高考数学真题与答案.pdf

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1、- 1 - 普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的. （1）设集合BAxxBxxA则|,0log|,01| 2 2 等于 （A） 1|xx （B）0|xx（C） 1|xx （D） 11|xxx或 （2）设 5 .1 3 44. 0 2 9. 0 1 ) 2 1 (,8,4yyy，则 （A）y3y1y2（B）y2y1y3（C）y1y2y3（D）y1y3y2 （3） “ 2 3 2cos ”是“ Zkk, 12 5 ”的 （A）必要非充分条件（B）充分非必要条件 （

2、C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件 （4）已知，是平面， m ， n 是直线 .下列命题中不正确的是 （A）若 m n， m ，则 n（B）若 m ， =n，则 m n （C）若 m ， m ，则（D）若 m ，m，则 （5）极坐标方程1cos22cos 2 表示的曲线是 （A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线 （6）若Cz且|22|, 1|22|iziz则的最小值是 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （7）如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （A）2（B） 2 3 （C） 3 32 （D） 2 1 （8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4 种蔬菜品

3、种中选出3 种，分别种在不同土质的三块土 地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （A）24 种（B）18 种（C）12 种（D）6 种 （ 9 ） 若 数 列 n a的 通 项 公 式 是, 2, 1, 2 )23() 1(23 na nnnnn n ，则 - 2 - )(lim 21n n aaa 等于 （A） 24 11 （B） 24 17 （C） 24 19 （D） 24 25 （10） 某班试用电子投票系统选举班干部候选人. 全班k名同学都有选举权和被选举权，他 们的编号分别为1， 2 ，k，规定： 同意按 “1” ，不同意（含弃权） 按“0” ， 令 ., 0 ., 1 号同学

4、当选号同学不同意第第 号同学当选号同学同意第第 ji ji aij , 其中i=1， 2 ，k，且j=1， 2， k ，则同时同意第1， 2号同学当选的人数为 （A） kk aaaaaa 2222111211 （B） 2221212111kk aaaaaa （C） 2122211211kk aaaaaa（D） kka aaaaa 2122122111 第卷（非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上. （11） 函数 xtgxh xx x xx xgxxf2)( . 1,2 . 1|0 .1,2 )(),1lg()( 2 中，是

5、偶函数 . （12）以双曲线1 916 22 yx 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线 的方程是 （13）如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分 母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分 的体积是 . （14）将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆 的面积之和最小，正方形的周长应为 . - 3 - 三、解答题：本大题共6 小题，共 84 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） （本小题满分13 分） 已知函数.sincossin2cos)( 44 xxxxxf （）求)(xf的最小正周期； （）若 2 , 0

6、x，求)(xf的最大值、最小值. （16） （本小题满分13 分） 已知数列 n a是等差数列，且.12,2 3211 aaaa （）求数列 n a的通项公式； （）令).(Rxxab n nn 求数列 n b前 n 项和的公式 . （17） （本小题满分15 分） 如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长的3， 侧棱 AA1=, 2 33 D是 CB延长线上一点， 且 BD=BC. （）求证：直线BC1/ 平面 AB1D； （）求二面角B1ADB的大小； （）求三棱锥C1ABB1的体积 . （18） （本小题满分15 分） 如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴 B1B2 在 y 轴

7、上，中心为 M （0， r ） （).0rb （）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心 率； （）直线xky 1 交椭圆于两点);0)(,(),( 22211 yyxDyxC直线xky 2 交椭圆于 两点).0)(,(),( 44433 yyxHyxG求证： 43 432 21 211 xx xxk xx xxk ； - 4 - （）对于（）中的C， D ， G ， H ，设 CH交x轴于点 P， GD 交x轴于点 Q. 求证： |OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH或 GD垂直于x轴的情形） （19） （本小题满分14 分） 有三个新兴城镇，分别位于A， B ， C 三点处，且 AB=

8、AC=a， BC=2b. 今计划合 建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图） （）若希望点P到三镇距离的平方和为最小， 点 P应位于何处？ （）若希望点P到三镇的最远距离为最小， 点 P应位于何处？ （20） （本小题满分14 分） 设)(xfy是定义在区间 1 , 1上的函数，且满足条件： （i ）;0)1 ()1(ff （ii ）对任意的. |)()(|,1 , 1,vuvfufvu都有 （）证明：对任意的;1)(1,1 , 1xxfxx都有 （）证明：对任意的; 1|)()(|,1 , 1,vfufvu都有 （）在区间 1， 1上是否存在满

9、足题设条件的奇函数)(xfy，且使得 .1 , 2 1 ,|,|)()(| . 2 1 ,0,. |)()(| vuvuvfuf vuvuvfuf 当 当 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由 . - 5 - 普通高等学校招生全国统一考试(北京卷 ) 数学（理工农医类）答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 50 分 . （1）A （2）D （3）A （4）B （5）D （6）B （7）C （8）B （9）C （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 4 分 , 满分 16 分. （11）)();(xgxf （12）)4(36 2 xy （1

10、3）)( 2 1 2 bar （14） 4 4 三、解答题：本大题共6 小题，共 84 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）满分 13 （）解析：因为xxxxxf 44 sincossin2cos)( 2222 (cossin)(cossin)sin 2 cos2sin22 cos(2) 4 xxxxx xxx 所以)(xf的最小正周期. 2 2 T - 6 - （）解析：因为 , 2 0x 所以 . 4 5 4 2 4 x 当 44 2x 时， ) 4 2cos( x 取得最大值 2 2 ；当 4 2x时， ) 4 2cos( x 取得最小值1. 所以)(xf在 2 ,

11、 0 上的最大值为1，最小值为.2 （16）满分 13 分. （）解析：设数列 n a公差为d，则,1233 1321 daaaa又.2,2 1 da 所以.2nan （）解：令, 21nn bbbS则由,2 nn nn nxxab得 ,2)22(42 12nn n nxxnxxS ,2)22(42 132nn n nxxnxxxS 当1x时，式减去式，得 ,2 1 )1(2 2)(2)1( 112n n nn nnx x xx nxxxxSx 所以 . 1 2 )1( )1(2 1 2 x nx x xx S nn n 当1x时, ) 1(242nnnSn 综上可得当1x时,)1(nnSn

12、当 1x 时， . 1 2 )1( )1(2 1 2 x nx x xx S nn n （17） 满分 15 分 . （）证明： CD/C1B1， 又 BD=BC=B1C1， 四边形 BDB1C1是平行四边形，BC1/DB1. 又 DB1平面 AB1D， BC1平面 AB1D，直线 BC1/ 平面 AB1D. （）解析：过B作 BE AD于 E，连结 EB1， B1B 平面 ABD ，B1EAD ， B1EB是二面角B1AD B的平面角， BD=BC=AB ， E是 AD的中点， . 2 3 2 1 ACBE 在 RtB1BE中， - 7 - .3 2 3 3 2 3 1 1 BE BB BE

13、Btg B1EB=60。即二面角B1AD B的大小为60 （）解法一：过A作 AF BC于 F，B1B 平面 ABC ，平面 ABC 平面 BB1C1C ， AF平面 BB1C1C，且 AF=,3 2 3 3 2 3 AFSVV CBB CBBAABBC 111 11111 3 1 . 8 27 2 33 )3 2 33 2 1 ( 3 1 即三棱锥C1 ABB1的体积为 . 8 27 解法二：在三棱柱ABC A1B1C1中， 11111111 1 1 1 CBAABAACABBC BAAABB VVVSS . 8 27 2 33 )3 4 3 4( 3 1 3 12 1 111 AAS CB

14、A 即三棱锥 C1ABB1的体积为 . 8 27 （18）满分 15 分. （）解析：椭圆方程为 , 1 )( 2 2 2 2 b ry a x 焦点坐标为),(),( 22 2 22 1 rbaFrbaF 离心率. 22 a ba e （）证明：将直线CD的方程xky 1 代入椭圆方程，得 ,)( 222 1 222 barxkaxb 整理得.0)(2)( 22222 1 22 1 22 bararxakxkab根据韦达定理，得 2 1 22 2222 21 2 1 22 2 1 21 , 2 kab bara xx kab rak xx 所以 rk br xx xx 1 22 21 21

15、2 将直线 GH的方程xky 2 代入椭圆方程，同理可得 rk br xx xx 2 22 43 43 2 ， 由，得 21 212 22 21 211 2xx xxk r br xx xxk 所以结论成立 . （）证明：设点P（p,0 ） ，点 Q （ q,0 ） ，由 C 、P、H共线， 得 , 22 11 2 1 xk xk px px 解得 2211 2121 )( xkxk xxkk p， 由 D、Q 、 G共线，同理可得 - 8 - , )( 43 432 21 211 3221 3221 xx xxk xx xxk xkxk xxkk q由 变形得 4211 41 3221 32

16、 xkxk xx xkxk xx 即 4211 4121 3221 3221 )()( xkxk xxkk xkxk xxkk 所以. |,|OQOPqp即 （20）满分 14 分. （）证明：由题设条件可知，当1 , 1x时，有,1|1|)1 ()(|)(|xxfxfxf 即.1)(1xxfx （）证法一：对任意的1.|v-u|f(v)-f(u)|,1|,1 , 1,有时当vuvu 当0,u,1|v-u|v时不妨设,0u则1,u-0vv且 所以， |1|1|)1()(|) 1()(|)()(|vufvffufvfuf .1)(211uvvu综 上 可 知 ，对 任 意 的,1 , 1,vu都

17、 有 .1|)()(|vfuf 证法二：由（）可得，当0,1,f(x)1-x,x时 1,0,|( ) | |( )( 1)11 |.xf xf xfxx当时 所以，当. |1)(| , 1 , 1xxfx时因此，对任意的,1 , 1,vu 当1|vu时， .1|)()(|vuvfuf当1|vu时，有0vu 且.2|1vuvu 所以 .1)|(|2|1|1| )(|)(|)()(|vuvuvfufvfuf 综上可知，对任意的,1 , 1,vu都有 .1| )()(|vfuf （）答：满足所述条件的函数不存在. 理由如下，假设存在函数)(xf满足条件，则由 ,1 , 2 1 ,|,|)()(|vu

18、vuvfuf 得 . 2 1 |1 2 1 |) 1() 2 1 (|ff 又,0)1(f所以. 2 1 | ) 2 1 (| f 又因为)(xf为奇数，所以.0)0(f由条件 , 2 1 , 0,|,|)()(|vuvuvfuf - 9 - 得 . 2 1 |)0() 2 1 (| ) 2 1 (|fff 与矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在. （19）. 满分 14 分 . （）解析：由题设可知，,0ba记 , 22 bah设 P的坐标为 （0，y） ，则 P 至 三 镇 距 离 的 平 方 和 为 .2 3 2 ) 3 (3)()(2)( 222222 bh h yyhybyf 所

19、以，当 3 h y时，函数)(yf取得最小值 . 答:点 P的坐标是). 3 1 , 0( 22 ba （）解法一：P至三镇的最远距离为 . |,| |,|, )( 22 2222 yhybyh yhybyb xg 当 当 由 | 22 yhyb解得, 2 22 h bh y记, 2 22 * h bh y于是 .|,| , )( * *22 yyyh yyyb yg 当 当 当 ,0 2 22 h bh y n 即bh时， 22 yb 在 ), * y上 是增函数，而y,(-| * 在yh上是减函数 . 由此可知 , 当 n yy时, 函数)(yg 取得最小值 . 当 ,0 2 22 * h

20、 bh y 即bh时, 函数 22 yb 在), * y上 , 当0y时, 取得最小值b, 而y,(-| * 在yh上为减函数 , 且b.|yh可见 , 当0y时, 函数)(yg取得最小值 . 答当bh时, 点 P的坐标为); 2 2 ,0( 22 22 ba ba 当bh时, 点 P 的坐标为 (0,0),其中 , 22 bah 解 法 二 :P至 三 镇 的 最 远 距 离 为 . |,| |,|, )( 22 2222 yhybyh yhybyb yg 当 当 由 | 22 yhyb 解得 , 2 22 h bh y记, 2 22 * h bh y于是 .|,| , )( * *22 y

21、yyh yyyb yg 当 当 当g(y)z,bh,0 * 时即y的图象如图(a)，因此，当 * yy时，函数)(yg取 得最小值 . 当, * yy即g(y)z,时bh的图象如图(b)，因此，当0y 时，函数)(yg取 得最小值 . - 10 - 答：当bh时，点 P的坐标为 ); 2 2 ,0( 22 22 ba ba当 bh，点 P的坐标为（ 0， 0 ） ，其 中. 22 bah 解法三：因为在ABC中， AB=AC=,a所以 ABC的外心 M在射线 AO上，其坐标为 ) 2 2 , 0( 22 22 ba ba， 且 AM=BM=CM. 当 P在射线 MA上，记 P为 P1；当 P在

22、射线 MA的 反向延长线上，记 P为 P2， 若bbah 22 （如图 1） ，则点 M在线段 AO上， 这时 P到 A、B、 C三点的最远距离为 P1C和 P2A，且 P1CMC ， P2AMA ，所以点 P与外心 M 重合时， P 到三镇的最远距离最小. 若bbah 22 ( 如图 2), 则点 M在线段 AO外, 这时 P到 A 、B、C三点的最远距离为P1C或 P2A， 且 P1COC ， P2AOC ，所以点 P与 BC边中点 O重合时， P到三镇的最远距离最小为 b. 答：当 bbah 22 时，点 P的位置在 ABC的外心 ) 2 2 , 0( 22 22 ba ba；当 bbah 22 时，点 P的位置在原点O.