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1、旋转的模型及例题 （一）夹半角模型 已知： 正方形 ABCD中，EAF=45，求证： （1）BE+DF=EF ； （2）EFC周长等于2 倍边长； 方法：将 ADF 绕 A 点顺时针旋转90，使得 AD与 AB重合，然后证AEF AEG ；证得 BE+DF=EF 例题：已知 BAC=45BD=4，CD=6，求 ABC的面积？ 解析：将 ABD 和 ADC分别关于AB、AC对称，构造夹半角模型 例题：如图 1 ， 正方形 ABCD 中，MN，分别是 BCCD，边上的两点， 且45MAN ?， 连结 MN ，请写出 BMMNDN， 之间的熟练关系并证明； 如图 2，ABC中，90ABACBAC，?
2、， MN，为 BC 上两点，且45MAN?， 请写出线段BMMNCN，之间的数量关系，并证明； （3） 如图 3，在（1）中，若点M在 CB 延长线上， N 在 DC 延长线上， 其他条件不变， (1)中的结论变化吗？ （4） 如图 4，在(2)中若点M在 CB 的延长线上， 其它条件不变， (2)中的结论还成立吗？ 请证明你的结论； 解析：都是通过旋转得来！ D A B C D A B G C E F C A B G D F E C A B D F E 推广：一般的夹半角模型 例题： 边长为 2m 的等边ABC的两边 ABAC、上分别有两点MN、，点D为平面内 一点，60MDN，120BDC
3、BDCD，当点M在线段 AB上运动时， 探索AMN 的周长与ABC边长的关系 如图 1，当点D在ABC外时，AMN的周长是否发生变化？请证明你的结论 如图 2，当点D在ABC内时，中的结论是否成立？若成立，请求出此时AMN的 周长；若不成立，请说明理由 如图 3，ABC是满足60BAC的任意三角形，其中BCaACbABc，D是 ABC与ACB 平分线的交点，MN、分别在 ABAC、上，且60MDN当点M在线 段AB上运动时，猜想AMN的周长是否发生变化？若不变，请直接写出AMN的周长 （用 abc， ， 表示，不需要化简） ；若变化，请说明理由 （二）手拉手模型 等边三角形 A D B C M
4、 N 图3图2图1 A BC D M N N M D CB A N M D CB A M F N E C A BD 条件： AB=AD， B+D=180， 2MAN=BAD 结论： BM+DN=MN C A B D M N 条件： ABC是等边三角形， BD=CD ，BDC=120 MDN=60 结论： BM+CN=MN AMN 的周长 =2 倍边长 结论： （1） BCE ACD， BCM CAN， MCE NCD （2）AD=BE, AFB=60 （3） MCN 为等边三角形 （4）MNBD (5)CF为 BFD的角平分线 （6）FC+FE=FD 结论： （1） BCE ACD （2） A
5、D=BE, AFB=60 （3） CF为 BFD的角平分线 F E C A B D 正方形中的旋转 例题：如图， 已知四边形ABCD中，AD=CD ，ABC=75，ADC=60，AB=2，BC= 2 （1）以线段 BD、AB、BC作为三角形的三边， 1 则这个三角形为_三角形，（锐角、直角、钝角） 2 求 BD 边所对的角的度数。 （2）求四边形ABCD的面积 . 已知：2PA，4PB，以AB为一边作正方形ABCD， 使P、D两点落在直线AB的两侧 . （1）如图，当APB=45时，求AB及PD的长； （2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应APB的大小 . CEB AD F G 结论： （1） BGC DEC （2） BG=DE,BG DE 结论：（1） BGC DEC （2） BG=DE,BG DE M B E F C D G A A D B C