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1、定义：已知平面上两点A,B,则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。解题策略：利用两边成比例且夹角相等构造相似三角形（简称美人鱼相似）“阿氏圆”一般解题步骤第一步:连接动点至圆心0(将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接),则连接0P、OB;第二步:计算出所连接的这两条线段OP、OB长度;第三步:计算这两条线段长度的比OPOB=k;第四步:在0B上取点C,使得OC
2、OP=OPOB;第五步:连接AC,与圆0交点即为点P.阿氏圆最值问题例题精讲例1:问题提出:如图1,在RABC中,ACB=90,CB=4,AC=6.圆C半经为2,P为圆上一助点,连结AP,BP,求AP+12BP的最小值尝试解决：为了解块这个间题,下面给出一种解题思路、如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1则有CDCP=CPCB=12,又PCD=BCP,PCDBCP,PDBP=12，PD=12BP,AP+12BP=AP+PD请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为 。自主探索:在“间题提出”的条件不变的情况下,AP+BP的最小值为 。拓展延伸:已知扇形COD中,COD=90
3、,0C=6,OA=3,0B=5,点P是弧CD上一点,求2A+PB的最小值。强化训练向内构造类型1,如图,已知AC=6,BC=8,AB=10,圆C的半经为4,点D是圆C上的动点,连接AD、BD,则AD+12BD的最小值为 。 2.在RtABC中,ACB=90AC=4,BC=3,点D为ABC内一动点,且满足CD=2，则AD+ 23BD的最小值为 。3、如图,在RABC中,C=90,CA=3,CB=4.C的半径为2,点P是C上一动点,则AP+12PB的最小值为 。4、如图,四边形ABCD为边长为4的正方形, B的半径为2,P是B上一动点,则PD+12PC的最小值为 。2PD+4PC的最小值为 。5、
4、如图,O的半径为2,PO=10,MO=2,POM=90,Q为O上一动点,则PQ+22QM的最小值为 。6、如图,已知菱形ABCD的边长为4,B=60,B的半径为2,P为B上一动点则PD+12PC的最小值为 。7、如图，点C坐标为(2，,5),点A的坐标为(7,0)，C的半为10,点B在C上一动点,OB+55AB的最小值为 。8、如图,在面直角坐标系xoy中， A(6，-1)，M(4,4)，M为圆心,22为半径画圆,0为原点,p是M上分动点,则PO+2PA的最小值为 .9、在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2)、P是AOB外部的第一象限内一动点,且BPA=13
5、5,则2PD+PC的最小值是 .10、如图,AB为O的直径,AB=2,点C与点D在AB的同侧,且ADAB,BCAB,AD=1,BC=3,点P是O上的一动点,则22PD+PC的最小值为 .11、在ABC中,AB=9,BC=8,ABC=60,A的半径为6,P是A上的动点连接PB、PC,则3PC+2PB的最小值为 .12如图,边长为4的正方形,内切圆记为O,P是O上一动点,则2PA+PB的最小值为 。13、如图,等边ABC的边长为6,内切圆记为O,P是O上一动点,则2PB+PC的最小值为 。14、如图,在ABC中,B=90，AB=CB=2,以点B为圆心作圆B与AC相切,点P为圆B上任一动点,则PA+
6、22 PC的最小值是 。15、如图,菱形ABCD的边长为2,ABC=60,A与BC相切于点E,点P是A上一动点,PB+32PD的最小值为 。16如图,RtABC中,ACB=90，AC=8,BC=6,点P是AB上一点,且APBP=m， 点F在以点p为圆心,AP为半径的P上,则CF+mBF的最小值为 。17、(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+12PC的最小值和PD-12PC的最大值；(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点求PD+ 23PC的最小值和PD-23PC的最大值；(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,B=90，圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+ 12PC的最小值和PD-12 PC的最大值。18.如图,在RABC中,A=30,AC=8,以C为圆心,4为半径作C。(1)试判断C与AB的位置关系,并说明理由；(2)点F是C上一动点,点D在AC上且CD=2,试说明FCDACF；(3)点E是AB边上任意一点,在(2)的情况下,试求出EF+ 12FA的最小值.