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1、“ 多边形的外角和 ” 教学片断 四川省乐山市市中区悦来中学黄世桥 (人教新课标版 ) 第七章：三角形 7.3 多边形的内角和 ( 之外角和 部分) 目标 重点 难点 1、知识与技能目标：理解与掌握多边形的外角和为360的定理。并能 用它来解决一些简单的问题。 2、过程与方法目标：通过对多边形的外角和的分析，并用四种角度来理 解与体会多边形的外角和恒为360的道理，层层推进，梯次展开，把学生带 进思维的王国，并通过对一些问题的分析，体会利用多边形的外角和解决问 题所带来的方便。 3、情感与态度目标：学生通过积极参与、分析讨论，感受学习数学的快 乐，体会数学之美，本节课引导学生多体会数学的内在和
2、谐美。激发学生的 学习数学的兴趣。 多边形的外角和为360的探索、深入理解与应用。 对多边形的外角和为360的深入理解与应用。 内容 方法 ( 人教版 )第七章：三角形 7.3 多边形的内角和 ( 之外角和部分 ) 启发与讨论。 复习提问 n 边形的内角和是多少？ 生： （n2） 180 。 什么叫三角形的外角？ 生： 三角形的一边和这个顶点的另一边的延长线所组成的图形叫做三角形的外角。 一个三角形有多少个外角？理由。 生： 有 6 个，每个顶点处有两个外角，共6 个。（师：每个顶点处的两个外角是相等的）。 什么叫三角形的外角和？ 生：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和。 新课过程
3、 （人教新课标七下，以后同）在P83 页中已有题：如图，BAE ，FBC，ACD 是三角形的外 角，你能利用三角形的内角和求出三角形的外角和吗？ 师： 谁来说一说如何证明？ 生： 利用 CAE， ABF ，BCD 是平角， CAE ABF BCD540 ，又因为 ABC ACB BAC180 （三角形的内角和为180 ）， EAB FBC ACD360 。 师： 这个证法很好，我们还可以利用三角形的一个外角等于和不它不相邻的两个内角之和，同学 们下来还可以去想想，现在请大家用语言来总结这个结论。 生： 三角形的外角和为360 。 师： 刚才我们定义了三角形的外角和，你能定义多边形的外角和吗？
4、生： 在多边形的每一个顶点处取一个外角，它们之和就叫做多边形的外角和。 师：同学们有当数学家的天赋，我们的数学家也是这样定义的。现在我们要探究多边形的外角和， 先看简单的，求一个四边形的外角和，如图所示，应如何进行？ 生： 四边形的每一个顶点处的一个外角加上相邻的内角为180 ，有四个顶点，总和为4 180 7 20 ，又因为四边形的内角和为（42） 180 360 ，所以外角和为720 360 360 。 师：完全正确， 同学们根据刚才的证明三角形的外角和的思路来证明四边形的外角和，很不错的。 有何结论？ 生： 四边形的外角和为360 。 师： 现在请同学们看书：P88（内容如下） 师： 有
5、何结论？ 生： 六边形外角和为360 。 师： 根据我们刚才的三个结论？你有何猜想？ 生： 多边形的外角和为360 。 师： 这个想法很好的，也就是不管其边数为多少（n3 ），其外角和为360 ，是不变的。要证明 了才能把猜想变成真理，请思考如何证明？ 设边数为 n（n3 ）。 请大家动笔在草稿本上算算。（给学生几分钟思考的时间） 生： n 边形有 n 个顶点，每个顶点处的一个外角与其相邻的内角之和为180 ，有 n 个 180 ，这些 角的总和为： 180 n，n 边形的内角和为（n2）?180 ，所以 n 边形的外角和为： 180 n（n2） 180 360 。 师： 很好的，现在我们证明
6、了我们的猜想。得到结论，谁来总结一下？ 生： 定理： n（n3 ）边形的外角和为360 。 师： 这个定理很美，不管其边数怎样变化，其外角和是不变的。这是我们通过计算得来的，应该 还能通过其它的角度让我们认识得更清楚一点，如图所示，通过作这样的辅助线您能证明吗？ 把 AB 平移到 CG 的位置。 （学生思考几分钟） 生： CG 是由 AB 平移得来的， ABCG EAB ACG。 DCG DBF DCA EAB FBD DCA ACG GCD360 师： 很好，可以这样想的，把三角形缩成一个点，其外角刚好围成一个圆，当然是360 了。 再看一看四边形，也能这样吗？ 师： 过 C 作 CKDE，
7、CMAF，看其中的相同颜色的弧所在的角 生： 有 HDA DCK ， EAL KLB KCM ， FBG GCM 。 把这些外角移在一起，刚好围成一个圆。 师： 回答正确，也可以这样理解，把四边形缩成一个点，其外角和刚好围成一个圆，当然外角和 不变了。 师： 更多的边数呢？ 生（兴奋的）：一样的，先把多边形缩成一个点，其外角和刚好围成一个圆，当然是360 ，不管 其边数怎样变化，其外角和不变。 师： 是这样的，还可以这样理解，一个人面向CD，沿着 CA 前进时，方向改变为DCA，沿 AB 前进，其方向改变为EAB ，也就是 ACG 的大小，再AB 方转向 CD 时，方向改变量的大小是DC G，此时回到CD 方向，刚好转了一圈，是360 。四边形也可以这样理解吗？ 生： 假设面向 CG，面向 CH，转动 HCG ，面向 DE 再转 HCK，面向 AB ，再转 KCM ，最后 转 MCG 回到出发的位置。刚好转了一圈，因此是外角和是360 。 师：再换种理解方法，假设一人从A 出发，经过各个顶点。然后回到出发的A 点，这个人所转过 的角的和恰好是一这个多边形的外角和。由于刚好转了一圈回到出发点，因此其外角和是360 。请大 家看书， P89 页内容。如下： （下课铃打响了） 师： 请大家回家思考一下，多边形的内角中最多有几个锐角，下节课我们一起探讨？