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1、二次函数图像及性质 一、二次函数的定义 一般地，形如 2 yaxbx c （ a b c， ， 为常数，0a）的函数称为x的二次函数，其中x为自变量， y为因变量， a、 b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数 注意 ：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 b 、c可以为零二次函数的自变量的取值范围是 全体实数 二、二次函数的图象 1二次函数图象与系数的关系 （ 1） a决定抛物线的开口方向 当0a时，抛物线开口向上；当0a时，抛物线开口向下反之亦然 a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大 温馨提示 ：几条抛物线的解析式中，若 a 相等，则其形
2、状相同，即若a相等，则开口及形状相 同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反 （ 2）b和 a共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴： 2 b x a ） 当0b时，抛物线的对称轴为 y轴； 当a、 b 同号时，对称轴在 y轴的左侧； 当 a、 b 异号时，对称轴在y轴的右侧 （ 3） c的大小决定抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为0 c，） 当 0c 时，抛物线与 y 轴的交点为原点； 当0c时，交点在 y 轴的正半轴； 当0c时，交点在y轴的负半轴 2.二次函数图象的画法 五点绘图法： 利用配方法将二次函数 2 yaxbxc 化为顶点式 2 ()ya xhk ，确定其开口
3、方向、对称轴及顶 点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点 0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点 10x ，20x ，（若与x轴没有 交点，则取两组关于对称轴对称的点） 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 3.点的坐标设法 一次函数yaxb（0a）图像上的任意点可设为 11 xaxb，.其中 1 0x时，该点为直线与y轴 交点 . 二次函数 2 yaxbxc（0a）图像上的任意一点可设为 2 111 xaxbxc，. 10x时，该点为抛 物线与y轴交点，当 1 2 b x a 时，该点为抛
4、物线顶点 点 11xy，关于22xx，的对称点为212122xxyy， 4.二次函数的图象信息 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性 根据抛物线的对称轴判断 2 b a 的大小 根据抛物线与y轴的交点，判断 c的大小 根据抛物线与x 轴有无交点，判断 2 4bac 的正负性 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c， 的等式 根据抛物线的顶点，判断 2 4 4 acb a 的大小 三、二次函数的图象及性质 1 二次函数 2 yax0a（） 的性质： 抛物线 2 yax 的顶点是坐标原点（0，0） ，对称轴是0x（y轴） 函数 2 yax 的图像与a的符号关系 当0a时抛物线开口向上
5、顶点为其最低点； 当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点； 2二次函数 2 (0)yaxc a的性质 3 二次函数 2 yaxbxc0a（ ） 或 2 ()ya xhk （0a）的性质 开口方向： 0 0 a a 向上 向下 对称轴： 2 b x a （或 x h ） 顶点坐标： 2 4 (,) 24 bacb aa （或 ( , ) h k ） 最值： 图1图2 O y x 0a时有最小值 2 4 4 acb a （或 k ） （如图 1） ；0a时有最大值 2 4 4 acb a （或 k ） （如图 2） ； 单调性 (单调性的概念无需掌握)：二次函数 2 yaxbx c （ 0a）的变化
6、情况（增减性） 如图 1 所示，当0a时， 对称轴左侧 2 b x a ，y随着x的增大而减小， 在对称轴的右侧 2 b x a ， y随x的增大而增大； 如图 2 所示，当0a时， 对称轴左侧 2 b x a ， y 随着 x 的增大而增大， 在对称轴的右侧 2 b x a ， y随x的增大而减小； a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a向上00，y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随 x的增大而减小；0x时，y有最小值 0 0a 向下 00，y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随 x的增大而增大；0x时，y有最大值 0 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0c
7、，y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随 x的增大而减小；0x时，y有最小值c 0a向下0c，y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随 x的增大而增大；0x时，y有最大值c 与坐标轴的交点：与y轴的交点： （ 0， C） ；与x轴的交点：使方程 2 0axbxc（或 2 ()0a xhk） 成立的x值 一、二次函数的概念 【例 1】已知函数 2 yaxbxc 当a， b ，c是怎样的数时，它是一次函数？ 当a， b ，c是怎样的数时，它是正比例函数？ 当a， b ，c是怎样的数时，它是二次函数？ 二、二次函数的图象及性质 1、画出函数 2 288yxx的图象，并指出图象顶点坐标、
8、对称轴及函数最值 2、画出函数 2 3(2)1yx的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值 【例 2】已知 2 yaxbx 的图象如下左图所示，则yaxb 的图象一定过（） A.第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【例 3】已知二次函数 2 yaxbxc的图象如下右图所示，则点P abc，在第象限 . 【例 4】函数1yax与 2 10yaxbxa的图象可能是 ( ) 1 A x y O 1 B x y O 1 C x y O 1 D x y O 【例 5】在同一直角坐标系中，函数ymxm 和函数 2 22ymxx（m是常数，且0m）的图象可 能是（） 例题精讲 y x O y x O DCBA x y O x y O x y OO y x