(完整版)中考数学二次函数压轴题题型归纳.pdf

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1、1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式： 22 BABA xxyyAB 2、中点坐标 ：线段 AB的中点C的坐标为： 22 BABA yyxx ， 直线 11 bxky（0 1 k）与 22 bxky（0 2 k）的位置关系： （1）两直线平行 21 kk且 21 bb（2）两直线相交 21 kk （3）两直线重合 21 kk且 21 bb（4）两直线垂直1 21k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： 用和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开

2、方式是完全平方式。 例：关于x的一元二次方程012 22 mxmx有两个整数根， 5m 且m为整数，求m的值。 4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线313 2 xmmxy与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x的方程 2 3(1)230mxmxm（m为实数），求证：无论m为何值，方程总 有一个固定的根。 解：当0m时，1x； 当0m时，03 2 m， m m x 2 13 ， m x 3 2 1 、1 2 x； 综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是

3、1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线2 2 mmxxy（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个 固定的点，并求出固定点的坐标。 2 解：把原解析式变形为关于m的方程xmxy12 2 ； 01 02 2 x xy ，解得： 1 1 x y ； 抛物线总经过一个固定的点（1， 1）。 （题目要求等价于：关于m的方程xmxy12 2 不论m为何值，方程恒成立） 小结 ：关于 x的方程bax有无数解 0 0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （ 1）如图，直线 1 l、 2 l，点A在 2 l上，分别在 1 l、 2 l上确定两点M、N，使得MNAM之

4、 和最小。 （ 2）如图，直线 1 l、 2 l相交，两个固定点A、B，分别在 1 l、 2 l上确定两点M、N，使得 ANMNBM之和最小。 （ 3）如图，BA、是直线l同旁的两个定点，线段a，在直线l上确定两点E、F（E在F的 左侧），使得四边形AEFB的周长最小。 3 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法：如右图，S PAB=1/2 PM x=1/2 AN y 9、函数的交点问题：二次函数（cbxaxy 2 ）与一次函数（hkxy） （1）解方程组 hkxy cbxaxy 2 可求出两个图象交点的坐标。 （2）解方程组 hkxy cbxaxy

5、2 ，即0 2 hcxkbax， 通过可判断两个图象的交点的个数 有两个交点0 仅有一个交点 0 没有交点0 10、方程法 （1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度 （2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式 11、几何分析法 特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形” 等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。 几何要求几何分析涉及公式应用图形 跟平行有关的 图形 平移 2121 kkll、 21 21 xx yy k 平行四边形 矩形 梯形 跟直角有关的 图形 勾股定理逆定理 利用相似、全等、平 行、对顶角、互余、 互补

6、等 22 BABA xxyyAB 直角三角形 直角梯形 矩形 跟线段有关的 图形 利用几何中的全等、 中垂线的性质等。 22 BABA xxyyAB 等腰三角形 全等 等腰梯形 跟角有关的图 形 利用相似、全等、平 行、对顶角、互余、 互补等 4 【例题精讲】 一 基础构图： y=32 2 xx（以下几种分类的函数解析式就是这个） 和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得 PB+PC 的和最小，求出P 点坐标 在对称轴上找一点P，使得 PB-PC 的差最大，求出P 点坐标 求面积最大 连接 AC,在第四象限找一点P，使得 ACP面积最大，求出 P 坐标 讨论直角三角连接 AC,在对称轴上找一点P

7、，使得ACP为直角三角形， 求出 P 坐标或者在抛物线上求点P，使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形 讨论等腰三角连接 AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为等腰三角形， 求出 P 坐标 讨论平行四边形1、点 E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上， 且以 B， A，F，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标 O x y A B C D O x y A B C D O x y A B C D O x y A B C D 5 二 综合题型 例 1 (中考变式） 如图， 抛物线cbxxy 2 与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0) 两点， 顶点为 D。 交 Y轴于 C

8、(1) 求该抛物线的解析式与ABC 的面积。 (2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使 MBC 是以 BCM 为直角的直角三角形，若存 在，求出点P 的坐标。若没有，请说明理由 (3)若 E 为抛物线B、C 两点间图象上的一个动点(不与 A、B 重合 )，过 E 作 EF与X轴垂直，交 BC 于 F，设 E 点横坐标为x.EF 的长度为 L ， 求 L 关于 X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？ 当 E 点运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？ (4)在（ 5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H。当 E 点运动到什么位置时,以点 E、 F、 H、D 为

9、顶点的四边形为平行四边形？ (5)在（ 5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？ 6 例 2 考点：关于面积最值 如图，在平面直角坐标系中，点A、C 的坐标分别为 ( 1， 0) 、( 0，3) ，点 B 在 x 轴上已知某 二次函数的图象经过A、B、C 三点，且它的对称轴为直线x 1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数 图象上的一个动点（点P 与 B、C 不重合），过点P 作 y 轴的平行线交BC 于点 F （1）求该二次函数的解析式； （2）若设点P 的横坐标为m，试用含m 的代数式表示线段PF 的长； （3）求 PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标 例 3

10、 考点：讨论等腰 如图，已知抛物线y 2 1 x 2bxc 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B，点 A 的坐标为（ 2，0）， 点 C 的坐标为（ 0，1） （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点E 作 DE x 轴于点 D，连结 DC，当 DCE 的面积最大时， 求点 D 的坐标； （3）在直线BC 上是否存在一点P，使 ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在， 说明理由 D B C O A y x E B C O A 备用图 y x y x B A F P x1 C O 7 例 4考点：讨论直角三角 如图，已知点A（一 1，0）和点

11、 B（ 1，2），在坐标轴上 确定点 P，使得 ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（） (A） 2个（B） 4个 （C）6个（ D） 7个 已知：如图一次函数y 2 1 x1 的图象与x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数y 2 1 x 2 bxc 的图象与一次函数 y 2 1 x1 的图象交于B、 C 两点，与 x 轴交于 D、 E 两点且 D 点坐标为（1， 0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积 S； （3）在 x 轴上是否存在点P，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的 点 P，若不存在，请说明理由 例 5 考点

12、：讨论四边形 已知： 如图所示， 关于 x 的抛物线 yax 2x c（a0）与 x 轴交于点 A（2，0），点 B（6，0）， 与 y 轴交于点 C （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的 解析式； （3） 在 （2） 中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M， 抛物线上有一动点P， x 轴上有一动点Q 是 否存在以A、 M、 P、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果 不存在，请说明理由 O A B y C x D E 2 B A y O C x 8 综合练习： 1、平面

13、直角坐标系xOy 中，抛物线 2 44yaxaxac与 x 轴交于点A、点 B，与 y 轴的正半轴 交于点 C，点A 的坐标为 (1, 0)，OBOC，抛物线的顶点为D。 (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足 APB ACB，求点P的坐标； (3)Q 为线段 BD 上一点，点A 关于 AQB 的平分线的对称点为A，若2QBQA，求点 Q 的坐标和此时QAA的面积。 2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数 2 +2yaxaxc的图像与y轴交于点30，C，与x 轴交于 A、B 两点，点B 的坐标为03，。 （1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标； （2）

14、点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 ：2 的 两部分，求出此时点 M 的坐标； （3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时 CPB的面积最大？最大面积 是多少？并求出此时点P 的坐标。 9 3、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线xx m y2 22 与x轴负半轴交于点A，顶点为B， 且对称轴与x轴交于点C。 （1）求点 B的坐标（用含m的代数式表示）； （2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（ 0，2），求抛物线的解析式； （3）在（ 2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直 线B

15、C上，若以QPMA、为顶点的四边形是平行四边形，求点 P的坐标。 4、已知关于x的方程 2 (1)(4)30m xm x。 （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （ 2） 若正整数 m满足822m ，设二次函数 2 (1)(4)3ym xm x的图象与x轴交于 AB、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一 个新的图象； 请你结合这个新的图象回答：当直线3ykx与此图象恰好有三个公共点时， 求出k的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。 10 5 如图，抛物线y=ax 2+2ax+c（a0 ）与 y 轴交于点 C（0，4），与 x 轴交于

16、点A（ 4，0）和 B （1）求该抛物线的解析式； （2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点Q 作 QEAC ，交 BC 于点 E， 连接 CQ当 CEQ 的面积最大时，求点Q 的坐标； （3）平行于 x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P，与直线 AC 交于点 F， 点 D 的坐标为（ 2，0）问是否有直线l，使 ODF 是等腰三角形？ 若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由 三、中考二次函数代数型综合题 题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧 例 1已知二次函数yx 2( m1)xm2 的图象与x轴相交于A（x1， 0），B（x2，0）两点，且 x1x2 （1）若x1

17、x20，且m为正整数，求该二次函数的表达式； （2）若x1 1，x21，求m的取值范围； （3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由； （4）若过点D（0， 1 2 ）的直线与（ 1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且 MD DN 1 3 ，求该直 线的表达式 题型二、 抛物线与x 轴两交点之间的距离问题 例 2 已知二次函数y= x 2+mx+m-5 ， （1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点； （2）求当 m取何值时，抛物线与x 轴两交点之间的距离最短 11 题型三、抛物线方程的整数解问题 例1已知抛物

18、线 22 2(1)0yxmxm与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 m 5，则 整数 m的值为 _ 例 2已知二次函数yx 22mx4m8 （1）当 x2 时，函数值y 随 x 的增大而减小，求m 的取值范围； （2）以抛物线yx 22mx4m8 的顶点 A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN（M，N 两点 在拋物线上），请问：AMN的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说 明理由； （3）若抛物线yx 22mx4m8 与 x轴交点的横坐标均为整数， 求整数 m 的值 题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合 例 1已知抛物线 2 yxb

19、xc（其中 b0，c0）与 y 轴的交点为A，点 A 关于抛物线对称轴的 对称点为B(m,n)，且 AB=2. (1)求 m,b 的值 (2)如果抛物线的顶点位于x 轴的下方，且BO=20。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒： 请画图思考） 题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等） 例 1已知：二次函数 2 y4xxm的图象与 x 轴交于不同的两点A （ 1 x，0）、B（ 2 x，0）（ 1 x 2 x），其顶点是点C ，对称轴与x 轴的交于点D （1）求实数m的取值范围； （2）如果（ 1 x+1）（ 2 x+1）=8，求二次函数的解析式； （3）把

20、（ 2）中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点 1 A、 1 B，顶点为点C1，且 111 A B C是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式 综合提升 A O x y 12 1已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且 |AB| 23，图象的 对称轴为x1 （1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图象都在直线yxm的下方，求m的取值范围 2已知二次函数yx 2 mxm2 （1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB5，求m的值； （2） 设该二次函数图象与y轴的交点为C， 二次函数图象上存在关于原

21、点对称的两点M、N， 且SMNC 27，求m的值 3. 已知关于x的一元二次方程x 22( k1)xk 20 有两个整数根， k5 且k为整数 （1）求k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数yx 22( k 1)xk 2 的图象沿x 轴向左平移4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式； （3）根据直线yxb与（ 2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围 4已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m （1）若m为定值，求此二次函数的解析式； （2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围； （3）若二次

22、函数的图象截直线yx1 所得线段的长为22，求m的值 四、中考二次函数定值问题 13 1. 如图，已知二次函数L1： y=x 24x+3 与 x 轴交于 AB两点（点 A在点 B左边），与y 轴交于点 C （1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数L2：y=kx 24kx+3k（k0） 写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质； 若直线y=8k 与抛物线L2交于 E、F 两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由 2. 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2，O)、B(2，0)、C(0， l) 三点，过坐标原

23、点O的直 线 y=kx 与抛物线交于M 、N两点分别过点C、D(0， 2) 作平行于x 轴的直线 1 l、 2 l (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以 ON为直径的圆与直线 1 l相切； (3)求线段 MN的长 ( 用 k 表示 ) ，并证明M 、N两点到直线 2 l的距离之和等于线段MN的长 14 3. 如图 1，已知直线y=kx 与抛物线 2422 y=x +x 273 交于点 A（3，6） （1）求直线y=kx 的解析式和线段OA的长度； （2）点 P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线 PM ，交 x 轴于点 M （点 M 、O不重合），交直 线 OA于点 Q ，再过

24、点Q作直线 PM的垂线，交y 轴于点 N试探究：线段QM 与线段 QN的长度之比 是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图 2，若点 B为抛物线上对称轴右侧的点，点 E在线段 OA上（与点 O、A不重合） ，点 D （m ， 0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE= BED= AOD 继续探究：m在什么范围时，符合条件的 E点的个数分别是1 个、 2 个？ 4孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a 0)的性质时，将 一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B 两点， 请解答以下问题： （ 1）若测得OA=OB=22（如图 1），求 a 的值； （ 2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2 所示位置时，过B 作 BFx 轴于点 F，测得 OF=1，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标 ； （ 3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、 B 的连线段总 经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标 FE y x B A O