高考数学选择题之压轴题.pdf

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1、1 高考数学压轴选择题 _班_号姓名 _ 一、2019年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、 （2019 广东 8）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“* ” （即 对任意的abS，对于有序元素对（ab，） ，在S中有唯一确定的元素*a b与之对 应） 若对任意的 abS， ，有() * ab ab，则对任意的abS，下列等式中 不恒成立的是（） A() * a baaB()() * ab aaba C() * bbbbD() () * a bba bb 2、 （ 2019 广东 8）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点， AE的延长线与CD

2、交于点F若AC uuu r a，BD uuu r b，则AF uuu r （） A 11 42 abB 21 33 abC 11 24 abD 12 33 ab 3、 （ 2019 广东 8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线 假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为vv 乙甲和 （如图 2 所示） 那么对于图中给定的 01 tt和，下列判断中一定正确的是（） A在 1 t时刻，甲车在乙车前面B 1 t时刻后，甲车在乙车后面 C在 0 t时刻，两车的位置相同D 0 t时刻后，乙车在甲车前面 4、 （ 2019 广东 8）为了迎接2019 年广州亚运会，某大楼安装5 个彩灯，它们闪

3、亮的顺 序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这 5 个彩灯闪亮的 颜色各不相同，记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且 只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5 秒。如果要实现所有不同的闪烁， 那么需要的时间至少是（） A1205 秒B1200 秒C1195 秒D1190 秒 5、 （ 2019 广东） 8.,., ,., , ,. :( ) A. T,V B.T,V C. T,V SZa bSabSST VZ TVZa b cTabcTx y zVxyzVU 设 是整数集的非空子集如果有则称 关于数的乘法是封闭的若是 的两个不相交

4、的非空子集且有有 则下列结论恒成立的是 中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭 中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭 6、 （2019 广东 8）对任意两个非零的平面向量和，定义 g o g ；若平面向量 2 ,a b r r 满足0ab rr ，a r 与b r 的夹角(0,) 4 ，且,a b b a rr rr oo都在集合 2 n nZ 中，则a b rr o( ) ()A 1 2 ()B1()C()D 7、 （ 2019 广东 8） 设整数4n, 集合1,2,3, ,XnL. 令集合 , ,| , ,Sx y zx y zXxyz yzx z

5、xy且三条件恰有一个成立, 若 , ,x y z和,z w x都在S中, 则下列选项正确的是( ) A . , ,y z wS, ,x y wS B., ,y z wS, ,x y wS C., ,y z wS, ,x y wS D., ,y z wS, ,x y wS 三、高考数学压轴选择题的基本类型及策略 1、即时定义的新概念题 策略：紧跟定义，恰当方法，合情推理，得出结论 . 例 1（ 2019 年福建理10）设 S，T，是 R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到 T 的函数( )yf x满足：( )( ) |;()i Tf xxSii对任意 12 ,x xS当 12 xx时，恒 有

6、12 ()()f xf x，那么称这两个集合“ 保序同构 ” 以下集合对不是“ 保序同构 ” 的是 （） A * ,ANBN B| 13,|8010AxxBx xx或 C|01 ,AxxBRD,AZ BQ 例 2 （2019 年浙江理10） 在空间中，过点A作平面的垂线，垂足为B， 记)(AfB 。 设,是两个不同的平面，对空间任意一点P，)(),( 21 PffQPffQ, 恒有 21 PQPQ，则 A平面与平面垂直B. 平面与平面所成的（锐）二面角为 0 45 C. 平面与平面平行D.平面与平面所成 的（锐）二面角为 0 60 例 3（2019 陕西理 10.）设 x表示不大于x 的最大整

7、数 , 则对任意实数x, y, 有 (A) x x (B) 2 x 2x (C) xy xy (D) xy xy 2、创新性题 策略：利用转化与划归思想. 3 例 4（2019 上海理 18）在边长为1 的正六边形ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点 为终点的向量分别为 12345 ,a a a a a ur u u r uu r u u r u u r ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 12345 ,d dddd u u r uu r uu r uu r u u r .若,m M分别为() () ijkrst aaaddd u ru u ruu ru u ruu ru u

8、 r 的最小值、 最大值，其 中 , , 1,2,3,4,5i j k, , , 1,2,3,4,5r s t,则,m M满足（）. (A) 0,0mM(B) 0,0mM(C) 0,0mM(D) 0,0mM 例 5 （2019 江西 10）如图，半径为 1 的半圆 O 与等边三角形ABC 夹在两平行线， 12 ,ll 之间l/ 1 l,l与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC两边相交于，两点，设弧 ? FG 的长为(0)xx，yEBBCCD，若l从 1 l平行移动到 2 l，则函数( )yf x 的图像大致是 3、知识交汇题 策略：利用“交集”的思想.方法 例 6 （2019 年上海春季理2

9、4）已知A B、为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB 的垂线，垂足为N.若 2 MNAN NB uuuu ru uu r u uu r ，其中为常数，则动点M的轨迹不可 能是（） （A）圆（B） 椭圆（C） 抛物线（D）双曲线 4、知识综合题 策略：综合利用相关知识，理顺思路，步步为营 . 例 7（ 2019 年天津理8）已知函数( )(1|)f xxa x. 设关于 x 的不等式()( )f xaf x的 解集为 A, 若 1 1 , 2 2 A, 则实数 a 的取值范围是( ) (A) 15 ,0 2 (B) 13 ,0 2 (C) 15 ,0 2 13 0, 2 (D) 5 2 ,

10、 1 4 P B A M F y x 0 例 8 （2019 年全国 1 理 12.设 nnn A B C的三边长分别为, nnn a bc， nnn A B C的面积为 n S， 1,2,3,nL，若 11111 ,2bc bca， 111 , 22 nnnn nnnn caba aabc ，则( ) A. Sn为递减数列B. Sn为递增数列 C. S2n1为递增数列，S2n为递减数列 D. S2n1 为递减数列， S2n 为递增数列 例 9（2019 年湖南理8）在等腰直角三角形ABC中，=4AB AC，点P是边AB上异于 ,A B的一点，光线从点P出发，经,BC CA发射后又回到 原点P

11、（如图1）.若光线QR经过 ABC的重心， 则AP等 于 ( ) A2B1C 8 3 D 4 3 例 10（2019 年安徽理10）若函数 32 ( )=+ax +b +f xxx c有极值点 1 x， 2 x，且 11 ()=f xx， 则关于x的方程 2 3( ( ) +2a ( )+ =0f xf xb的不同实根个数是（） （A）3 （B）4 （C） 5 （ D）6 1. 已知 ABP的三个顶点在抛物线C： 2 4xy上，F为抛物线C的焦点，点M为AB 的中点，3PFFM uuu ruuu u r ； （1）若|3PF，求点M的坐标； （2）求 ABP面积的最大值 . 2. 已知函数(

12、) x f xxae=-()aR?，xR?. 已知函数( )yfx=有两个零点 12 ,x x， 且 12 xx. （）求a的取值范围；学科网 （）证明 2 1 x x 随着a的减小而增大； （）证明 12 xx+随着a的减小而增大 . 5 3. （本题满分18 分）本题共3 个小题，第 1 小题满分3 分，第 2小题满分6 分，第 3 小题满分9 分. 已知数列 n a满足 11 1 3,*,1 3 nnn aaanNa. （1）若 234 2,9aax a，求x的取值范围； （2）若 n a是公比为q等比数列， 12nn SaaaL， zxxk 1 1 3,*, 3 nnn SSS nN求

13、q的取值范围； （3）若 12 , k a aaL成等差数列，且 12 1000 k aaaL，学科网求正整数k的 最大值，以及k取最大值时相应数列 12 , k a aaL的公差 . 4. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，直线 yx被椭圆C截得的线段长为 4 10 5 . （）求椭圆C的方程； （II ）过原点的直线与椭圆C 交于 A，B 两点（ A，B 不是椭圆C 的顶点） . 点 D 在椭 圆 C 上，且AD AB， 直线 BD 与x轴、y轴分别交于M，N 两点 . （i） 设直线 BD，AM 的斜率分别为 12 ,k k

14、，证明存在常数使得 12 kk，并 求出的值； （ii ）求OMN面积的最大值. 5. （本小题满分10 分）选修4-5；不等式选讲 若,0, 0 ba且ab ba 11 （I）求 33 ba的最小值； （II ）是否存在ba,，使得632ba？并说明理由 . 6. 设函数( )2 |1|1f xxx， 2 ( )1681g xxx，记 ( )1f x的解集为M， ( )4g x的解集为N. 6 （）求M； （）当xMNI时，证明： 221 ( )( ) 4 x f xx f x. 7. 将连续正整数1,2, (*)n nNL从小到大排列构成一个数学科网123nL，( )F n为 这个数的位数

15、（如12n时，此数为123456789101112，共有 15 个数字， (12)15f） ，现从这个数中随机取一个数字，( )p n为恰好取到0 的概率 . （1）求(100)p； （2）当2014n时，求( )F n的表达式； （3）令( )g n为这个数字0 的个数，( )f n为这个数中数字9 的个数， ( )( )( )h nf ng n，| ( )1,100,*Sn h nnnN，求当n S时 ( )p n的 最大值 . 8. 选修 4-5：不等式选讲 设函数 1 ( )|(0)f xxxaa a （ 1）证明：( )2fx； （ 2）若(3)5f，求a的取值范围 . 9. 已知常

16、数 2 0,( )ln(1). 2 x af xax x 函数 （1）讨论( )f x在区间(0,)上的单调性； （2）若( )f x存在学科网两个极值点 12 ,x x且 12 ()()0,f xf x求a的 zxxk 取值范 围 10. 函数 f(x)=ax3+3x2+3x(a0). （1）讨论函数f(x)的单调性； （2）若函数f(x)在区间（ 1，2）是增函数，求 a的取值范围 . 一、圆锥曲线中的定值问题 7 椭圆C： x2 a2 y2 b2 1（ a b 0）的 离 心率 e 3 2 ，a b 3 （ ） 求 椭 圆 C 的 方 程 ； （ ） 如 图，A，B，D 是椭 圆 C 的

17、 顶 点，P 是 椭 圆 C 上除顶点外的任意点，直 线 DP 交 x 轴 于 点 N 直 线 AD 交 BP 于 点 M，设 BP 的斜率 为 k，MN 的 斜 率 为 m，证 明 2m k 为定 值 如图 ，椭 圆 C ： x2 a2 y2 b2 1（a b 0）经 过点 P（ 1， 3 2） ， 离心 率 e 1 2， 直线l 的 方程 为 x 4 （ ） 求 椭 圆 C 的 方 程 ； （ ） AB 是 经 过 右 焦 点 F 的任 一弦（不经过点 P） ，设直 线 AB 与直 线 l 相交 于点 M，记 PA，PB，PM 的 斜 率 分 别 为 k1，k2，k3问：是否存在常数 ，使

18、 得 k1 k2 k3？ 若存 在 ，求 的 值；若不存在，说明理由 椭 圆 C： x2 a2 y2 b 2 1（ ab0）的 左 右 焦 点 分 别 是 F1， F2，离 心 率 为 3 2 ，过 F1且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 被 椭 圆 C 截 得 的 线 段 长 为 1 （ ） 求 椭 圆 C 的 方 程 ； （ ） 点 P 是 椭 圆 C 上 除 长 轴 端 点 外 的 任 一 点 ，连 接 PF1，PF2，设 F1PF2的 角 平 分 线 PM 交 C 的 长 轴 于 点 M（ m，0） ，求 m 的 取 值 范 围 ； （ ）在（ 2）的 条 件 下 ，过 点 P 作 斜

19、 率 为 k 的 直 线 l，使 得 l 与 椭 圆 C 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ，设 直 线 PF1，PF2的 斜 率 分 别 为 k1，k2，若 k 0，试 证 明 1 kk1 1 kk2为 定 值 ， 并 求 出 这 个 定 值 如图，已知双曲线C： x2 a2 y 2 1（ a 0）的 右 焦点为 F，点 A，B 分别 在 C 的 两 条 渐近 线 AF x 轴，AB OB，BFOA（ O 为坐标原点） （ ） 求 双曲线C 的 方 程 ； （ ） 过 C 上 一点P（ x0，y0） （ y0 0）的直线l ： x0x a2 y0y 1 与 直 线 AF 相 交于点M，与

20、直 线 x 3 2相 交于点 N证明：当点 P 在 C 上移动时 ， |MF| |NF|恒为 定 值 ， 并求此 定值 二、圆锥曲线中的最值问题 8 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C： x2 a2 y2 b2 1（ab0）的离心率为 3 2 ，直线 y x 被 椭圆 C 截得的线段长为 410 5 （）求椭圆C 的方程； （）过原点的直线与椭圆C 交于 A，B 两点（ A，B 不是椭圆C 的顶点） 点 D 在椭圆C 上，且 AD AB，直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于M，N 两点 （i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1 k2，并求出的 值； （ii

21、）求 OMN 面积的最大值 已知抛物线C： y22px（p0）的焦点为F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的 直线 l 交 C 于另一点B，交 x 轴的正半轴于点D ，且有 |FA| |FD |当点A的横坐标为3 时， ADF 为正三角形 （）求C 的方程； （）若直线l1l，且 l1和 C 有且只有一个公共点E， （）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标； （）ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 如 图 ，O 为 坐 标 原 点 ，椭 圆 C1： x2 a2 y2 b2 1（a b0）的 左 、右 焦 点 分 别 为 F 1， F2，离 心

22、率 为 e1； 双 曲 线 C2： x2 a2 y2 b2 1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 3，F4，离 心 率 为 e2，已 知 e1e2 3 2 ，且 |F2F4|3 1 （ ） 求 C1、 C2的 方 程 ； （ ）过F1作 C1的 不 垂 直 于 y 轴 的 弦 AB ，M 为 AB 的 中 点 ，当 直 线 OM 与 C2交 于 P，Q 两 点 时 ，求 四 边 形 AP BQ 面 积 的 最 小 值 如 图 ，点 P（ 0， 1） 是 椭 圆 C1： x2 a2 y2 b2 1（ a b 0）的 一 个 顶 点 ， C1的 长 轴 是 圆 C2： x2 y2 4 的 直

23、 径 ，l1，l2是 过 点 P 且 互 相 垂 直 的 两 条 直 线 ，其 中 l1交 圆 C2于 A、 B 两 点 ，l2交 椭 圆 C1于 另 一 点 D （ ） 求 椭 圆 C1的 方 程 ； （ ） 求 ABD 面 积 的 最 大 值 时 直 线 l1的 方 程 x O y B l1 l2 P D A 9 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ，F 是 抛 物 线 C： x2 2py（ p 0） 的 焦 点 ，M 是 抛 物 线 C 上 位 于 第 一 象 限 内 的 任 意 一 点 ，过 M ，F，O 三 点 的 圆 的 圆 心 为 Q，点 Q 到 抛 物 线 C 的 准

24、线 的 距 离 为 3 4 （ ） 求 抛 物 线 C 的 方 程 ； （ ） 是 否 存 在 点 M ，使 得 直 线 MQ 与 抛 物 线 C 相 切 于 点 M？ 若 存 在 ，求 出 点 M 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ，说 明 理 由 ； （ ）若 点 M 的 横 坐 标 为2，直 线 l：y kx 1 4与 抛 物 线 C 有 两 个 不 同 的 交 点 A， B，l 与 圆 Q 有 两 个 不 同 的 交 点 D ，E，求 当 1 2 k 2 时 ， |AB |2 |DE |2的 最 小 值 三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题 设椭 圆 E： x 2 a2 y2 1a2 1

25、的 焦 点 在 x 轴 上 （）若椭 圆 E 的焦 距为1，求 椭 圆 E 的方 程 ； （）设F1，F2分 别 是 椭 圆 E 的左 、右焦点，P 为椭 圆 E 上第 一象限内的点，直 线 F2P 交 y 轴于 点 Q，并 且 F1PF1Q，证明： 当 a 变化时 ，点 P 在 某 定直 线 上 四、圆锥曲线与求参数 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ，已 知 椭 圆 C 的 中 心 在 原 点 O，焦 点 在 x 轴 上 ，短 轴 长 为 2，离 心 率 为 2 2 （）求椭 圆 C 的 方 程 ； （） A，B 为 椭 圆 C 上 满 足 AOB的 面 积 为 6 4 的 任

26、意 两 点 ，E 为 线 段 AB 的 中 点 ， 射 线 OE 交 椭 圆 C 与 点 P，设 OP tOE ，求 实 数 t 的 值 已知三点 O（ 0，0） ，A（ 2，1） ，B（ 2，1） ，曲 线 C 上 任意一 点 M（ x， y） 满足 |MA MB | OM (OA +OB ) 2 （ ） 求 曲线 C 的 方 程 ； （ ） 动 点 Q（ x0，y0） （ 2 x0 2） 在 曲线 C 上 ，曲 线 C 在 点 Q 处 的 切线 为 l 向 ： 是 否存 在定点P（ 0，t） （ t 0） ，使 得 l 与 PA，PB 都不 相交 ，交 点 分别 为 D ，E，且 QAB

27、与 PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的值 若不存在，说明 理 由 五、存在性问题 如图，已知椭圆 x2 a2 y2 b2 1（ a b 0）过 点 (1， 2 2 )，离心率为 2 2 ，左、右焦点分 别为 F1、 F2 点 P 为直线l：x y 2 上且不在x 轴上的任意一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的 交点分别为A、 B 和 C、 D，O 为坐标原点 （ ） 求椭圆的标准方程； （ ） 设直线PF1、 PF2的斜线分别为k1、 k2 证明： 1 k1 3 k2 2； 问直线l 上是否存在点P，使得直线OA、OB 、OC、OD 的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足 kOA

28、kOB kOC kOD 0？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由 10 如图，椭圆 C1： x2 a2 y2 b2 1（ab 0）的离心率为 3 2 ，x 轴被曲线C2： y x2 b 截得 的线段长等于C1的长半轴长 （）求C1，C2的方程； （） 设 C2与 y 轴的交点为M，过坐标原点O 的直线l 与 C2相交于点A、B，直线 MA，MB 分别与C1相交于D，E （i ）证明：MD ME； （ii ）记 MAB ，MDE 的面积分别是S1，S2问：是否存在直线l，使得 S1 S2 17 32 ？请说 明理由 六、轨迹方程 已 知 椭 圆 C： x2 a2 y2 b2

29、 1（ a b 0）的 两 个 焦 点 分 别 为 F 1（ 1，0） ，F2（ 1，0） ， 且 椭 圆 C 经 过 点 P（ 4 3， 1 3） （ ） 求 椭 圆 C 的 离 心 率 ； （ ）设 过 点 A（ 0，2）的 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 M，N 两 点 ，点 Q 是 线 段 MN 上 的 点 ，且 2 |AQ|2 1 |AM|2 1 |AN| 2， 求 点 Q 的 轨 迹 方 程 如 图 ，抛 物 线 C1： x2 4y，C2： x2 2py（ p 0） ，点 M（ x0，y0） 在 抛 物 线 C2上 ，过 M 作 C1的 切 线 ，切 点 为 A，B（ M 为 原 点 O 时 ，A，B 重 合 于 O） ，当 x0 12时 ，切 线 MA 的 斜 率 为 1 2 （ ） 求 p 的 值 ； （ ） 当 M 在 C2上 运 动 时 ，求 线 段 AB 中 点 N 的 轨 迹 方 程 （ A，B 重 合 于 O 时 ， 中 点 为 O） A B D E M Ox y B O M A x y 11