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1、高中数学知识点回顾 第一章 -集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为AA； 空集是任何集合的子集，记为A； 空集是任何非空集合的真子集； n 个元素的子集有2n个. n 个元素的真子集有2 n 1 个. n 个元素的非空真子集有2n 2 个. 注一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真 .否命题逆命题 . 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真 . 原命题逆否命题 . 2、集合运算：交、并、补. |, | , ABxxAxB ABxxAxB AxUxA I U U 交：且 并：或 补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式
2、： p 或 q(记作“ pq” )；p 且 q(记作“ p q” )；非 p(记 作“q” ) 。 1、“或”、“且”、“非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若 P 则 q；逆命题：若 q 则 p； 否命题：若P 则 q；逆否命题：若q 则 p。 、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 、原命题为真，它的否命题不一定为真。 、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 1 6、如果已知 pq 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 若 pq 且 qp,则称 p 是 q 的充要条件，记为 p? q. 第二章 -函数 一、函数的性质 （1）定义域：（2）值域： （3
3、）奇偶性：（在整个定义域内考虑） 定义：偶函数： )()(xfxf ， 奇函数： )()(xfxf 判断方法步骤： a.求出定义域； b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )( xf ； d.比较 )()(xfxf与 或)()(xfxf与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 若当 x1f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数 . 二、指数函数与对数函数 指数函数)10(aaay x 且 的图象和性质 a1 00时 ，y1;x0 时，01. （5）在 R 上是增函数（5）在 R 上是减函数 对数函数 y=log
4、ax（a0 且 a1）的图象和性质 : 对数、指数运算： log ()loglog logloglog loglog aaa aaa n aa MNMN M MN N MnM () () rsrs rsrs rrr aaa aa abab x ay （ 1,0 aa ）与 xy a log （ 1, 0 aa ）互为反函数 . 3 图 象 y=log ax O y x a1 a0 )1 ,0(x 时0y ), 1(x 时0y （5）在（ 0，+ ）上是增函数在（0，+ ）上是减函数 第三章数列 1. 等差、等比数列： （2）数列 n a 的前 n 项和n S 与通项 n a 的关系： )2(
5、) 1( 1 11 nss nas a nn n 等差数列等比数列 定义daa nn 1 )0( 1 qq a a n n 递 推公 式 daa nn1 ； mdaa nmn qaa nn1 ； mn mn qaa 通 项公 式 dnaan) 1( 1 1 1 n n qaa （ 0, 1 qa ） 中 项公 式 2 ba A abG 2 前 n 项 和 )( 2 1nn aa n S d nn naSn 2 ) 1( 1 )2( 11 1 ) 1( 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 重 要性 质 qpmn 则 qpmn aaaa ),( * qpnmNqpnmaaa
6、a qpnm 第四章-三角函数 一.三角函数 1、角度与弧度的互换关系：360 =2；180 =；4 1rad 180 57.30 =57 18； 1 180 0.01745 （rad ） 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 . 2、弧长公式： rl| . 扇形面积公式： 2 11 | | 22 slrr 扇形 3、三角函数： r y sin ； r x cos ； x y tan ； 4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切余弦、正割 - - - - -+ + + + + - + 正弦、余割 oo o x y x y x y 5、同角三角
7、函数的基本关系式： tan cos sin 1cossin 22 6、诱导公式： xxk xxk xxk xxk cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( xx xx xx xx cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( 7、两角和与差
8、公式 )sin(sincoscossin )cos(sinsincoscos5 tantan1 tantan )tan( tantan1 tantan )tan( 8、二倍角公式是： sin2=cossin2 cos2= 22 sincos =1cos2 2 = 2 sin21 tan2=2 tan1 tan2 。 辅助角公式 asin +bcos = 22 ba sin( +)，这里辅助角所在象限由 a、 b 的符号确定，角的值由 tan= a b 确定。 9、特殊角的三角函数值： 0 64322 3 sin0 2 1 2 2 2 3 1 0 1 cos1 2 3 2 2 2 1 0 1 0
9、 tan0 3 3 1 3 不存在0 不存在 cot不存在 3 1 3 3 0 不存在0 10、正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin （R 为外接圆半径） 余弦定理c2 = a 2+b22bccosC ， b 2 = a2+c22accosB ， a2 = b 2+c22bccosA 面积公式： AbcBacCabchbhahS cba sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 1 2 1 2 1 6 11. )sin( xy 或 )cos( xy （0）的周期 2 T . 12. )sin( xy 的对称轴方程是 2 kx （Zk），对称中心（ 0 ,k ）
10、； )cos( xy 的对称轴方程是kx（Zk），对称中心（ 0 , 2 1 k ）； )tan( xy 的对称中心（ 0, 2 k ）. 第五章 -平面向量 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的长度：即向量的大小，记作a. 22 axy r ,axy r (3)特殊的向量：零向量aOaO. 单位向量a为单位向量a1. (4)相等的向量： 大小相等，方向相同(1，1)（2，2） 21 21 yy xx (5) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0 (6)平行向量 (共线向量 )：方向相同或相反的向量，称为平行向量 .记作ab.平行向量 也称为共线向量 . 7 （7）.向量的运算 运
11、 算 几何方法坐标方法运算性质 类 型 向 量 的 加 法 1.平行四边 形法则 2.三角形法则 1212 (,)abxxyy rr abba rrrr ()()abcabc rrrrrr ACBCAB 向 量 的 减 法 三角形法则 1212 (,)abxxyy rr ()abab rrrr ABBA uuu ruu u r , ABOAOB 数 乘 向 量 1.a r 是一个向 量,满 足: | |aa rr 2.0 时, aa rr 与 同 向;0 时, aa rr 与 异向; =0时, 0a rr . (,)axy r ()()aa rr ()aaa rrr ()abab rrrr /
12、abab rrrr 向 量 的 数 量 积 a b? rr 是一个数 1. 00ab rrrr 或 时， 0ab? rr 00 |cos( , ) ab a baba b rrrr r rrr g 且时， 1212 a bx xy y? rr cos0,0,0180a ba bab oo rrrrr rrr 8 a bb a? rrrr ()()()ababa b? rrrrrr ()abcacbc? rrrrrrr 2 222 | |=aaaxy rru r 即 | |abab? rrrr (8)两个向量平行的充要条件 ab (b0) 0 1221 yxyx ba 或 (9)两个向量垂直的充
13、要条件 abab=0 x1 x2+y1 y2=0 (10)两向量的夹角公式： cos = | ba ba = 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx ? 0 180 , 附：三角形的四个“心”； 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 (11) ABC 的判定： 222 bac ABC 为直角 A + B = 2 2 c 22 ba ABC 为钝角 A + B 2 2 c 22 ba ABC 为锐角 A + B 2 (11)平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. 9 第六章
14、 -不等式 1.几个重要不等式 （1）0, 0, 2 aaRa 当且仅当 ”取“, 0a ，(ab) 20(a、bR) （2） abbaRba2, 22 则 （3）Rba,，则 abba2 ； （4） 2 22 ) 2 ( 2 baba ； 若 a、bR+，则 ),() 2 ( 222 Rba ba ba ),( 22 2 22 Rba baba ab ba ab ； 2、解不等式 （1）一元一次不等式 )0(abax a b xxa,0 a b xxa,0 （2）一元二次不等式)0( ,0 2 acbxax 第七章-直线和圆的方程 一、解析几何中的基本公式 1.两点间距离：若)y,x(B),
15、y,x(A 2211 ，则 2 12 2 12 )()(yyxxAB 2.平行线间距离：若0CByAx:l,0CByAx:l 2211 则： 22 21 BA CC d 注意： x，y 对应项系数应相等。 3.点到直线的距离： 0CByAx: l),y,x(P 则 P 到 l 的距离为： 22 BA CByAx d 4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 0)y,x(F bkxy 消 y：0 2 cbxax ，务必 注意.0 若 l 与曲线交于 A),(),( 2211 yxByx 则：10 2 12 2 )(1(xxkAB 2 2 1212 14kxxx x 5.若 A),(),( 2211 y
16、xByx ，P（x，y）,P 为 AB 中点，则 2 2 21 21 yy y xx x 6.直线的倾斜角（ 0 180 ）、斜率 :tank 7.过两点 12 12 222111 ),(),( xx yy kyxPyxP的直线的斜率公式： . 12 ()xx 8.直线 l1与直线 l2的的平行与垂直 （1）若 l1，l2均存在斜率且不重合： l1/l2k1=k2 l1l2k1k2=1 （2）若 0:,0: 22221111 CyBxAlCyBxAl 若 A1、A2、B1、B2都不为零 l1/l2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ；l1l2A1A2+B1B2=0 ； 9.直线方
17、程的五种形式 名称方程 斜截式：y=kx+b 点斜式： )(xxkyy 两点式： 12 1 12 1 xx xx yy yy （x1 x2 ） 截距式： 1 b y a x 一般式：0CByAx（其中 A、B 不同时为零） 10.圆的方程 （1）标准方程： 222 )()(rbyax ，半径圆心， rba),(。 （2）一般方程： 0 22 FEyDxyx ，（)04 22 FED ,) 2 , 2 (圆心 ED 半径 2 4 22 FED r 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是： 222 ryx . 注：圆的参数方程： sin cos rby rax （为参数） . 11 特别地，以
18、(0，0)为圆心，以 r 为半径的圆的参数方程为 为参数）( sin cos 222 ry rx ryx （3）点和圆的位置关系：给定点 ),( 00 yxM 及圆 222 )()(:rbyaxC . M在圆C内 22 0 2 0 )()(rbyax M在圆C上 22 0 2 0 )()rbyax（ M在圆C外 22 0 2 0 )()(rbyax （4）直线和圆的位置关系： 设圆圆C： )0()()( 222 rrbyax ； 直线l： )0(0 22 BACByAx ； 圆心 ),(baC 到直线l的距离 22 BA CBbAa d . rd时，l与C相切； rd时，l与C相交； rd时，
19、l与C相离. 第八章-圆锥曲线方程 一、椭圆 1.定义：若 F1，F2是两定点，P 为动点，且 2121 2FFaPFPF（ a为 常数）则 P 点的轨迹是椭圆。 2.标准方程： 1 2 2 2 2 b y a x )0(ba )0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 长轴长 =a2，短轴长 =2b 焦距： 2c 准线方程： c a x 2 ，12 离心率： ) 10(e a c e 焦点： )0,)(0,(cc 或 ),0)(, 0(cc . 二、双曲线 1、定义：若 F1，F2是两定点， 2121 2FFaPFPF （ a为常数），则动 点 P 的轨迹是双曲线。 2.性质 （1）方
20、程： 1 2 2 2 2 b y a x )0,0(ba1 2 2 2 2 b x a y )0,0(ba 实轴长 =a2，虚轴长 =2b 焦距： 2c 准线方程： c a x 2 离心率 a c e . 准线距 c a 2 2 （两准线的距离）；通径 a b 2 2 . 参数关系 a c ebac, 222 . （2）若双曲线方程为 1 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程： x a b y 等轴双曲线：双曲线 222 ayx 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy ， 离心率2e. 三、抛物线 1.定义：到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：到定点 F 的距离与
21、到定直线l 的距离之比是常数e（e=1 ）。 2.图形： 3.性质：方程： 焦参数pppxy),0( ,2 2 （焦点到准线的距离）； 焦点： )0, 2 ( p ，通径pAB2； 准线： 2 p x ；离心率1e 13 第九章-立体几何 一、判定两线平行的方法 1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线就和交线平行 4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 二判定线面平行的方法 a)据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 b)如果平面外的一条直线和这
22、个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面 平行 c)两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 d)平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 e)平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 由定义知：“两平行平面没有公共点”。 由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行”。 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 经过平面外一点只有一个平面和
23、已知平面平行。 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 14 六、判定两线垂直的
24、方法 1、 定义：成90角 2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、 定义：两面成直二面角 ,则两面垂直 2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、 二面角的平面角为90 2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：90090,0 2、直线与平面所成的角的取值范围是：90090,0 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：900 9
25、0,0 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：1800180,0 十、面积和体积 1. chs 直棱柱侧 为直截面周长 斜棱柱侧 clcs rhcls2 圆柱侧 2、 2 1 chs正棱锥侧rlcls 2 1 圆锥侧 3、球的表面积公式： 2 4 RS .球的体积公式： 3 3 4 RV球 . 4、圆柱体积：shhrV 2 圆柱 （r为半径，h为高） 圆锥体积： shhrV 3 1 3 1 2 圆锥（r 为半径，h为高） 锥体体积： shV 3 1 棱锥 （S为底面积，h为高） 5、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方15 第十章 -概率与统计 1.必然事件 P(A)=1 ，不
26、可能事件 P(A)=0 ，随机事件的定义0P(A)1 。 两条基本性质 , 2, 1(0 ipi )； P1+P2+=1 。 2.等可能事件的概率：（古典概率）P(A)= n m 理解这里 m、的意义。 3.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一 般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布 直方图； （1）平均数设数据n xxxx，, 321，则 )( 1 21n xxx n x （2）方差：衡量数据波动大小 22 1 21 xxxx n S n （ xxi 较小） 2 S-标准差 4.了解三种抽样的意义 （1）简单随机抽样：设一个总体的
27、个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一 个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。 实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。 （2）系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按 照预先定出的规则，从每一部分抽取 1 个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做 系统抽样（也称为机械抽样）。 系统抽样的步骤可概括为： （1）将总体中的个体编号； （2）将整个的编号进行分段； （3）确定起始的个体编号；（4）抽取样本。 （3） 分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然 后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层
28、抽样，其中所分成的各部分叫做 层。 第十一章导 数 1. 导数的几何意义： 函数 )(xfy 在点0 x 处的导数的几何意义就是曲线 )(xfy 在点 )(,( 0 xfx 处 的切线的斜率，也就是说，曲线 )(xfy 在点 P )(,( 0 xfx 处的切线的斜率是 )( 0 xf ，16 切线方程为 ).)( 0 0 xxxfyy 2.基本初等函数的导数公式与运算法则 C0； 1 )( nn nxx ； xxcos)(sin ； xxsin)(cos ； aaa xx ln)( ； xx ee )( ； ax x a ln 1 )(log ； x x 1 )(ln 3. 求导数的四则运算法
29、则： )(vuvu )()(cvcvvccvuvvuuv （ c 为常数） )0( 2 v v uvvu v u 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数的单调性： 求)(xfy的定义域； 求导数)(xf 求方程0)(xf的根 列表检验)(xf在方程0)(xf根的左右的符号，若0)(xf，为增， 若 0)(xf ，为减 如果左上升右下降，那么函数 y=f(x) 在这个根处取得极大值；如果左下降右 上升，那么函数 y=f(x) 在这个根处取得极小值； 第十三章 极坐标 1、极坐标与直角坐标互换222 cos ,sin ,t n(0). xy y xyax x 2、圆的参数方程 cos sin x
30、ar ybr 3、椭圆参数方程 cos sin xa yb 第十二章复数 1.复数的单位为 i，它的平方等于 1，即1i 2 . 复数及其相关概念： 复数形如 a + bi 的数（其中Rba，）； 实数当 b = 0 时的复数 a + bi ，即 a； 虚数当0b时的复数 a + bi ；17 纯虚数当 a = 0 且0b时的复数 a + bi ，即 bi. 复数 a + bi 的实部与虚部 a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意 a，b 都是实数） 复数集 C全体复数的集合，一般用字母 C 表示. 两个复数相等的定义： 00babiaRdcbadbcadicbia）特别地，（其中，且 两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小 . 2. 共轭复数biaz（Rba， ）， |zz ，ba z 22 3.常用的结论： 1, 1, 1 43424142nnnn iiii iii i i i i i i ii 1 1 , 1 1 ,2)1( 2 4.复数z是实数及纯虚数的充要条件： zzRz . 若0z，z是纯虚数0zz.