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1、1 / 17 一.圆地概念 集合形式地概念：1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合； 2.圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合； 3.圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合 轨迹形式地概念： 1.圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,定长为半径地圆； （补充 ）2.垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）； 3.角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线； 4.到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线； 5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行
2、线且到两条直线距离都相等地一条直线. 二.点与圆地位置关系 1.点在圆内dr点C在圆内； 2.点在圆上dr点B在圆上； 3.点在圆外dr点A在圆外； 三.直线与圆地位置关系 1.直线与圆相离dr无交点 ； 2.直线与圆相切dr有一个交点； 3.直线与圆相交dr有两个交点； d r d=r r d 四.圆与圆地位置关系 外离（图 1）无交点dRr； r d d C B A O 2 / 17 外切（图 2）有一个交点dRr； 相交（图 3）有两个交点RrdRr； 内切（图 4）有一个交点dRr； 内含（图 5）无交点dRr； 图1 r R d 图3 rR d 五.垂径定理 垂径定理：垂直于弦地直径
3、平分弦且平分弦所对地弧. 推论 1： （1）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦,并且平分弦所对地两条弧； （2）弦地垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对地两条弧； （3）平分弦所对地一条弧地直径,垂直平分弦 ,并且平分弦所对地另一条弧 以上共 4 个定理 ,简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中 ,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论 ,即： AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD 中任意 2 个条件推出其他3 个结论 . 推论 2：圆地两条平行弦所夹地弧相等. 即：在O中,ABCD 弧AC弧BD 六.圆心角定理 图 2 r R d 图4 r R d 图5 r R d
4、O E DC B A O C D A B 3 / 17 圆心角定理： 同圆或等圆中 ,相等地圆心角所对地弦相等,所对地弧相等 ,弦心距相等. 此 定理也称 1 推 3 定理 ,即上述四个结论中, 只要知道其中地1 个相等 ,则可以推出其它地3 个结论 , 即：AOBDOE； ABDE； OCOF；弧BA弧BD 七.圆周角定理 1.圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半. 即：AOB和ACB是弧AB所对地圆心角和圆周角 2AOBACB 2.圆周角定理地推论： 推论 1：同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中,相等地圆周角所对地弧是等弧； 即：在O中 ,C.D都是所对地圆周角 C
5、D 推论2：半圆或直径所对地圆周角是直角；圆周角是直角所对地弧是半圆 ,所对地弦是直径. 即：在O中 ,AB是直径或90C 90CAB是直径 推论 3：若三角形一边上地中线等于这边地一半,那么这个三角形是直角三角形 . 即：在ABC中,OCOAOB ABC是直角三角形或90C 注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理. 八.圆内接四边形 F E D C B A O C B A O D C B A O C BA O C BA O 4 / 17 圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补,外角等于它地内对角. 即：在O中, 四边形ABCD是内接四边
6、形 180CBAD180BD DAEC 九.切线地性质与判定定理 （1）切线地判定定理：过半径外端且垂直于半径地直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O地切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点地半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线地直线必过切点. 推论 2：过切点垂直于切线地直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个. 十.切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆地两条切线,它们地切线长相等,这点和圆心地连线平分两条 切线地夹角 . 即：PA.P
7、B是地两条切线 PAPB PO平分BPA E D C B A NM A O P B A O 5 / 17 十一 .圆幂定理 （1） 相交弦定理 ：圆内两弦相交,交点分得地两条线段地乘积相等. 即：在O中 ,弦AB.CD相交于点P, PA PBPC PD （2）推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦地一半是它分直径所成地两条线段地比例中项. 即：在O中 ,直径ABCD, 2 CEAE BE （3） 切割线定理 ：从圆外一点引圆地切线和割线,切线长是这点到割线与圆交 点地两条线段长地比例中项. 即：在O中 ,PA是切线 ,PB是割线 2 PAPC PB （4） 割线定理 ：从圆外一点引圆地两条割线,这
8、一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等（如上图）. 即：在O中 ,PB.PE是割线 PC PBPD PE 十二 .两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公共弦 . 如图：12OO垂直平分AB. 即： 1 O. 2 O相交于A.B两点 12 OO垂直平分AB 十三 .圆地公切线 两圆公切线长地计算公式： P O D C B A OE D C B A D E C B P A O B A O1 O2 C O2 O1 B A 6 / 17 （1）公切线长： 12 RtO O C 中 , 2222 1122 ABCOO OCO； （2）外公切线长： 2 CO是半径之差
9、；内公切线长： 2 CO是半径之和 . 十四 .圆内正多边形地计算 （1）正三角形 在O中ABC是正三角形,有关计算在Rt BOD中进行： :1:3 :2ODBD OB； （2）正四边形 同理 ,四边形地有关计算在 Rt OAE中进行 ,:1:1:2OEAE OA ： （3）正六边形 同理 ,六边形地有关计算在Rt OAB中进行 ,:1:3: 2AB OB OA. 十五 .扇形 .圆柱和圆锥地相关计算公式 1.扇形： （1）弧长公式： 180 n R l； （2）扇形面积公式： 2 1 3602 n R SlR n：圆心角R：扇形多对应地圆地半径l：扇形弧长S：扇形面积 2012数学中考圆综合
10、题 1如图 ,ABC 中,以 BC 为直径地圆交AB 于点 D,ACD=ABC （1）求证： CA 是圆地切线； D C B A O E CB AD O B A O Sl B A O 7 / 17 （2）若点 E 是 BC 上一点 ,已知 BE=6,tanABC= 3 2 ,tan AEC= 3 5 ,求圆地直径 2 如图 ,已知 AB 是 O 地弦 ,OB2,B30,C 是弦 AB 上地任意一点（不与点A.B 重合） ,连接 CO 并延长 CO 交于 O 于点 D,连接 AD (1)弦长 AB 等于（结果保留根号） ； (2)当 D20时 ,求 BOD 地度数； (3)当 AC 地长度为多少
11、时 ,以 A.C.D 为顶点地三角形与以B.C.O 为顶点地三角形相似？请写出解答过程 3. 如图右 , 已知直线PA交 0 于 A.B 两点 ,AE 是 0 地直径点C为 0 上一点 , 且 AC平 分 PAE,过 C作 CD PA,垂足为 D. (1) 求证： CD为 0 地切线； 8 / 17 (2) 若 DC+DA=6, 0 地直径为l0, 求 AB地长度 . 1. (1)证明：连接OC, 点 C在 0 上,0A=OC, OCA= OAC, CD PA, CDA=90 , 有 CAD+ DCA=90 , AC平分 PAE, DAC= CAO. DC0= DCA+ ACO= DCA+ C
12、AO= DCA+ DAC=90 . 又点 C在 O上,OC 为 0 地半径 , CD为 0 地切线 (2) 解：过 0 作 0F AB,垂足为 F, OCA= CDA= OFD=90 , 四边形 OCDF 为矩形 , 0C=FD,OF=CD. DC+DA=6, 设 AD=x,则 OF=CD=6-x, O地直径为10, DF=OC=5, AF=5-x, 在 RtAOF中, 由勾股定理得 222 AF +OF =OA . 即 22 (5)(6)25xx, 化简得： 2 11180xx 解得2x或9x. 由 ADDF,知05x, 故2x. 从而 AD=2, AF=5-2=3. OF AB,由垂径定理
13、知,F 为 AB地中点 , AB=2AF=6. 4 （已知四边形ABCD 是边长为 4 地正方形 ,以 AB 为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上地动点（不与点A.B 重合） ,连 接 PA.PB.PC.PD (1)如图 ,当 PA 地长度等于时,PAB60； 当 PA 地长度等于时,PAD 是等腰三角形； (2)如图 ,以 AB 边所在直线为x 轴 .AD 边所在直线为y 轴,建立如图所 示地直角坐标系（点 A 即为原点 O）,把 PAD. PAB.PBC 地面积 分别记为S1.S2.S3坐标为（ a,b）,试求 2 S1 S3S22地最大值 ,并求出 此时 a,b 地值 5. 9 / 17
14、 6.（11 金华）如图 ,射线 PG 平分 EPF,O 为射线 PG 上一点 ,以 O 为圆心 ,10 为半径作 O,分别与 EPF 地两边相交于 10 / 17 A.B 和 C.D,连结 OA,此时有 OA/PE （1）求证： AP=AO； （2）若 tanOPB= 1 2 ,求弦 AB 地长； （3）若以图中已标明地点（即P.A.B.C.D.O）构造四边形 ,则能构成菱形地四个点为,能构成等腰梯形地四个点为 或或 . （1） PG 平分 EPF, DPO=BPO , OA/PE , DPO=POA , BPO=POA,PA=OA； 2 分 （2）过点 O 作 OHAB 于点 H,则 AH
15、=HB= 1 2 AB, 1 分 tanOPB= 1 2 OH PH ,PH=2OH, 1 分 设 OH=x,则 PH=2x, 由（ 1）可知 PA=OA= 10 ,AH =PHPA=2x10, 222 AHOHOA, 222 (210)10xx, 1 分 解得 1 0x（不合题意 ,舍去） , 2 8x, AH=6, AB= 2AH= 12； 1 分 （3）P.A.O.C；A.B.D.C 或 P.A.O.D 或 P.C.O.B. 7 （芜湖市）（本小题满分12 分） 如图 ,BD 是 O 地直径 ,OAOB,M 是劣弧 AB 上一点 ,过点 M 点作 O 地切线 MP 交 OA 地延长线于P
16、 点 ,MD 与 OA 交于 N 点 （1）求证： PM PN； （2）若 BD4,P A 3 2 AO,过点 B 作 BCMP 交 O 于 C 点,求 BC 地长 8（黄冈市） （6 分） 如图 , 点 P为 ABC地内心 , 延长 AP交 ABC地外接圆于D,在 AC延长线上有一点E,满足 AD 2 AB AE, 求证： DE是 O地切线 . P A B C O D E F G 第 21 题图 H P A B C O D E F G 11 / 17 （证明：连结DO, AD 2 AB AE,BAD DAE, BAD DAE, ADB E. 又 ADB ACB, ACB E,BC DE, 又
17、 OD BC,OD DE,故 DE是 O地切线） 9 （ 义 乌 市 ） 如 图 , 以 线 段AB为 直 径 地 O交 线 段AC于 点E, 点M是 ? AE 地 中 点 ,OM交AC于 点 D,60BOE, 1 cos 2 C,2 3BC （1）求A地度数； （2）求证：BC是O地切线； （3）求 ? MD地长度 （解：（1）BOE=60A 1 2 BOE 30 （2）在ABC中 1 cos 2 CC=60 1 分又A 30 ABC=90ABBC 2 分BC是O地切线 （3） 点M是 ? AE 地中点OMAE在 RtABC中 2 3BCAB=tan602 33BCg6 OA= 3 2 AB
18、 OD= 1 2 OA 3 2 MD= 3 2 ） 10. （兰州市） （本题满分 10 分） 如图 , 已知 AB是 O地直径 , 点 C在 O上, 过点 C地直线与 AB地延长线交于点P,AC=PC, COB=2 PCB. （1）求证： PC是 O地切线；（ 2）求证： BC=2 1 AB ； （3）点 M是弧 AB地中点 ,CM交 AB于点 N,若 AB=4,求 MN MC地值 . 解： （1） OA=OC, A=ACO COB=2 A , COB=2 PCB A= ACO= PCB AB是 O地直径 ACO+ OCB=90 PCB+ OCB=90 , 即 OC CP OC是 O地半径P
19、C是 O地切线 （2） PC=AC A=P A=ACO= PCB= P COB= A+ACO,CBO= P+PCB CBO= COB BC=OC BC=2 1 AB (3)连接 MA,MB 点 M是弧 AB地中点弧 AM= 弧 BM ACM= BCM ACM= ABM BCM= ABM BMC= BMN MBN MCB BM MN MC BM BM 2 =MC MN AB是 O地直径 , 弧 AM= 弧 BM AMB=90 ,AM=BM AB=4 BM= 22 MC MN=BM 2=8 11 （本题满分14 分） O BA C E M D 12 / 17 如图（ 1）,两半径为r地等圆 1 O
20、e和 2 Oe相交于 MN，两点 ,且2 Oe过点 1 O过M点作直线 AB垂直于MN,分别交 1 Oe和 2 Oe于AB，两点 ,连结NANB， （1）猜想点 2 O与 1 Oe有什么位置关系,并给出证明； （2）猜想 NAB 地形状 ,并给出证明； （3）如图（ 2）,若过M地点所在地直线AB不垂直于MN, 且点A B， 在点M地两侧 ,那么（ 2）中地结论是否成立,若成立请给出证明 4. （1） 2 O在 1 Oe上证明： 2 OQ e过点 1 O, 12 O Or又 1 OQ e地半径也是r,点 2 O在 1 Oe上 （2）NAB是等边三角形证明：MNABQ,90NMBNMA o BN
21、是2Oe地直径 ,AN是1Oe地直径 ,即2BNANr,2O在BN上,1O在AN上 连结 12 OO,则 12 O O是NAB地中位线 12 22ABO Or ABBNAN,则NAB是等边三角形 （3）仍然成立证明：由（2）得在 1 Oe中 ? MN所对地圆周角为60 o 在 2 Oe中 ? MN所对地圆周角为60 o 当点AB，在点M地两侧时 , 在 1 Oe中 ? MN所对地圆周角60MAN o ,在 2 Oe中 ? MN所对地圆周角60MBN o , NAB是等边三角形 12如图 12,已知：边长为1 地圆内接正方形ABCD中,P为边CD地中点 ,直线AP交圆于E点 O2 O1 N M
22、B A 图（ 1） O2 O1 N M B A 图（ 2） 13 / 17 （1）求弦 DE地长 （2）若Q是线段BC上一动点 ,当BQ长为何值时 ,三角形ADP与以QCP，为顶点地三角形相似 1）如图 1过D点作DFAE于F点在RtADP中, 225 2 APADDP 又 11 22 ADPSAD DPAP DFQgg 5 5 DF ? ADQ地度数为90 o 45DEA o10 2 5 DEDF （2）如图 2当RtRtADPQCP时有 ADDP QCCP 得：1QC即点Q与点B重合 , 0BQ如图 3,当RtRtADPPCQ时,有 ADPD PCQC 得 1 4 QC ,即 3 4 BQ
23、BCCQ 当0BQ或 3 4 BQ时,三角形ADP与以点QCP，为顶点地三角形相似 13. （本小题满分10 分）如图 ,O 是 RtABC 地外接圆,AB 为直径,ABC=30 ,CD 是O 地切线,EDAB于 F, (1)判断 DCE 地形状； (2)设 O 地半径为1,且 OF= 2 13 ,求证 DCE OCB 6. 解： (1) ABC=30 , BAC=60 又 OA=OC, AOC 是正三角形 又 CD 是切线 , OCD=90 , DCE=180 -60 -90 =30 而 EDAB 于 F, CED=90 -BAC=30 故 CDE 为等腰三角形 (2)证明：在 ABC 中,
24、AB=2,AC=AO=1, BC= 22 12=3 OF= 2 13 , AF=AO+OF= 2 13 又 AEF=30 ,AE=2AF=3+1 CE=AE-AC=3=BC 而OCB=ACB- ACO=90- 60=30=ABC, 故CDECOB. 14（08 湖北襄樊24 题） 8 （本小题满分10 分） B A D E P C 图 12 第 6 题图 A B D E O F C B A D E P C 5 题图 1 F B A D E P C 5 题图 2 Q B A D E P C 5题图 3 （Q 14 / 17 如图 14,直线AB经过 Oe 上地点C,并且OA OB,CACB,Oe
25、 交直线 OB于ED， ,连接EC CD， （1）求证：直线AB是Oe地切线； （2）试猜想BCBDBE，三者之间地等量关系,并加以证明； （3）若 1 tan 2 CED,Oe地半径为3,求OA地长 （1）证明：如图3,连接OCOAOBQ,CACB,OCAB AB是Oe地切线 （2） 2 BCBD BEgEDQ是直径 ,90ECD o 90EEDC o 又90BCDOCD o Q,OCDODC, BCDE 又 CBDEBCQ , BCDBEC BCBD BEBC 2 BCBD BEg （3） 1 tan 2 CEDQ, 1 2 CD EC BCDBECQ, 1 2 BDCD BCEC 设BD
26、x,则2BCx又 2 BCBD BEg, 2 (2 )(6)xxxg 解之 ,得 1 0x, 2 2x0BDxQ,2BD325OAOBBDOD 15 如图 14, 直线AB经过Oe上地点C, 并且OAOB,CACB,Oe交直线OB于ED，, 连接ECCD， （1）求证：直线AB是Oe地切线； （2）试猜想 BCBDBE， 三者之间地等量关系, 并加以证明； （3）若 1 tan 2 CED,Oe地半径为3, 求OA地长 4 解： （1）证明：如图3, 连接OC OAOBQ ,CA CB,OCABAB是Oe 地切线 （2） 2 BCBD BEgEDQ是直径 ,90ECD o 90EEDC o 又
27、90BCDOCD o Q,OCDODC,BCDE 又CBDEBCQ,BCDBEC BCBD BEBC 2 BCBD BEg （3） 1 tan 2 CEDQ, 1 2 CD EC BCDBECQ, 1 2 BDCD BCEC 设BDx, 则2BCx又 2 BCBD BEg, 2 (2 )(6)xxxg 解之 ,得 1 0x, 2 2x0BDxQ,2BD325OAOBBDOD 5 O地半径OD经过弦AB( 不是直径 ) 地中点C, 过AB地延长线上一点P作O地切线PE,E为切点 ,PEOD；延长直径 15 / 17 (5题) P E D KH G C A B F O AG交PE于点H；直线DG交
28、OE于点F, 交PE于点K （1）求证：四边形OCPE是矩形；（2）求证：HKHG；（3）若EF2,FO1, 求KE地长 5 解： (1)ACBC,AB 不是直径 ,ODAB,PCO90 (1 分) PEOD, P90 ,PE 是切线 , PEO 90 ,(2 分) 四边形OCPE 是矩形 .(3 分) (2)OGOD, OGD ODG.PEOD, K ODG.(4 分) OGD HGK, K HGK, HKHG.(5 分) (3)EF 2,OF1,EODO 3.(6 分)PEOD, KEO DOE ,K ODG. OFD EFK,(7 分)EFOFKEOD21,KE6.(8 分) 6 如图
29、, 直角坐标系中, 已知两点 O(0,0) A(2,0),点 B在第一象限且OAB为正三角形 , OAB 地外接圆交y轴地正半轴 于点 C,过点 C地圆地切线交X轴于点 D （1）求BC，两点地坐标；（2）求直线CD地函数解析式； （3）设E F， 分别是线段 ABAD， 上地两个动点, 且EF平分四边形 ABCD地周长 试探究：AEF地最大面积？ 6 （1）(2 0)AQ，, 2OA 作BG OA于G,OABQ 为正三角形 , 1OG,3BG(13)B ，连AC,90AOC o Q,60ACOABO o , 2 3 tan30 3 OCOA o 2 3 0 3 C， （2）90AOC o Q
30、,AC是圆地直径 ,又CDQ是圆地切线 ,CDAC 30OCD o , 2 tan30 3 ODOC o 2 0 3 D， 设直线CD地函数解析式为(0)ykxb k, 则 2 3 3 2 0 3 b kb ,解得 3 2 3 3 k b 直线CD地函数解析式为 2 3 3 3 yx （3） 2ABOAQ , 2 3 OD, 4 2 3 CDOD, 2 3 3 BCOC,四边形ABCD地周长 2 3 6 3 设AEt,AEF地面积为S,则 3 3 3 AFt, 133 sin603 243 SAF AEtt o g 2 3339373 3 434632 StttQ 当 93 6 t时, max
31、 733 128 S Q点EF， 分别在线段ABAD，上, 02 32 032 33 t t ,解得 13 2 3 t 93 6 tQ满足 13 2 3 t , AEF地最大面积为 7 33 128 7 如图（18）, 在平面直角坐标系中,ABC地边AB在x轴上 , 且OAOB, 以AB为直径地圆过点C若点C地坐 6题 （第 6 题） 16 / 17 标为(0 2)，,5AB,A.B 两点地横坐标 Ax,Bx是关于x地方程 2 (2)10xmxn地两根 （1）求m.n地值； （2）若ACB平分线所在地直线l交x轴于点D, 试求直线l对应地一次函数解析式； （3）过点D任作一直线l分别交射线CA
32、.CB（点C除外）于点M.N则 11 CMCN 地是否为定值？若是, 求出 该定值；若不是, 请说明理由 7 解： （1）Q以AB为直径地圆过点C,90ACB o , 而点C地坐标为(0 2)，, 由COAB易知AOCCOB, 2 COAO BOg, 即：4(5)AOAOg, 解之得：4AO或1AOOAOBQ,4AO, 即41 ABxx， 由根与系数关系有： 2 1 AB AB xxm xxng , 解之5m,3n （2）如图（ 3）, 过点D作DEBC, 交AC于点E, 易知DEAC, 且45ECDEDC o , 在ABC中, 易得2 55ACBC，, ADAE DEBC DBEC Q，,
33、ADAE DEEC BDDE Q，, 又AEDACB, 有 AEAC EDBC ,2 ADAC DBBC , 5 5 3 ABDBQ，,则 2 3 OD, 即 2 0 3 D ，, 易求得直线l对应地一次函数解析式为： 32yx 解法二：过D作DEAC于E,DFCN于F, 由 ACDBCDABC SSS , 求得 2 5 3 DE 又 11 22 BCD SBD COBC DFgg 求得 52 33 BDDO，即 2 0 3 D ，, 易求直线l解析式为：32yx （3）过点D作DEAC于E,DFCN于FCDQ为ACB地平分线 ,DEDF 由MDEMNC, 有 DEMD CNMN 由DNFMN
34、C, 有 DFDN CMMN 1 DEDFMDDN CNCMMNMN , 即 1113 5 10CMCNDE 8 如图 , 在ABC中90ACB o, D是AB地中点 , 以DC为直径地Oe交 ABC地三边 , 交点分别是GFE， ，点GECD，地交点为M, 且4 6ME, :2:5MD CO （1）求证：GEFA （2）求Oe地直径CD地长 8 （1）连接DFCDQ是圆直径 ,90CFD o, 即 DFBC 90ACB o Q,DFACBDFAQ在Oe中BDFGEF,GEFA2 分 （2）DQ是RtABC斜边AB地中点 ,DCDA,DCAA, 又由（ 1）知GEFA,DCAGEF y x 图（ 3） N B A C O D M E F (0，2) l l E A D G B F C O M 第 25 题图 17 / 17 又OMEEMCQ,OME与EMC相似 OMME MEMC 2 MEOMMC4 分 又4 6MEQ, 2 (46)96OMMC :2:5MD COQ,:3: 2OMMD,:3:8OMMC设3OMx,8MCx,3896xx,2x 直径1020CDx