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1、以正方形为载体的中考试题研究课 主备：李维明班级 _姓名 _ 正方形是一种特殊的四边形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身，优美漂亮，是中 考的热点 , 与它有关的中考题经常出现. 正方形是初中数学的重要知识内容，纵观近几年全国各 地中考试题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧 妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平. 方法迁移类： 1. (11 济宁 )数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12， P 为 边 BC 延长线上的一点，E 为 DP 的中点， DP 的垂直平分线交边DC 于 M，交边 AB 的延长
2、 线于 N. 当 CP6 时， EM 与 EN 的比值是多少？ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交 DC，AB 分别于 F， G，如图 2，则可得： DF FC DE EP，因为 DEEP，所以 DFFC .可求出 EF 和 EG 的值，进而 可求得 EM 与 EN 的比值 . (1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了 DPMN 的结论 .你认为小东的这个结论正确吗？ 如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. 图 1 图 2 2. (11 永州 )探究问题： 方法感悟： 如图，在正方形ABCD 中，点 E，F 分别
3、为 DC，BC 边上的点，且满足EAF=45 ，连接 EF，求证 DE+BF=EF 感悟解题方法，并完成下列填空： 将 ADE 绕点 A 顺时针旋转90 得到 ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得： AB=AD， BG=DE， 1=2， ABG=D=90 ， ABG+ABF=90 +90 =180 ， 因此，点G，B，F 在同一条直线上 EAF=45 2+3=BAD EAF=90 45 =45 1=2， 1+3=45 即 GAF=_ 又 AG=AE， AF=AF GAF_ _=EF，故 DE+BF=EF 方法迁移： 如图，将ABCRt沿斜边翻折得到ADC，点 E，F 分别为 DC，B
4、C 边上的点， 且 EAF=1 2 DAB试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想 问题拓展： 如图，在四边形ABCD 中， AB=AD， E， F 分别为 DC,BC 上的点，满足EAF=1 2DAB ， 试猜想当 B 与 D 满足什么关系时， 可使得 DE+BF=EF 请直接写出你的猜想 （不必说明理由） 图 图 图 3. (10 绍兴 ) (1) 如图 1,在正方形ABCD 中 ,点 E、F 分别在边BC、CD 上， AE、BF 交于点 O， AOF 90 . 求证： BECF. (2) 如图 2，在正方形ABCD 中，点 E、H、F、G 分别在边AB、BC、CD、DA
5、 上， EF、GH 交于点 O， FOH90 ， EF4. 求 GH 的长 . (3) 已知点 E、H、F,、G 分别在矩形ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上， EF、GH 交于点 O， FOH90 ，EF 4.直接写出下列两题的答案： 如图 3，矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成,求 GH 的长； 如图 4，矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成,求 GH 的长 (用 n 的代数式表示). 图 1 图 2 图 4 图 3 4. ( 10 无锡 )（1）如图 1，在正方形ABCD 中， M 是 BC 边（不含端点B、C）上任意一点，P 是 BC 延长线上一点，N 是 DCP
6、 的平分线上一点若AMN=90 ，求证： AM=MN 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明 证明：在边AB 上截取 AE=MC，连 ME 正方形ABCD 中， B=BCD=90 ，AB=BC NMC=180 AMNAMB =180 BAMB=MAB=MAE （下面请你完成余下的证明过程） （2）若将（ 1）中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC” （如图 2） ，N 是 ACP 的平分线上 一点，则当AMN=60 时，结论AM=MN 是否还成立？请说明理由 （ 3）若将（ 1）中的“正方形ABCD ”改为“正n边形 ABCD X” ，请你作出猜想： 当
7、AMN= 时，结论AM=MN 仍然成立（直接写出答案，不需要证明） 类似题型 (10 黄冈 )如图，一个含45 的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点 作 EFAE 交 DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与 EF 的数量关系，并说明理由. 5.(11 舟山 )以四边形 ABCD 的边 AB、BC、 CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直 角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH （1）如图 1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四 边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的
8、形状（不要求证明） ； （2）如图 3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设ADC=（0 90 ） ， 试用含的代数式表示HAE； 求证： HE=HG； 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由 6(11 盐城 ) 情境观察 A B C D H E F G 图 2 E B F G D H A C 图 3 图 1 A BC D H E F G 将矩形 ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到 ABC 和 ACD，如图 1 所示 .将 ACD 的顶点 A 与点 A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D、A(A )、 B 在同一条直线上， 如图 2 所示 观察图 2 可知：与 BC 相等的线
9、段是， CAC = 问题探究 如图 3，ABC 中，AG BC 于点 G，以 A 为直角顶点，分别以AB、AC 为直角边，向 ABC 外作 等腰 RtABE 和等腰 RtACF，过点 E、F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论. 拓展延伸 如图 4， ABC 中， AGBC 于点 G，分别以 AB、AC 为一边向 ABC 外作矩形ABME 和矩形 ACNF，射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE，AC= k AF，试探究 HE 与 HF 之间的数 量关系，并说明理由. 结论探究类： 1(11 临沂 )如图 1，奖三角
10、板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形 ABCD 的 顶点 A 重合，三角板的一边交CD 于点 F，另一边交CB 的延长线于点G 图 4 M N G F E CB A H 图 1 图 2 C ABA DC A B CD B C DA(A) C （ 1）求证： EFEG； （ 2） 如图 2， 移动三角板， 使顶点 E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上， 其他条件不变 （1） 中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由； （ 3）如图 3，将（ 2）中的“ ABCD”改为“矩形ABCD ” ，且使三角板的一边经过点B，其 他条件不变，若ABa，BC b
11、，求 EF EG的值 2(10 三明 )正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点， P 为对角线AC 上一动点，过点P 作 PFDC 于点 F，如图 1，当点 P 与点 O 重合时，显然有DF =CF （1）如图 2，若点 P 在线段 AO 上（不与A、O 重合 0，PEPB 且 PE 交 CD 点 E 图 1 图 2 图 3 求证： DF =EF；写出线段PC、 PA、CE 之间的一个等量关系式，并证明 你的结论； （2） 若点 P 在线段 CA 的延长线上， PEPB 且 PE 交直线 CD 于点 E 请完成图3 并判断（1） 中的结论、是否成立？若不成立，写出相应的结论（所写
12、结论均不必证明） 3(11 潍坊 )已知正方形ABCD 的边长为a，两条对角线AC、BD 相交于点O，P 是射线 AB 上 任意一点，过P 点分别做直线AC、BD 的垂线 PE、PF，垂足为E、 F. （1）如图 1，当 P 点在线段AB 上时，求PE+PF 的值； （2）如图 2，当 P 点在线段AB 的延长线上时，求PEPF 的值 . 4 （2010 湖南衡阳） 如图，在正方形ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上移动，但A 到 EF 的距离 AH 始终保持与AB 长相等，问在E、F 移动过程中： （1） EAF 的大小是否有变化？请说明理由 （2） ECF 的周长是否有变化？请
13、说明理由 5如图1，在 ABC 中， C=90 ，AC=4， BC=3，四边形DEFG 为 ABC 的内接正方形，若 设正方形的边长为x，容易算出x 的长为 60 37 探究与计算：（ 1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接 于 ABC，则正方形的边长为； （2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于 ABC，则正方形的边长为 猜想与证明：如图 4，若三角形内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC， 请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明 6操作：将一把三角尺放在边长为4 的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P
14、在对角线AC 上 滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC 相交于点Q 探究：设A、P 两点间的距离为 x （1）当点 Q 在边 CD 上时，线段PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论 （2）当点P 在线段AC 上滑动时， PCQ 是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有可能 的情况，并求出相应的x 的值 . 旋转动点类： 1. (10 宁德 )如图，四边形ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形，M 为对角线BD（不含 B 点） 上任意一点，将BM 绕点 B 逆时针旋转60 得到 BN，连接 EN、AM、CM. 求证： AMB ENB； 图 1 A B C D E
15、 F G 图 2 A B C 图 3 A B C G G F F D D E E 图 4 A B C G F D E A B C D P Q E 当 M 点在何处时， AMCM 的值最小； 当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由； 当 AMBMCM 的最小值为13时，求正方形的边长. 2. ( 11 南通 ) 已知：如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 到点 F，OD 到点 E，使 OF2OA，OE2OD，连结 EF，将 FOE 绕点 O 逆时针旋转角得到F OE （如图 2）. （1）探究 AE 与 BF的数量关系，并给予证明； （2）当 30 时，求证：AOE
16、 为直角三角形 . 3. (11 泰州 )在平面直角坐标系xoy 中，边长为a（a 为大于 0 的常数）的正方形ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点P，顶点 A 在 x 轴正半轴上运动，顶点B 在 y 轴正半轴上运动（x 轴的正 半轴、 y 轴的正半轴都不包含原点O） ，顶点 C、 D 都在第一象限 （1）当 BAO=45 时，求点P 的坐标 ; E AD B C N M y O P D C x B A (2)求证：无论点A 在 x 轴正半轴上、点B 在 y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在 AOB 的平 分线上； （3）设点 P 到 x 轴的距离为h，试确定h 的取值范围，并说明理由 4.
17、 (10 常德 )如图 10，若四边形ABCD、四边形GFED 都是正方形，显然图中有AG=CE，AG CE. （1）当正方形GFED 绕 D 旋转到如图11 的位置时， AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明； 若不成立，请说明理由. （2）当正方形GFED 绕 D 旋转到如图 12 的位置时，延长CE 交 AG 于 H，交 AD 于 M. 求证： AGCH； 当 AD=4，DG=2时，求 CH 的长 . 5. 操作 ：如图，已知正方形ABCD 与 CEFG 的边长分别为a、b（ab） ，连结 DE 、AF固定正 方形 ABCD，将正方形CEFG 绕顶点 C 逆时针 旋转角度（ 0 180
18、） 探究 ：在图形的旋转变换中，我们发现，DE、AF 的长度 也随旋转而发生着变化为探究AF 与 DE 之间的函数关系， 设 DEx，AFy （1）若 a4cm，b2cm，则在旋转过程中，函数值y 的 取值范围为 _； （2）对于旋转角度为锐角和钝角这两种情形，分别在如下的备用图中画出相应的图形 A B C D E F G 图 11 A B C D E F G 图 10 B A C D E F G H 图 12 M 图2 图1 D B A C G Q P F E D C B A ； （3）探究 y 与 x 的函数关系式 6. (10 年顺义 )已知正方形纸片ABCD 的边长为2 操作：如图1，
19、将正方形纸片折叠，使顶点A 落在边 CD 上的点 P 处（点 P 与 C、 D 不重合）， 折痕为 EF，折叠后AB 边落在 PQ 的位置， PQ 与 BC 交于点 G 探究：（1）观察操作结果，找到一个与EDP相似的三角形，并证明你的结论； （2） 当点 P 位于 CD 中点时，你找到的三角形与 EDP 周长的比是多少 （图 2 为备用图）？ 7. 如图，在RtABC 中， ACB=90， AC=BC=6cm，正方形DEFG 的边长为2cm，其一边 EF 在 BC 所在的直线L 上，开始时点F 与点 C 重合，让正方形DEFG 沿直线 L 向右以每秒1cm 的速度作匀速运动，最后点E 与点
20、B 重合 . (1)请直接写出该正方形运动6 秒时与直角ABC 重叠部分面积的大小； (2)设运动时间为x（秒），运动过程中正方形DEFG 与 Rt ABC 重叠部分的面积为y. 在该正方形运动6秒后至运动停止前这段时间内，求y 与 x 之间的函数关系式； 在该正方形整个运动过程中，求x 为何值时， y 的值为 0.5？ D CB A D CB A （备用图 1）（备用图2） 8.如图，等腰RtMNQ 与正方形ABCD 中， MNQ =90，正方形ABCD 的边长为4cm，MQ 与 AB 在同一直线上，MQ=6cm，NQ、BC 相交于点K，设 RtMNQ 与正方形ABCD 的面积分 别为 S1、S2. (1)直接写出 S1、S2的值； (2)当 Q 点在射线 AB 上平行移动时， MNQ 也随之移动， 在上述平行移动过程中，试求 MNQ 与正方形ABCD 的重叠部分的面积y 与 AQ 长度 x(cm)之间的函数关系式； (3) 当 MA=BQ 时，将 MNQ 沿 MN 翻折，使 Q 点落在 Q处，试求翻折后所得的MNQ与正方 形 ABCD 的重叠部分的面积.