径的圆上，从而 |2a r b r
8、| 的几何意义即表示弦AB 的长，故|2a r b r |的最大值为4。 例9、 如果不等式xaxx) 1(4 2 的解集为A ，且 20|xxA，那么实数a的取值范围 是。 解：根据不等式解集的几何意义，作函数 2 4xxy和 函数xay)1(的图象 （如图），从图上容易得出实数a的取 值范围是,2a。 例 10、设函数f(x) 1 3x 3 1 2 ax 2 2bx c若当 x（0，1）时，f(x)取得极大值； x（ 1，2）时，f(x) 取得极小值，则 b- 2 a - 1 的取值范围 是 解：f ( x) x2 ax 2b，令 f (x)0，由条件知，上述方程 应满足： 一根在 （0，
9、1）之间，另一根在 （1，2）之间， f(1)0 f(2)0 ， 得 a+2b+10 a+b+20 ，在 aob 坐标系中，作出上述区域如图所示，而 b- 2 a - 1 的几何意义是过两点P(a，b)与 A(1，2)的直线斜率，而 P(a，b) 在区域内，由图易知kPA（ 1 4， 1） 4、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题， 从而得到正确的 a b o A (1,2) (3,1) (1,0) 2 2 3 A B C D A1 B1 C1 D1 结果。 例 11、 不等式 2 3 axx的解集为),4(b，则a_，b_。 解：设tx，则原不等式可转
10、化为：, 0 2 3 2 tata 0，且 2 与)4(bb是方程0 2 3 2 tat的 两根，由此可得：36, 8 1 ba。 例 12、不论k为何实数，直线1kxy与圆0422 222 aaaxyx恒有交点，则实数a的取值范 围是。 解 ：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆42)( 22 ayax， 31a。 5、构造法： 根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方 法。 例 13、如图，点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外，PD ABCD ，PD=AD ，则 PA 与 BD 所成角的度数为 。 解：根据题意可将
11、此图补形成一正方体，在正方体中易 求得 PA 与 BD 所成角为60。 例 14、4 个不同的小球放入编号为1， 2 ， 3 ， 4的 4个盒中，则只有 1 个空盒的放法共有种 （用数字作答） 。 解：符合条件的放法是：有一个盒中放2 个球，有 2 个盒中各放1 个球。因此可先将球分成3 堆（一堆 2 个，其 余 2 堆各 1 个，即构造了球的“堆” ） ，然后从 4 个盒中选出3 个盒放 3 堆球，依分步计算原理，符合条件的 放法有 23 44 144C A（种）。 例 15、椭圆 x2 9 + y2 4 =1 的焦点 F1、F2，点 P 是椭圆上动点，当 F1PF2为钝角时，点 P 的横坐
12、标的取值范 围是 解：构造圆 x2y25，与椭圆 x2 9 + y2 4 =1 联立求得交点x02 9 5 x0（ 35 5 ， 3 5 5 ） 6、 分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论。 例 16、 如右图，在直四棱柱 1111 ABCDA B C D中，当 底 面 四 边 形 满 足 条 件 时，有 111 ACB D（填上你认为正确的一个条件 即可，不必考虑所有可能性的情形）。 解 ：因四棱柱 1111 ABCDA B C D为直四棱柱，故 11 AC为 1 A C在面 1111 A B C D上的射影，从而要使 111 ACB D，只要 11 B D与 11
13、A C垂直，故底 面四边形 1111 A B C D只要满足条件 11 B D 11 AC即可。 例 17、以双曲线 2 2 1 3 x y的左焦点F，左准线 l 为相应的焦点和准线的椭圆截直线3ykx所得的弦恰好被 x 轴平分，则 k 的取值范围是。 解：左焦点 F 为（ 2，0） ，左准线 l：x 3 2， 因椭圆截直线3ykx所得的弦恰好被x 轴平分，故 根据椭圆的对称性知，椭圆的中心即为直线3ykx与 x 轴的交点 3 (,0) k ，由 3 2 k ，得 0 k 3 2。 （二）减少填空题失分的检验方法 1、回顾检验 4 例 18、 满足条件且 2 1 cos的角的集合为。 错解：,
14、 2 1 3 4 cos, 2 1 3 2 cos. 3 4 3 2 或 检验： 根据题意，答案中的 3 4 不满足条件，应改为 3 2 ；其次，角的取值要用集合表示。 故正确答案为. 3 2 , 3 2 2、赋值检验。若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误。 例 19、 已知数列 n a的前 n 项和为123 2 nnSn，则通项公式 n a= 。 错解：, 161)1(2) 1(3123 22 1 nnnnnSSa nnn .16nan 检验： 取 n=1 时，由条件得6 11 Sa，但由结论得a1=5。 故正确答案为 ).2( 16 ),1(6 n
15、n n an 3、逆代检验。若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围 而产生增解致错。 例 20、 方程izz31|3的解是。 错解：设),(Rbabiaz，则ibibaa313)3( 22 ，根据复数相等的定义得 .33 , 13 22 b baa 解得 . 1 , 4 3 1 , 0 b a b a 或 。故. 4 3 iziz或 检验： 若iz，则原方程成立；若iz 4 3 ，则原方程不成立。 故原方程有且只有一解z=- i. 4、估算检验。当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产 生逻辑性错误。 例 21、
16、 不等式xxlg1lg1的解是。 错解： 两边平行得 2 1lg(1lg)xx，即lg(lg3)0, 0lg3xxx，解得 3 110x。 检验 ： 先求 定 义 域 得1lg1, 1lg11. 10 1 xxxx则若，原 不 等 式成 立 ； 若 xxxlg1lg1,1 10 1 时，原不等式不成立，故正确答案为x1。 5、作图检验。当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错。 例 22、 函数|1|log| 2 xy的递增区间是。 错解：)., 1( 检验： 由 ),1( |)1 (log| ),1( |)1(log| 2 2 xx xx y 作图可知正确答
17、案为).,2)1,0和 7、极端检验。当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误。 例 24、 已知关于 x 的不等式01)2()4( 22 xaxa的解集是空集，求实数 a 的取值范围。 错解： 由0)4(4)2( 22 aa，解得. 5 6 2a 检 验 ： 若a=- 2，则 原 不 等 式 为01，解 集 是 空 集 ，满 足 题 意 ； 若 5 6 a，则 原 不 等 式 为 0258064 2 xx，即0)58( 2 x，解得 8 5 x，不满足题意。 故正确答案为. 5 6 2a 切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，“一知半解”。 5 6、变法检验 。一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成 的策略性错误 。 例 23、 若),(1 91 Ryx yx ，则 yx 的最小值是。 错解：, 6, 69 2 91 1xy xy xyyx .122 xyyx 检验： 上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到。 换一种解法为： ,16 9 210 9 10) 91 )( y x x y y x x y yx yxyx .16的最小值为yx