高考数学试题(含详解).pdf

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1、1 绝密 启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔 将试卷类型（ B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“ 条形码粘贴处 ” 。 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的

2、答案，学科网然后再写上新答案；不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1已知集合A= x|x1000 的最小偶数 n， 那么在和两个空白框中，可以分别 填入 AA1 000 和 n=n+1 BA1 000 和 n=n+2 CA1 000 和 n=n+1 DA1 000 和 n=n+2 3 9已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2 3 )，则下面结论正确的是 A把 C1上各点的横坐标伸长到

3、原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲线 C2 B 把 C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度， 得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲线 C2 D把C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长 度，得到曲线 C2 10已知 F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线 l1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两

4、点， 则|AB|+|DE|的最小值为 A 16 B14 C12 D10 11设 x、y、z 为正数，且235 xyz ，则 A 2x100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂 .那么该款软件的激活码是 A 440 B330 C220 D110 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量a，b 的夹角为60 ，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |= . 14设 x，y 满足约束条件 21 21 0 xy xy xy ， ， ， 则32zxy的最小值为. 15已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的右顶点为A，以 A 为圆心，b 为半径

5、作圆A，圆 A 与双曲线C 的一条渐近线交于M，N 两点 .若 MAN =60 ，则 C 的离心率为. 16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D，E，F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚 4 线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起 DBC，ECA，FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥 .当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为. 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第2

6、2、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 （12 分） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ABC 的面积为 2 3sin a A . （1）求 sin Bsin C; （2）若 6cos Bcos C=1，a=3，求 ABC 的周长 . 18.（12 分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且90BAPCDP o . 5 （1）证明：平面PAB平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC，90APD o ，求二面角A- PB- C 的余弦值 . 19（ 12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线

7、上随机抽取16 个零件，并测 量其尺寸（单位： cm）根据长期生产经验， 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正 态分布 2 (,)N （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在 (3 ,3 )之外的零件 数，求(1)P X及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (3 ,3 )之外的零件， 学+科网就认为这条生 产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 6 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01

8、9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx， 1616 222 11 11 ()(16)0.212 1616 ii ii sxxxx ，其中 i x为抽 取的第i个零件的尺寸，1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值?，用样本标准差s作为的估计值?，利用估计值判断是否需 对当天的生产过程进行检查？剔除 ? ?(3 ,3 ) 之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到 0.01） 附：若随机变量Z服从正态分布 2 (,)N，则(33 )0.997 4PZ， 16 0.

9、997 40.959 2，0.0080.09 20.（12 分） 已知椭圆C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点 P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（ 1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ） 中恰有三点在椭圆C 上. （ 1）求 C 的方程； （ 2）设直线l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点 .若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： 7 l 过定点 . 21.（12 分） 已知函数 2 ( )e(2)e xx f xaax. （ 1）讨论( )f x的单调性； （ 2）若( )f x有两个零点，求 a 的取值范围 . （二）选考题：共

10、10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 4-4 ：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos , sin , x y （为参数），直线 l 的参数方程为 4 , 1, xat t yt （ 为参数）. （1）若 a=-1 ，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到l 距离的最大值为17 ，求 a. 8 23 选修 4-5 ：不等式选讲（10 分） 已知函数 2 4( )xaxf x，11( )xxg x| |. （1）当 a=1 时，求不等式( )( )f xg x的解集； （2）若

11、不等式( )( )f xg x的解集包含 1，1，求 a 的取值范围 . 9 答案解析 绝密 启用前 1 【答案】 A 【解析】由31 x 可得 0 33 x ，则0x，即|0Bx x，所以|1 |0ABx xx xII |0x x，|1|0|1ABx xx xx xUU，故选 A. 2 【答案】 B 【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为 2 a ，正方形的面积为 2 a，圆的面积为 2 4 a .由图形的对称 性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取 自黑色部分的概率是 2 2 1 24 8 a a ，选 B. 秒杀解析：由题意可知，此点取自

12、黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其 概率p满足 11 42 p，故选 B. 3 【答案】 B 4 【答案】 C 【解析】设公差为d， 45111 342724aaadadad， 611 65 661548 2 Sadad，联立 1 1 2724 , 61548 ad ad 解得4d，故选 C. 1 0 秒杀解析：因为 16 634 6() 3()48 2 aa Saa，即 34 16aa，则 4534 ()()24168aaaa，即 53 28aad，解得4d，故选 C. 5 【答案】 D 【解析】因为( )f x为奇函数且在(,)单调递减，要使1( )1fx成立，则x

13、满足11x， 从而由121x得13x，即满足1(2)1f x成立的x的取值范围为1,3，选 D. 6 【答案】 C 【解析】 因为 666 22 11 (1)(1)1 (1)(1)xxx xx ，则 6 (1)x展开式中含 2 x的项为 222 6 1 C15xx， 6 2 1 (1)x x 展开式中含 2 x的项为 442 62 1 C15xx x ，故 2 x的系数为151530，选 C. 7 【答案】 B 【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两 个 相同的梯形，则这些梯形的面积之和为 1 2(24)212 2 ，故选 B. 8 【答案】

14、D 【解析】由题意，因为321000 nn ，且框图中在 “ 否” 时输出，所以判定框内不能输入1000A， 故填1000A，又要求n为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2nn，故选 D. 9 【答案】 D 【解析】因为 12 ,C C函数名不同，所以先将 2 C利用诱导公式转化成与 1 C相同的函数名，则 1 1 2 22 :sin(2)cos(2)cos(2) 3326 Cyxxx，则由 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍变 为cos2yx，再将曲线向左平移 12 个单位长度得到 2 C，故选 D. 10 【答案】 A 11 【答案】 D 【解析】令235(1) xyz k k，则

15、 2 logxk， 3 logyk， 5 logzk 22lglg 3lg 9 1 3lg 23lglg8 xk yk ，则23xy， 22lglg5lg 25 1 5lg 25lglg32 xk zk ，则25xz，故选 D. 12 【答案】 A 【解析】由题意得，数列如下： 1 1, 1,2, 1,2,4, 1,2,4,2 k L L L 则该数列的前 (1) 12 2 k k kL项和为 11(1) 1(12)(122)22 2 kkk k SkLL， 1 2 要使 (1) 100 2 k k ，有14k，此时 1 22 k k，所以2k是第1k组等比数列1,2,2 k L的部 分和，设

16、 1 212221 tt kL， 所以2314 t k，则5t，此时 5 2329k， 所以对应满足条件的最小整数 2930 5440 2 N，故选 A. 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 【答案】2 3 【解析】 222 |2 |44|4421 cos60412 o abaa bb，所以|2 |122 3ab. 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2ab的模长是以2 为边长，一夹角为60 的菱形的对角线的长 度，则为2 3. 14 【答案】5 【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 1 3 易求得 111 1 ( 1,1), (,),(, ) 333 3 ABC

17、， 由32zxy得 3 22 z yx在y轴上的截距越大，z就越小， 所以，当直线32zxy过点A时，z取得最小值， 所以z的最小值为3( 1)2 15. 15 【答案】 2 3 3 【解析】 如图所示，作APMN，因为圆 A 与双曲线C 的一条渐近线交于M、 N 两点，则MN为双曲线的 渐近线 b yx a 上的点，且( ,0)A a，| |AMANb， 而APMN，所以30PAN o ， 点( ,0)A a到直线 b yx a 的距离 2 2 | | | 1 b AP b a ， 在RtPAN中， | cos | PA PAN NA ，代入计算得 22 3ab，即3ab， 由 222 ca

18、b得2cb， 所以 22 3 3 3 cb e a b . 16 【答案】4 15 1 4 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 （12 分） 【解析】（1）由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ，即 1 sin 23sin a cB A . 由正弦定理得 1sin sinsin 23sin A CB A . 1 5 故 2 sinsin 3 BC. 18.（12 分） 【解析】（1）由已知90BAPCDP，得 ABAP，C

19、DPD. 由于 AB/CD ，故 ABPD ，从而 AB平面 PAD. 又 AB平面 P AB，所以平面PAB平面 PAD. （2）在平面 PAD内作PFAD， 垂足为 F， 由（ 1）可知， AB 平面PAD，故AB PF， 可得PF平面ABCD. 以F为坐标原点，FA u u u r 的方向为x轴正方向，|AB uuu r 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Fxyz. 由（ 1）及已知可得 2 (,0,0) 2 A， 2 (0,0,) 2 P， 2 (,1,0) 2 B， 2 (,1,0) 2 C. 所以 22 (,1,) 22 PC uuu r ，( 2,0,0)CB uuu r

20、， 22 (,0,) 22 PA uu u r ，(0,1,0)AB uuu r . 设( , , )x y zn是平面PCB的法向量，则 1 6 0, 0, PC CB u uu r u uu r n n 即 22 0, 22 20, xyz x 可取(0,1,2)n. 设( , , )x y zm是平面PAB的法向量，则 0, 0, PA AB u uu r u uu r m m 即 22 0, 22 0. xz y 可取(1,0,1)m. 则 3 cos, |3 n m n m nm ， 所以二面角APBC的余弦值为 3 3 . 19（ 12 分） （ii ）由9.97,0.212xs，

21、得的估计值为?9.97，的估计值为?0.212，由样本数据可 以看出有一个零件的尺寸在? ?(3 ,3 )之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除? ?(3 ,3 )之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 1 (16 9.979.22)10.02 15 ，因此的 估计值为10.02. 16 222 1 160.212169.971591.134 i i x ，剔除? ?(3 ,3 )之外的数据9.22，剩下数据的样 1 7 本方差为 22 1 (1591.1349.2215 10.02 )0.008 15 ， 因此的估计值为0.0080.09. 20.（12 分） 【解析】（1）由于 3

22、P ， 4 P 两点关于y 轴对称，故由题设知 C 经过 3 P ， 4 P 两点 . 又由 2222 1113 4abab 知，C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上. 因此 2 22 1 1, 13 1, 4 b ab 解得 2 2 4, 1. a b 故 C 的方程为 2 2 1 4 x y. （2）设直线P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2， 如果 l 与 x 轴垂直，设 l： x=t，由题设知0t，且 | |2t，可得 A，B 的坐标分别为 （t， 2 4 2 t ） ， （t， 2 4 2 t ）. 则 22 12 4242 1 22 tt kk tt ，得2t，不

23、符合题设 . 从而可设l： ykxm （1m）.将 ykxm 代入 2 2 1 4 x y得 222 (41)8440kxkmxm . 由题设可知 22 =16(41)0km. 设 A（x1， y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2= 2 8 41 km k ，x1x2= 2 2 44 41 m k . 而 12 12 12 11yy kk xx 12 12 11kxmkxm xx 1212 1 2 2(1)()kx xmxx x x . 由题设 12 1kk，故 1212 (21)(1)()0kx xmxx. 即 2 22 448 (21)(1)0 4141 mkm km kk . 1

24、 8 解得 1 2 m k. 当且仅当1m时， 0 ， 于是 l： 1 2 m yx m ， 即 1 1(2) 2 m yx， 所以 l 过定点（ 2，1）. 22 【解析】（1）曲线 C 的普通方程为 2 2 1 9 x y . 当1a时，直线l的普通方程为430xy. 由 2 2 430, 1 9 xy x y 解得 3, 0 x y 或 21 , 25 24 . 25 x y 从而C与l的交点坐标为(3,0)， 21 24 (,) 25 25 . 23 选修 4-5 ：不等式选讲（10 分） 【解析】（1）当1a时，不等式( )( )f xg x等价于 2 |1|1|40xxxx. 当1

25、x时，式化为 2 340xx，无解； 当11x时，式化为 2 20xx，从而11x； 当1x时，式化为 2 40xx，从而 117 1 2 x. 所以( )( )f xg x的解集为 117 |1 2 xx. 1 9 （2）当 1,1x时，( )2g x. 所以( )( )f xg x的解集包含 1,1，等价于当 1,1x时( )2f x. 又( )f x在 1,1的最小值必为( 1)f与(1)f之一，所以( 1)2f且(1)2f，得11a. 所以a的取值范围为 1,1. 21.（12 分） 【解析】（1） ( )f x的定义域为(,)， 2 ( )2 e(2)e1( e1)(2e1) xxxx fxaaa， （）若0a，则( )0fx，所以( )f x在(,)单调递减 . （）若0a，则由( )0fx得lnxa. 当(,ln)xa时，( )0fx；当(ln,)xa时，( )0fx，所以( )f x在(,ln)a单 调递减，在(ln,)a单调递增 . 综上，a的取值范围为(0,1). （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。