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1、第 1 页 椭圆与双曲线的对偶性质- （必背的经典结论） 椭圆 1.点 P 处的切线PT 平分 PF1F2在点 P处的 外角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 上，则过 0 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 6.若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 外 ，则过 Po作椭圆
2、的两条切线切点为P1、 P2，则 切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 7.椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的左右焦点分别为F1，F2，点 P 为椭圆上任意一点 12 F PF，则椭圆的焦点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF Sb. 8.椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的焦半径公式： 10 |MFaex, 20 |MFaex( 1( ,0)Fc, 2( ,0) Fc 00 (,)M xy). 9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N
3、两点，则 MF NF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、 Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M， A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11.AB 是椭圆 22 22 1 xy ab 的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为 AB 的中点，则 2 2OMAB b kk a ， 即 0 2 0 2 ya xb K AB 。 12.若 000 (,)Pxy在 椭 圆 22 22 1 xy ab 内 ，则 被Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 13.若 000 (,)P
4、xy在 椭 圆 22 22 1 xy ab 内 ，则 过Po的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 第 2 页 22 00 2222 x xy yxy abab . 双曲线 1.点 P 处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的 内角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P 在右支；外切： P 在左支） 5.若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b
5、0）上，则过 0 P的双曲线的切线方 程是 00 22 1 x xy y ab . 6.若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0）外，则过 Po作双曲线的两条 切线切点为P1、P2， 则切点弦P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 7.双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）的左右焦点分别为F1，F2，点 P 为双曲线 上任意一点 12 F PF，则双曲线的焦点角形的面积为 12 2 t 2 F PF Sb co. 8.双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）的焦半径公式：( 1( ,0)Fc, 2( ,0) Fc
6、 当 00 (,)M xy在右支上时， 10 |MFexa, 20 |MFexa. 当 00 (,)M xy在左支上时， 10 |MFexa, 20 |MFexa 9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶 点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点，则 MF NF. 10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶 点，A1P和 A2Q 交于点 M， A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF. 11.AB 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M)
7、,(00yx为 AB 的中点，则 0 2 0 2 ya xb KK ABOM ，即 0 2 0 2 ya xb K AB 。 12.若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0）内，则被Po 所平分的中点弦 第 3 页 的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 13.若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0）内，则过Po 的弦中点的轨迹 方程是 22 00 2222 x xy yxy abab . 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论） 高三数学备课组 椭圆 1.椭圆 22 22 1 xy
8、 ab （ abo）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) Aa，与 y 轴平行的 直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 2.过椭圆 22 22 1 xy ab (a0, b 0)上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直 线交椭圆于B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数） . 3.若P 为椭圆 22 22 1 xy ab （a b0）上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点 , 12 PF F, 21 PF F，则tant 22 ac co ac . 4.设椭圆 2
9、2 22 1 xy ab （ ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上 任意一点，在 PF1F2中， 记 12 F PF, 12 PF F, 12 F F P，则 有 sin sinsin c e a . 5.若椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则 当 0e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上任一点 ,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点， 第 4 页 则 211 2| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当
10、 2 ,A FP三点共线时，等号 成立 . 7.椭圆 22 00 22 ()() 1 xxyy ab 与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 00 ()A aB bAxByC. 8.已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0） ，O 为坐标原点，P、 Q 为椭圆上两动点，且 OPOQ. （ 1） 2222 1111 |OPOQab ; （2）|OP| 2+|OQ|2 的最大值为 22 22 4a b ab ; （3） OPQ S的最小值是 22 22 a b ab . 9.过椭圆 22 22 1 xy ab （ab0） 的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦 MN 的
11、垂直平分线交x 轴于 P，则 | |2 PFe MN . 10.已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直 平分线与x 轴相交于点 0 (,0)P x, 则 2222 0 abab x aa . 11.设 P 点是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点 记 12 F PF，则(1) 2 12 2 | 1cos b PFPF.(2) 12 2 tan 2 PF F Sb. 12.设 A、B 是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， PAB, PBA,BP
12、A，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则 有(1) 2 222 2|cos| | s ab PA ac co .(2) 2 tantan1e.(3) 22 22 2 cot PAB a b S ba . 13.已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦 点F的直线与椭圆相交于A、B 两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则 直线 AC 经过线段EF 的中点 . 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点 与相应焦点的连线必与切线垂直. 第 5 页 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的
13、连线必 与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e( 离心率 ). （注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ） 17.椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论） 高三数学备课组 双曲线 1.双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的
14、轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 2.过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互 补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数）. 3.若 P 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0）右（或左） 支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点 , 12 PF F, 21 PF F，则tant 22 ca co ca （或 tant 22 ca co ca ）. 4.设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）
15、为 双 曲 线 上 任 意 一 点 ，在 PF1F2 中 ，记 12 F PF, 第 6 页 12 PF F, 12 F F P，则有 sin (sinsin) c e a . 5.若双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为 L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是 P 到对 应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上任一点 ,F1,F2为二焦点，A 为双曲 线内一定点，则 21 | 2|AFaPAPF,当且仅当 2 ,A FP三点共线且 P和 2 ,A F在 y 轴同
16、侧时，等号成立 . 7.双曲线 22 22 1 xy ab （a 0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条 件是 22222 A aB bC. 8.已知双曲线 22 22 1 xy ab （ba 0） ，O 为坐标原点，P、 Q 为双曲线上 两动点，且OPOQ. （1） 2222 1111 |OPOQab ; （2）|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 22 22 4a b ba ;（3）OPQS 的最小值是 22 22 a b ba . 9.过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则 |
17、 |2 PFe MN . 10.已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）,A、 B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与x 轴相交于点 0 (,0)P x, 则 22 0 ab x a 或 22 0 ab x a . 11.设 P 点是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其 焦点 记 12 F PF，则 (1) 2 12 2 | 1cos b PFPF.(2) 12 2 cot 2 PF F Sb. 12.已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双 第 7 页 曲线右焦点F
18、的直线与双曲线相交于A、B 两点 ,点C在右准线l上，且 BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 . 13.设 A、 B 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上 的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半 焦距离心率，则有 (1) 2 222 2|cos| | |s| ab PA ac co . (2) 2 tantan1e.(3) 22 22 2 cot PAB a b S ba . 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则 相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点 的连线必与焦半径互相垂直. 16.双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为 常数 e(离心率 ). ( 注 : 在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外 点). 17.双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.