《小学数学报》第届数学竞赛初赛试题及答案.doc.pdf

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1、第五届数学竞赛初赛试题及答案 （满分 100分） 一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（12 分） 2.1991199219921992-1992+199119911991 二、填空题 （48 分） 1. 有 A、B两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有 25 个数。A组数中前几个是这样排列的1，6，11，16，21；B组数中 最后几个是这样排列的，105，110，115，125。那么， A、B这两组 数中所有数的和是 _（3 分） 2. 某沿海城市管辖 7 个县，这 7 个县的位置如图 1。现用红、黑、绿、 蓝、紫五种颜色给图 1 染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色。共有_

2、种不同的染色方法。（ 5 分） 3. 如图 2 的数阵是由 77 个偶数排成的，其中2、24、36、38、40 这 六个数由一个平行四边形围住，它们的和是180。把这个平行四边形沿上 下、左右平移后， 又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和 是 660，那么，它们当中位于平行四边形左上角的那个数是_。（4 分） 4. 在左边的乘法算式中，我、学、数、乐各代表四个不相同的数字。 如果“乐”代表“ 9”，那么，“我”代表 _，“数”代表 _，“学”代 表_。（4分） 5.1993 年一月份有 4 个星期四、 5 个星期五， 1993年 1 月 4 日是星 期_。 6. 一个小数去掉小数部

3、分后得到一个整数，这个整数加上原来的小数 与 4 的乘积，得 27.6。原来这个小数是 _。（5 分） 7. 李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中 有一个当了记者。一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者。” 张斌说：“我不是记者。”王大为说：“李志明说了假话。”如果他们三 人的话中只有一句是真的，那么_是记者。（ 3 分） 9. 在 1992 后面补上三个数字， 组成一个七位数， 使它分别能被 2、3、 5、11 整数，这个七位数最小是 _。（5 分） 的个位数字 1992 个“8”是_，十位数字是 _，百位数字是 _。（3 分） 三、解答下面的应用题。 （要写出列

4、式解答过程。列式时，可以分步 列式，可以列综合算式，也可以列方程。）（32 分） 1. 张师傅驾驶一辆载重汽车从县城出发到省城送货，到达省城后马上 卸货并随即沿原路返回。他驾驶的这辆汽车去时每小时行64 千米，返回 时每小时行 56 千米，往返一趟共用去12 小时（在省城卸货所用时间略去 不计）。张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了多少千米？（5 分） 2. 一个长方形， 如果长减少 5 厘米，宽减少 2 厘米，那么面积就减少 66 平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形。求原来长方形的面 积。（ 5 分） 3. 有两堆煤，第一堆是第二堆的4 倍。当第二堆煤运走6.25 吨后， 第一堆煤是

5、第二堆煤的6 倍。第二堆煤原有多少吨？（5 分） 分数是 80 分。求不及格的人的平均分数。（5 分） 5. 启蒙书社五天内卖出中学生手册和小学生手册共1中学 生手册每本 5 元，小学生手册每本3.75 元。营业员统计的结果表 明：这五天内所卖中学生手册的收入比卖小学生手册的收入多 162.5 元。这五天内启蒙书社卖出的中学生手册和小学生手册各 多少本？（ 6 分） 6. 如图 3，BD是梯形 ABCD 的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰 DC平行，AE与 BD相交于 O点。已知三角形 BOE 的面积比三角形AOD 的面 积大 四、长方形 ABCD 的长是 4 厘米、宽 3 厘米。从这个长方

6、形中剪去两 个长 2 厘米、宽 1 厘米的小长方形后得到一个“T”形（如图 4）。请你 沿直线（用虚线在图上画出这样的直线）把这个“T”形剪两刀，并使剪 开的部分恰好能拼成一个正方形。（8 分） 详解与说明 一、计算题 说明：本题的算式看上去挺繁， 但细心观察不难发现括号内的三个乘 （除）式都含有因数“ 3”，把“ 3”作为公因数提取后计算就简便多了。 数学之友（ 7）第 63 页上有一道十分类似的计算题。 2. 解：1991199219921992-1992199119911991 =19911992（10001000010001 ） =199119920 =0 说明：解本题的关键是迅速观察

7、到被减数和减数含有公因数1991 1992，这个乘积可以暂时保留在式中， 看括号内的计算结果是不是便于立 即能口算出答案。本题同数学之友（7）综合练习十的第 2 题也很相 似。 数列的各项依次对应相加所得到的。看出这一层关系， 就容易想到把式中 每 ”栏目内专门作了介绍。 二、填空题 1. （1125）25=3150 说明：首先通过观察容易发现A、B两组数的排列规律。这两组数都 排成等差数列，并且每组数都有25 个数。用等差数列的求和公式可以算 出结果，但必须先推算出A组数的第 25 个及 B组数的第 1 个。如果选手 们能从“两组数个数相等”与“两组数都是公差为5 的等差数列”这两个 条件入

8、手，用“首尾配对，变加为乘”（见本报 1991 年 9 月 25 日“教你 思考”栏）的技巧来解，那么计算简便多了。 2. 解：把该沿海城市地图上的7 个县分别编号为A、B、C 、D 、E、F、 G （如图 5）。为了便于观察， 可以把图 5 改画成图 6 （相邻关系不改变） 。 我们不妨按 A、B、C、D、E、F、G的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜 色依次染色，根据乘法原理，共有5433333=4860（种）不 同的染色方法。 说明：“加法原理与乘法原理”是本报223期“奥林匹克学校”栏所 介绍的内容，但应用乘法原理来解本题，要谨防遗漏。为了避免遗漏，就 应适当选择染色的顺序。 或许有的选

9、手会问： 既然要讲究染色的顺序。 那 么“按 A、B、C、D、E、F 的顺序”前又怎么可以加“不妨”二字呢？对 了，我们这里所说的“适当选择染色顺序”，不是说染色方法与染色顺序 有关，而是说选择某些染色次序很可能算错。比如说，如果我们选择B、 C、G 、D、A、E、F的染色顺序，那么，根据乘法原理算得的结果是 5443233=43）。这当中遗漏了 540（种），为什么会遗 漏呢？因为在给 B、C染色之后，再给 G染色时，没有分“ G与 B同色”、 “G与 B不同色”两种情况。 举个简单的例子，如图7，如果按的顺序染色，容易误算为 5442=160（种），而实际上，应分两种情况： （1）与同色时

10、有5413=60（种）染法 （2）与不同色时，有5432=1）染法 共有 60180（种）染法，而不是160种。 3. 解法一：以平行四边形左上角那个数为标准，其余五个数分别比它 大 2、4、16、18、果从平行四边形内六个数的和中依次减去2、4、16、 18、么剩下的数就是左上角那个数的6 倍。根据题意， 可求出平移后的平 行四边形内左上角那数为660- （2416186=100 解法二： 移动前平行四边形内6 个数的和是 224362840=180。 移动后，这六个数的和增加到660，增加了 660-180=480。由于移动过程 中平行四边形内每个数增加得一样多，因而容易求出从 “180”

11、到“660”， 每个数都增加了（ 660-180）6=80。这样，可知道左上角的数增加到 0=100。 解法三：通过观察可知，平行四边形内上一行左、中、右三数与下一 行 下一行右边的那个数与上一行左边那个数相减，差都是样，求左上角那个 数就变成了一个“和差问题”。算式为 （6603-2=100 说明：本题的解法很多， 因为题中的数阵隐藏着许多有趣的规律，选 择不同的规律， 将会得到不同的解法。 本题是根据 1991年 11 月 5 日第一 版“教你思考”栏中一题改编而成的。 4. 解：由“乐”代表9，可推到“学”代表1，“数”代表 6；由积 是一个十位数，并且前两位数都是6，可推知“我”代表8

12、。 说明：本题是把 1992 年 5 月 25 日第四版上谈祥柏先生写的 “六一专 稿”里一题变了一下形式。要推知“乐”、“学”、“数”各代表什么数 字，只要运用所学的“自然数平方尾数性质”及进位的知识，就会立即得 到结果。再推“我”代表几就稍难些。 需要用估值法： 因为 8000026661661161 900002 所以 8我 9 显然，“我”只能是8。 5. 解：画一个日历表，从表中马上看出： 1993年 1 月 4 日星期一。 说明：根据“有五个星期五”，可知从第一个星期五到第五个星期五 之间共有 29 天。31-29=2（天），这多余的 2 天是在第一个星期五前，还 是在第五个星期五

13、之后呢？如果在第一个星期五之前，那就多一个星期 四，这与题中条件不符。 所以应把多余的 2 天排在月末。 这种借助日历表 推算的方法，本报 1992年 3 月 25日第一版“小读者园地”栏目中介绍过。 7. 解：张斌是记者。 说明：这是根据本报 1992年 3 月 15 日“奥林匹克学校” 栏推理问题 例 1 改编而成的。具体推理过程是 假设李志明是记者， 那么李志明、 张斌都说了真话， 而三人中只有一 人说真话。这说明假设不正确，李志明不是记者（李志明说了假话）。也 就是说，王大为说了真话。另一个说假话的是张斌。从而推知：张斌是记 者。 也就是 5X765Y 又因为 X、Y是两个连续自然数

14、所以，必有 X=15 ，Y=16 解法二：根据分数的基本性质 由“X、Y是连续自然数”推知X=15 ，Y=16 。 说明：仅从题中的不等式不容易判断X、Y的取值范围，这就想到了 通分；要通分，就要运用“分数的基本性质”。有了X、Y的取值范围， 再附加“ X、Y是连续自然数”这个条件的限制，X、Y的值也就不难判断 了。本报第三版上曾登过类似的题。 因为 2|A，5|A，所以， c=0； 因为 3|A，所以 3| （ab）； 因为 11|A，所以 a-b=1 考虑到所组成的七位数应该最小，因而取ab=3。这就推出： a=2， b=1。即要求的最小的七位数是1992210。 说明：解答本题需要熟悉能

15、被2、5、3、11 整除的数的特征，再把根 据这些特征推出的结果综合在一起，加上“最小”这一条件，就可以确保 答案是唯一的。 这道题比本报第226期“赛前训练” 的第 3 题还要略简单 些。 222222=2111111=21111001 而 1001=71113 所以 222222能被 13 整除。 因为 1998=6333，2213=19 所以，要求的余数是9。 说明：读者容易联想到：本报第240 期“小读者园地”栏目介绍了 “1001” 的两条性质，因为 222222=2111111。 运用 “111111=1111001” 与“1001=71113”这两个等式，可把题目转化为“求221

16、3 的余数 是几”。有些选手分别计算2、22、222、2222，被 13 除所得的余数， 再从中找出周期性规律，也同样能求得余数是9，但这样做太麻烦，又费 时，不可取。 11. 解：81992=15936（个“ 1”）81991=15928（个“ 10”）8 1990 =159“100”） 从上面竖式中看出：所求个位数字是6，十位数字是 1，百位数字是 2。 说明：解答本题并不难， 只要注意计数单位和进位制，再做简单的乘 法、加法运算就可以了。详见本报第192 期“教你思考”栏谢悠南文。 12. 解：本题答案不唯一，下面列出几种： 说明：解本题有两种思路 母（如 12）的任意两个约数（如3、4

17、），然后把它们的和分别同这两个 约 当我们把一个单位分数分解成两个单位分数后，又可以继续采用上面 的方法，把其中某一个单位分数再一分为二。这样，只要重复分解，可以 把一个单位分数分解成若干个单位分数之和。 三、应用题 张师傅往返全程，共用了12 小时。于是，省城和县城之间的路程是 张师傅往返一趟共行了358.4 2=716.8（千米） 解法二：设县城与省城之间的路程为X千米。根据题意，列方程 2X=358.42=716.8（千米） 答：张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了716.8 千米。 说明：本题的解法不止这两种，比如，还可以根据张师傅往、返的速 度之间的关系，把往返一趟所用的时间分成“往

18、”、“返”两部分，当同 学们下学期学过正、反比例之后，会自然而然地想到这一点。不过，还是 解法一比较简便，这种解法本报第187期巧用“包含除”一文中专门 介绍过。 2. 解法一：画出图来，不难列出这样的算式（66-25）（5+2）=8 （厘米），长方形面积为88+66=130 （平方厘米） 解法二：设正方形边长为 X厘米，根据题意可列方程 （5+2） X2=66-2 5 解方程，得 X=8 S长方形=8866=130（平方厘米） 说明：解答本题，只要画一个草图，就不难找到题中的等量关系。然 后用算术方法或代数方法解都很简单。本报第 213 期第 3 版有一道类似的 题。 解法二： 6.25 4

19、（6-4）+6.25 =18.75（吨） 答：第二堆煤原有18.75 吨。 说明：如果顺着题中的条件去想， 那就不容易找到解题的思路，因为 题中的“标准量”第2 堆煤的数量在变， 4 倍与 6 倍也就联系不上。 其实，只要反过来一想，把第一堆煤作为标准量，数量关系就明朗化了。 解法一的思路正是这样。 还可以这样想：如果从第一堆煤中运走“6.25 4”吨，那么第一堆 煤就是现在第二堆煤数量的4 倍；如果一点都不运走的话， 那么第一堆煤 就是现在第二堆煤的6 倍， 从而，可求出现在第二堆还有6.25 4 （6-4） =12.5（吨），再加上 6.25 吨，就是第二堆煤原来的吨数。这就是解法二 的算

20、理。本题是根据本报第197 期反过来想想一文中第二题改编的。 4. 解法一：（ 704-803）（ 4-3）=40 或（704K-803K）（ 4K-3K）=40 （K为自然数） 解法二：设不及格的人平均成绩为X分。 根据题意列方程 解方程，得 X=40 答：不及格的人的平均分数为40 分。 说明：本题是本报第 238 期“趣题巧解”中的原题，解题思路详见报 纸第 241 期为什么可以设全班人数为4 呢一文。 5. 解法一：（等量假设法）假设所卖出的中学生手册和小学生 手册的本数同样多，也就是各为60 本，那么，所卖的中学生手册 比小学生手册 就要多收入（5-3.75 ） 60=75 （元），

21、 而实际多收入 162.5 元，相差 162.5-75=87.5 （元）。这就可以求出少算的中学生手册的 本数为（ 162.5-75 ）（ 53.75）=10（本） 6010=70（本）中学生手册的本数 60-10=50（本）小学生手册的本数 解法二：（同一假设法）假设所卖出的1 是中学生手册，那么， 仿照解法一就可以先求出小学生手册的本数 （5162.5）（ 53.75 ）=50（本） 10=70（本）中学生手册的本数 解法三：（列方程解）设中学生手册有X本，根据题意，列方程 5X-（1）3.75=162.5 解得 X=70 1=50（本） 答：这五天内共卖出中学生手册70本，小学生手册 5

22、0 本。 说明：就这道题的“条件”和“问题”来看，挺有些像“鸡兔同笼问 题”。解这类题常用的方法有算术（假设）和列方程两种方法，这是选手 们已经掌握的（见本报216期插上想象的翅膀一文）。在解法一和解 法二中，实际的“多收入”与假设后的“多收入”之间有个“差”，这个 差是怎么来的，不是由于每卖 1 本 中比卖 1 本 小要多收入“5-3.75 ” 元，而是因为如果有一本 中被假设（换）成小，那么中比小 多收入的部分就减少了“53.75”元。这一点千万不能搞错。 6. 解：因为 SBOE-SAOD=4平万米 所以 SABE-SABD=4平万米 因为 ABE与ABD对应于 BE 、AD边上的高相等

23、，所以 ABD的面积 答：梯形面积是 28 平方米。 说明：解答本题的关键是进行两次转化：（1）转化面积差：把已知 条件“ BOE 的面积比 AOD 的面积大 4 平方米”，转化为“ ABF的面 积比 ABD 的面积大 4 平方米”；（ 2）转化数量关系：把 是高相等）。具体算法还很多，但基本思路都是转化。本报第2 一版有两 篇文章中介绍过类似的转化技巧。 四、解：剪拼方法不唯一，这里给出两种（如图9，图 10）： 说明：这是一道动手操作的“实验”题。不过，在动手之前，先得算 一算、想一想，也就是我们常说的“手脑并用”。剪之前，可以这样想： “T”形图的面积为 43-212=8（平方厘米） 这

24、就是说，我们要拼成的正方形的面积应该是8 平方厘米。这个正方 形的边长是多少呢？这可难了。 如果我们假设这个正方形已经拼成， 那么， 把它的两条对角线连起来后，这个正方形就被分成了4 个等腰直角三角 形，其中的两个可以拼成一个面积为4（边长为 2）的正方形（如图 11）。 从图中看出所拼成的正方形的边长应该是面积为4 平方厘米的正方形的 对角线的长（图 11中的 AB ）。根据以上推算，容易想到图9、图 10 的两 种剪拼方法。 所以，同学们今后碰到类似的动手操作题，应当先想想、算算，千万 不能无把握地下手。不然的话，费了时间，还找不到正确解法。其实，选 手们应当从本报第214 期第四版等积变形一文中受到启发。