高考新课标卷文科数学试题(解析版).pdf

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1、第1页共12页 普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷 ) 文科数学 本试卷分第卷(选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，其中第卷第22 24 题为选考 题，其他题为必考题 第卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合0,1,2,3,4M，1,3,5N，PMNI，则P的子集共有 A2 个B4 个C6 个D 8 个 【答案】 B 【解析】PMNI=1,3，故P的子集有 2 24个 2复数 5i 12i A2iB12iC2iD1 2i 【答案】 C 【解析】 5i5i(12i) 2i 12i(12i)(12i) 3下列

2、函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是 A 3 yxB| 1yxC 2 1yxD | | 2 x y 【答案】 B 【解析】 3 yx为奇函数， 2 1yx在(0,)上为减函数， | | 2 x y在(0,)上 为减函数，故选 B 4椭圆 22 1 168 xy 的离心率为 A 1 3 B 1 2 C 3 3 D 2 2 【答案】 D 第2页共12页 【解析】 由 22 1 168 xy 可知 2 16a， 2 8b， 222 8cab， 2 2 2 1 2 c e a ， 2 2 e 5执行右面的程序框图，如果输入的N是 6，那么输出的p是 A 120 B720 C1440 D504

3、0 【答案】 B 【解析】由程序框图可得，输出的1 234 56720p，选 B 6有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组 的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 【答案】 A 【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加 1 组记为 “ 甲 1” ，则基本事件为 “ 甲 1， 乙 1；甲 1，乙 2；甲 1，乙 3；甲 2，乙 1；甲 2，乙 2；甲 2，乙 3；甲 3，乙 1；甲 3，乙 2；甲 3，乙 3” ，共 9 个 记事件 A 为“ 甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组” ，其中事件A

4、 有 “ 甲 1，乙 1； 甲 2，乙 2；甲 3，乙 3” ，共 3个因此 31 () 93 P A 7已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则 cos2= A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 第3页共12页 【答案】 B 【解析】由题知tan2， 222 222 cossin1tan3 cos2 cossin1tan5 ，选 B 8在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为 俯视图 正视图 D CB A 【答案】 D 【解析】 通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧 视图为 D 9已知直线

5、l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于,A B两点， |AB=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为 _ A18 B24 C36 D48 【答案】 C 【解析】 设抛物线方程为 2 2ypx，则焦点坐标为(,0) 2 p ，将 2 p x代入 2 2ypx可 得 22 yp，|AB=12，即2 p=12，p=6 点P在准线上，到AB的距离为p=6， 所以ABP面积为 1 6 1236 2 10在下列区间中，函数( )43 x f xex的零点所在的区间为_ A 1 (,0) 4 B 1 (0,) 4 C 1 1 (,) 4 2 D 1 3 (,) 2 4 【答案】 C 【解析】

6、因为 11 44 11 ()4320 44 fee， 11 22 11 ()4310 22 fee， 第4页共12页 所以( )43 x f xex的零点所在的区间为 1 1 (,) 4 2 11设函数( )sin(2)cos(2) 44 f xxx，则 A( )yf x在(0,) 2 单调递增，其图象关于直线 4 x对称 B( )yf x在(0,) 2 单调递增，其图象关于直线 2 x对称 C( )yf x在(0,) 2 单调递减，其图象关于直线 4 x对称 D( )yf x在(0,) 2 单调递减，其图象关于直线 2 x对称 【答案】 D 【解析】因为 ( )sin(2)cos(2) 44

7、 f xxx=2 sin(2) 2 x=2 cos2x， 所 以2 cos2yx，在(0,) 2 单 调 递 减 ，对 称 轴 为 2xk ，即 2 k x(kZ) 12已知函数( )yf x的周期为2，当 1,1x时 2 ( )f xx，那么函数( )yf x的 图象与函数| lg|yx的图象的交点共有_ A10 个B9 个C 8 个D1 个 【答案】 A 【解析】画出两个函数图象可看出交点有10 个 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 做答第22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分 1

8、3已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直， 则k= 【答案】 1 第5页共12页 【解析】 ab与kab垂直， (ab) (kab) =0， 化 简 得(1)(1)0ka b，根 据a、b向 量 不 共 线 ，且 均 为 单 位 向 量 得 10a b，得10k，即1k 14若变量x，y满足约束条件 329 69 xy xy ，则2zxy的最小值是 _ 【答案】 6【解析】画出区域图知， 当直线2zxy过 23 9 xy xy 的交点 (4，-5)时， min 6z 15ABC中，120 ,7,5BACAB，则ABC的面积为 _ 【答案】 15 3 4 【解析】

9、根据 sinsin ABAC CB 得 535 3 sinsin 7214 AB CB AC ， 2 5 311 cos1 () 1414 C， 所以sinsin()sincossincosABCBCCB 31115 33 3 21421414 因此 ABC S= 113 315 3 sin75 22144 ABACA 16已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥 底面面积是这个球面面积的 3 16 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大 者的高的比值为_ 第6页共12页 【答案】 1 3 【解析】设球心为 1 O，半径为 1 r，圆锥底面圆圆心为 2 O，

10、半径为 2 r， 则有 22 12 3 4 16 rr，即 21 3 2 rr，所以 221 1212 2 r OOrr， 设 两 个 圆 锥 中 ，体 积 较 小 者 的 高 与 体 积 较 大 者 的 高 分 别 为 1 h、 2 h，则 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 r r h r h r 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分12 分） 已知等比数列 n a中， 1 1 3 a，公比 1 3 q () n S为 n a的前n项和，证明： 1 2 n n a S； ()设 31323 logloglog nn baaaL，求数列 n b的通项公式

11、【解析】（）因为. 3 1 ) 3 1 ( 3 1 1 n n n a , 2 3 1 1 3 1 1 ) 3 1 1 ( 3 1 nn n S 所以, 2 1 n n a S （） nn aaab 32313 logloglog )21(n 2 ) 1(nn 所以 n b的通项公式为. 2 )1(nn bn 18 （本小题满分12 分） 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DAB， 第7页共12页 2ABAD，PD底面ABCD ()证明：PABD； ()若1PDAD，求棱锥DPBC的高 【解析】（）因为60 ,2DABABAD，由余弦定理得3BDAD 从而 222 BDA

12、DAB，故 BDAD 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD 所以 BD平面 PAD. 故 PABD （）如图，作 DEPB，垂足为 E已知 PD底面 ABCD，则 PDBC 由（）知BDAD，又 BC/AD，所以 BCBD 故 BC平面 PBD ，BCDE 则 DE平面 PBC 由题设知，PD=1，则 BD =3，PB=2， 根据 BE PB=PD BD，得 DE= 2 3 ， 即棱锥 DPBC 的高为. 2 3 19 （本小题满分12 分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值 大于或等于102 的产品为优质品现用两种新配方（分别称为A 配方和 B 配方

13、）做试 验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到时下面试 第8页共12页 验结果： A 配方的频数分布表 指标值分组90，94) 94，98) 98，102) 102，106) 106，110 频数8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组90，94) 94，98) 98，102) 102，106) 106，110 频数4 12 42 32 10 ()分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； ()已知用B 配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为 2,94 2,94102 4,102 t yt t ，估计用B 配方生产的

14、一件产品的利润大于0 的概率，并求 用 B 配方生产的上述100 件产品平均一件的利润 【解析】 ()由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 228 0.3 100 ，所以 用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3 由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 3210 0.42 100 ，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42 ()由条件知，用 B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值94t， 由试验结果知，质量指标值94t的频率为096所以用B 配方生产的一件产品 的利润大于0 的概率估计值为0 96 用 B 配方生产的产品平均一件的

15、利润为 1 4( 2)54 242 42.68 100 (元) 20 （本小题满分12 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 2 61yxx与坐标轴的交点都在圆C上 ()求圆C的方程； ()若圆C与直线0xya交于,A B两点，且OAOB，求a的值 【解析】（）曲线16 2 xxy与 y 轴的交点为 (0，1)，与x轴的交点为 第9页共12页 （).0,223(),0,223 故可设 C 的圆心为（ 3，t），则有,)22()1(3 2222 tt解得t=1. 则圆 C 的半径为 .3)1(3 22 t 所以圆 C 的方程为. 9) 1()3( 22 yx （）设 A( 11,y x)，B(

16、22, y x)，其坐标满足方程组： .9)1()3( ,0 22 yx ayx 消去 y，得到方程 .012)82(2 22 aaxax 由已知可得，判别式. 041656 2 aa 因此，, 4 41656)28( 2 2, 1 aaa x从而 2 120 ,4 2 2121 aa xxaxx 由于 OAOB，可得,0 2121 yyxx 又, 2211 axyaxy所以 .0)(2 2 2121 axxaxx 由，得1a，满足,0故. 1a 21 （本小题满分12 分） 已 知 函 数 ln ( ) 1 axb f x xx ，曲 线( )yf x在 点(1, (1)f处 的 切 线 方

17、 程 为 230xy ()求a，b的值； ()证明：当0x，且1x时， ln ( ) 1 x f x x 第10页共12页 【解析】（） 22 1 (ln) ( ) (1) x x b x fx xx 由于直线230xy的斜率为 1 2 ，且过点(1,1)，故 (1)1, 1 (1), 2 f f 即 1, 1 , 22 b a b 解得 1a ， 1b （）由（）知 ln1 f ( ) 1 x x xx ，所以 ) 1 ln2( 1 1 1 ln )( 2 2 x x x xx x xf 考虑函数( )2lnh xx x x1 2 (0)x，则 2 2 2 22 )1( )1(2 2 )(

18、x x x xx x xh 所以当1x时，,0) 1(,0)(hxh而故 当)1 ,0(x时，; 0)( 1 1 ,0)( 2 xh x xh可得 当), 1(x时，; 0)( 1 1 , 0)( 2 xh x xh可得 从而当. 1 ln )(, 0 1 ln )(, 1,0 x x xf x x xfxx即且 请考生在第（22） 、 （23） 、 （ 24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第 一题记分 22 （本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲 如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重 合已知 AE的长为 m， AC的长为 n， AD，AB的长是

19、关于 x的方程 2 140xxmn的两个根 第11页共12页 E D C B A ()证明：, ,C B D E四点共圆； ()若90A，且4,6,mn求,C B D E所在圆的半径 【解析】 ()连结DE，根据题意在ADE和ACB 中，ADABmnAEAC ， 即 ADAE ACAB 又DAECAB，从而ADEACB 因此ADEACB 所以 C ，B，D，E四点共圆 ()4m，6n时，方程 2 140xxmn的两根为 12x，212x 故2AD，12AB 取 CE 的中点 G ，DB的中点F，分别过 G ，F作 AC ，AB的垂线，两垂线 相交于H点，连结DH 因为 C ，B，D，E四点共圆

20、，所以 C ，B， D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH 由于90A，故/ /GHAB ，/ /HFAC ，从而5HFAG， 1 1225 2 DF 故C，B，D，E四点所在圆的半径为 5 2 24 （本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲 设函数( )| 3fxxax，其中0a ()当1a时，求不等式( )32f xx的解集 ()若不等式( )0f x的解集为x|1 x，求a的值 【解析】 ()当1a时，32fxx可化为12x A DB C G E M 第12页共12页 由此可得3x或1x，故不等式32fxx的解集为3x x或1x ()由0fx得30xax，此不等式化为不等式组 30

21、xa xax 或 30 xa axx 即 4 xa a x 或 2 xa a x 由于0a，所以不等式组的解集为 2 a x x 由题设可得1 2 a ，故2a 23 （本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos ( 22sin x y 为参数），M为 1 C 上的动点，P点满足2OPOM uuu ruuuu r ，点P的轨迹为曲线 2 C ()求 2 C的方程； ()在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与 1 C的异于 极点的交点为 A， 与 2 C的异于极点的交点为B，求|AB. 【解析】()设,P x y，则由条件知, 2 2 x y M ， 由于M点在 1 C 上，所以 2cos 2 22sin 2 x y ， 即 4cos 44sin x y 从而 2 C 的参数方程为 4cos 44sin x y (为参数 ) ()曲线 1 C 的极坐标方程为4sin，曲线 2 C 的极坐标方程为8sin 射线 3 与 1 C 的交点A的极径为 1 4sin 3 ， 射线 3 与 2 C 的交点B的极径为2 8sin 3 ， 所以 12 23AB