北师大版七年级下册数学培优压轴题教学文稿.pdf

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1、北 师 大 版 七 年 级 下 册 数 学 培 优 压 轴 题 北师大版七年级下册数学培优压轴题 一解答题（共 8 小题） 1已知四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=120 ，MBN=60 ，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F 当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1），易证 AE+CF=EF； 当MBN 绕 B 点旋转到 AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量 关系？请写出你的猜想，不需证明 2（1）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，B

2、=D=90 ，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 EAF=BAD 求证： EF=BE+FD； （2）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，B+D=180 ，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 EAF=BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，B+ADC=180 ，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的点，且 EAF=BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 3如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和 DEC 重合放置，其中 C=90 ，B=E=30 （1）操作发现 如

3、图 2，固定 ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填 空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是； 设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系 是 （2）猜想论证 当DEC 绕点 C旋转到如图 3所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量 关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你 证明小明的猜想 （3）拓展探究 已知ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4，DEAB 交 BC 于点 E （如图 4）若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的

4、BF 的长 4如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P是 AB 上的动点（ P不与 A，B 重 合），分别以 AP、PB 为边向线段 AB 的同一侧作正 APC 和正PBD （1）当APC 与PBD 的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果） （2）连接 AD、BC，相交于点 Q，设AQC= ，那么 的大小是否会随点P 的移动而变化？请说明理由； （3）如图 2，若点 P固定，将 PBD 绕点 P按顺时针方向旋转（旋转角小于 180 ），此时 的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明） 5如图 1，RtABC 中 AB=AC ，点 D、E 是线段 AC 上两动点，且 AD=

5、EC， AM 垂直 BD，垂足为 M，AM 的延长线交 BC 于点 N，直线 BD 与直线 NE 相 交于点 F试判断 DEF 的形状，并加以证明 说明：（ 1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程 中的某种思路写出来（要求至少写3 步）；（ 2）在你经历说明（ 1）的过程之 后，可以从下列 、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明 1、画出将 BAD 沿 BA 方向平移 BA 长，然后顺时针旋转90 后图形； 2、点 K 在线段 BD 上，且四边形 AKNC 为等腰梯形（ ACKN，如图 2） 附加题：如图 3，若点 D、E是直线 AC 上两动点，其他条件不变，试

6、判断 DEF 的形状，并说明理由 6如图，已知等边三角形ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 的中 点，M 为直线 BC 上一动点， DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， DMN 也随之整体移动） （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断EN 与 MF 有怎样的数量关系？ 点 F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图 2，当点 M 在 BC上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的 数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图3 中画出相应的图

7、形，并判断（1）的结 论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证 明或说明理由 7已知：等边三角形ABC （1）如图 1，P 为等边ABC 外一点，且 BPC=120 试猜想线段 BP、PC、 AP 之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图 2，P 为等边ABC 内一点，且 APD=120 求证： PA+PD+PC BD 8认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开 式，如：（ a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b） =a3+3a 2b+3ab2+b3

8、， 下面我们依次对（ a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n 取正整数时 可以单独列成表中的形式： 上面的多项式展开系数表称为“ 杨辉三角形 ” ；仔细观察 “ 杨辉三角形 ” ，用你发 现的规律回答下列问题： （1）多项式（ a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和 （3）结合上述材料，推断出多项式（a+b） n（n取正整数）的展开式的各项系 数之和为 S，（结果用含字母n的代数式表示） 2018 年 05 月 08日 wujun 的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题（共 8 小题） 1已知四边形 AB

9、CD 中，AB=BC，ABC=120 ，MBN=60 ，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F 当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1），易证 AE+CF=EF； 当MBN 绕 B 点旋转到 AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量 关系？请写出你的猜想，不需证明 【解答】 解：ABAD ，BCCD，AB=BC ，AE=CF， 在ABE 和CBF 中， ， ABECBF（SAS）； ABE=CBF，BE=BF； ABC=120 ，MBN=60 ， ABE=

10、CBF=30 ， AE=BE，CF=BF； MBN=60 ，BE=BF， BEF 为等边三角形； AE+CF=BE+BF=BE=EF； 图 2 成立，图 3 不成立 证明图 2 延长 DC 至点 K，使 CK=AE，连接 BK， 在BAE 和BCK 中， 则BAE BCK， BE=BK，ABE= KBC， FBE=60 ，ABC=120 ， FBC+ABE=60 ， FBC+KBC=60 ， KBF=FBE=60 ， 在KBF 和EBF 中， KBFEBF， KF=EF， KC+CF=EF， 即 AE+CF=EF 图 3 不成立， AE、CF、EF 的关系是 AECF=EF 2（1）如图，在四

11、边形ABCD 中，AB=AD ，B=D=90 ，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 EAF=BAD 求证： EF=BE+FD； （2）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，B+D=180 ，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 EAF=BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，B+ADC=180 ，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的点，且 EAF=BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 【解答】 证明：（ 1）延长 EB 到 G，使 BG=DF，连接 AG ABG=AB

12、C=D=90 ，AB=AD ， ABGADF AG=AF，1=2 1+3=2+3=EAF=BAD GAE=EAF 又AE=AE， AEGAEF EG=EF EG=BE+BG EF=BE+FD （2）（1）中的结论 EF=BE+FD 仍然成立 （3）结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BEFD 证明：在 BE 上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG B+ADC=180 ，ADF+ADC=180 ， B=ADF AB=AD ， ABGADF BAG=DAF，AG=AF BAG+EAD=DAF+EAD =EAF=BAD GAE=EAF AE=AE， AEGAEF EG=EF EG=BEB

13、G EF=BEFD 3如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和 DEC 重合放置，其中 C=90 ，B=E=30 （1）操作发现 如图 2，固定 ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填 空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是DEAC； 设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 S1=S2 （2）猜想论证 当DEC 绕点 C旋转到如图 3所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量 关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你 证明小明的猜想 （3）拓展探究 已知ABC=60 ，

14、点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4，DEAB 交 BC 于点 E （如图 4）若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF 的长 【解答】 解：（ 1） DEC 绕点 C旋转点 D 恰好落在 AB 边上， AC=CD， BAC=90 B=90 30 =60 ， ACD 是等边三角形， ACD=60 ， 又CDE=BAC=60 ， ACD=CDE， DEAC； B=30 ，C=90 ， CD=AC=AB， BD=AD=AC ， 根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC、AD 上的高相等， BDC 的面积和 AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

15、即 S1=S2； 故答案为： DEAC；S1=S2； （2）如图， DEC 是由ABC 绕点 C 旋转得到， BC=CE，AC=CD， ACN+BCN=90 ，DCM+BCN=180 90 =90 ， ACN=DCM， 在ACN 和DCM 中， ， ACNDCM（AAS）， AN=DM ， BDC 的面积和 AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即 S1=S2； （3）如图，过点 D 作 DF1BE，易求四边形 BEDF1是菱形， 所以 BE=DF1，且 BE、DF1上的高相等， 此时 SDCF1=SBDE； 过点 D 作 DF2BD， ABC=60 ，F1DBE， F2F1D=

16、ABC=60 ， BF1=DF1，F1BD=ABC=30 ，F2DB=90 ， F1DF2=ABC=60 ， DF1F2是等边三角形， DF1=DF2， BD=CD，ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点， DBC=DCB=60 =30 ， CDF1=180 BCD=180 30 =150 ， CDF2=360 150 60 =150 ， CDF1=CDF2， 在CDF1和CDF2中， ， CDF1CDF2（SAS）， 点 F2也是所求的点， ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点， DEAB， DBC=BDE=ABD=60 =30 ， 又BD=4， BE=4cos30 =2=， BF1=

17、，BF2=BF1+F1F2=+=， 故 BF 的长为或 4如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P是 AB 上的动点（ P不与 A，B 重 合），分别以 AP、PB 为边向线段 AB 的同一侧作正 APC 和正PBD （1）当APC 与PBD 的面积之和取最小值时，AP=a；（直接写结果） （2）连接 AD、BC，相交于点 Q，设AQC= ，那么 的大小是否会随点P 的移动而变化？请说明理由； （3）如图 2，若点 P固定，将 PBD 绕点 P按顺时针方向旋转（旋转角小于 180 ），此时 的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明） 【解答】 解：（ 1）设 AP 的长是 x

18、，则 BP=2ax， SAPC+SPBD=x?x+（2ax）?（2ax） =x2ax+a 2， 当 x=a时APC 与PBD 的面积之和取最小值， 故答案为： a； （2） 的大小不会随点P的移动而变化， 理由： APC 是等边三角形， PA=PC，APC=60 ， BDP 是等边三角形， PB=PD，BPD=60 ， APC=BPD， APD=CPB， APDCPB， PAD=PCB， QAP+QAC+ACP=120 ， QCP+QAC+ACP=120 ， AQC=180 120 =60 ； （3）此时 的大小不会发生改变，始终等于60 理由： APC 是等边三角形， PA=PC，APC=6

19、0 ， BDP 是等边三角形， PB=PD，BPD=60 ， APC=BPD， APD=CPB， APDCPB， PAD=PCB， QAP+QAC+ACP=120 ， QCP+QAC+ACP=120 ， AQC=180 120 =60 5如图 1，RtABC 中 AB=AC ，点 D、E 是线段 AC 上两动点，且 AD=EC， AM 垂直 BD，垂足为 M，AM 的延长线交 BC 于点 N，直线 BD 与直线 NE 相 交于点 F试判断 DEF 的形状，并加以证明 说明：（ 1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程 中的某种思路写出来（要求至少写3 步）；（ 2）在你经

20、历说明（ 1）的过程之 后，可以从下列 、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明 1、画出将 BAD 沿 BA 方向平移 BA 长，然后顺时针旋转90 后图形； 2、点 K 在线段 BD 上，且四边形 AKNC 为等腰梯形（ ACKN，如图 2） 附加题：如图 3，若点 D、E是直线 AC 上两动点，其他条件不变，试判断 DEF 的形状，并说明理由 【解答】 解：DEF是等腰三角形 证明：如图，过点C 作 CPAC，交 AN 延长线于点 P RtABC 中 AB=AC BAC=90 ，ACB=45 PCN=ACB，BAD=ACP AM BD ABD+BAM=BAM +CAP=90 ABD

21、=CAP BADACP AD=CP，ADB= P AD=CE CE=CP CN=CN CPNCEN P=CEN CEN=ADB FDE=FED DEF 是等腰三角形 附加题： DEF 为等腰三角形 证明：过点 C 作 CPAC，交 AM 的延长线于点 P RtABC 中 AB=AC BAC=90 ，ACB=45 PCN=ACB=ECN AM BD ABD+BAM=BAM +CAP=90 ABD=CAP BADACP AD=CP，D=P AD=EC，CE=CP 又CN=CN CPNCEN P=E D=E DEF 为等腰三角形 6如图，已知等边三角形ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC

22、，BC 的中 点，M 为直线 BC 上一动点， DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， DMN 也随之整体移动） （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断EN 与 MF 有怎样的数量关系？ 点 F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图 2，当点 M 在 BC上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的 数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图3 中画出相应的图形，并判断（1）的结 论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证 明或

23、说明理由 【解答】 解：（ 1）判断： EN 与 MF 相等（或 EN=MF），点 F 在直线 NE 上， （2）成立 连接 DF，NF，证明 DBM 和DFN 全等（ AAS）， ABC 是等边三角形， AB=AC=BC 又D，E，F 是三边的中点， EF=DF=BF BDM+MDF=60 ，FDN+MDF=60 ， BDM=FDN， 在DBM 和DFN 中， DBMDFN， BM=FN，DFN=FDB=60 ， NFBD， E，F分别为边 AC，BC 的中点， EF是ABC 的中位线， EFBD， F在直线 NE 上， BF=EF， MF=EN （3）如图 ，MF 与 EN 相等的结论仍然

24、成立（或MF=NE 成立） 连接 DF、DE， 由（2）知 DE=DF，NDE=FDM，DN=DM ， 在DNE 和DMF 中， DNEDMF， MF=NE 7已知：等边三角形ABC （1）如图 1，P 为等边ABC 外一点，且 BPC=120 试猜想线段 BP、PC、 AP 之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图 2，P 为等边ABC 内一点，且 APD=120 求证： PA+PD+PC BD 【解答】 猜想： AP=BP+PC， （1）证明：延长 BP 至 E，使 PE=PC，连接 CE， BPC=120 ， CPE=60 ，又 PE=PC， CPE为等边三角形， CP=PE=CE，

25、PCE=60 ， ABC 为等边三角形， AC=BC，BCA=60 ， ACB=PCE， ACB+BCP=PCE+BCP， 即：ACP=BCE， ACPBCE（SAS）， AP=BE， BE=BP+PE， AP=BP+PC （2）证明：在 AD 外侧作等边 AB D， 则点 P在三角形 ADB 外，连接 PB，BC， APD=120 由（1）得 PB =AP +PD， 在PB C中，有 PB +PCCB ， PA+PD+PCCB ， AB D、ABC 是等边三角形， AC=AB，AB =AD， BAC=DAB =60 ， BAC+CAD=DAB +CAD， 即：BAD= CAB ， AB CA

26、DB ， CB =BD ， PA+PD+PCBD 8认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开 式，如：（ a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b） =a3+3a 2b+3ab2+b3， 下面我们依次对（ a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n 取正整数时 可以单独列成表中的形式： 上面的多项式展开系数表称为“ 杨辉三角形 ” ；仔细观察 “ 杨辉三角形 ” ，用你发 现的规律回答下列问题： （1）多项式（ a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； （2）请你预测一下

27、多项式（a+b）n展开式的各项系数之和 （3）结合上述材料，推断出多项式（a+b） n（n取正整数）的展开式的各项系 数之和为 S，（结果用含字母n的代数式表示） 【解答】 解：（ 1）当 n=1 时，多项式（ a+b） 1的展开式是一次二项式，此时 第三项的系数为： 0=， 当 n=2时，多项式（ a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为： 1=， 当 n=3时，多项式（ a+b） 3 的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为： 3=， 当 n=4时，多项式（ a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为： 6=， 多项式（ a+b）n的展开式是一个 n 次 n+1项式，第三项的系数为： ； （2）预测一下多项式（ a+b）n展开式的各项系数之和为：2n； （3）当 n=1时，多项式（ a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21， 当 n=2时，多项式（ a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22， 当 n=3时，多项式（ a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23， 当 n=4时，多项式（ a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24， 多项式（ a+b）n展开式的各项系数之和： S=2 n