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1、第五章 二元一次方程 本章主要内容：二元一次方程及其解集。方程组和它的 解，解方程组。用代入（消元）法、加减（消元）法解 二元一次方程组。三元一次方程组及其解法举例。一次 方程组的应用。 5.1 二元一次方程组 【学会归纳】 1. 叫二元一次方程， 例如方程是一个二元一次方程。 2. 叫二元一次方程组， 例如方程是一个二元一次方程组。 3. 叫做二元一次方程组的解， 例如是方程组的解。 【学会探究】 问题 1 下列方程中，是二元一次方程的是（） （A）1xy（B）2 1 y x （C）13xy（ D）03 2 xx 问题 2 下列方程组中， 是二元一次方程组的是（） （A） 1 34 zy y
2、x （B） 52 73 x yx （C） 2 34 xy yx （ D） 1 36 2 yx yx 问题 3 方程组 523 1 yx yx 的解是（） （A） 2 1 y x （ B） 4 1 y x （C） 0 1 y x （D） 2 3 y x 要 弄 懂 二 元 一 次 方 程、二元一次方程组和它 的解的含义，并会检验一 对数是不是某个二元一次 方程组的解。 注意二元一次方程的 条件： （1）二个 未知数 （2）未知 项的次数是1 （3）必须是 整式 方程 作为二元一次方程组的 两个方程，不一定 都是含 有两个未知数。 使方程组中的每个方程的两边都相等的未知数的值 才是方程组的解 问
3、题4 已 知7,5 xx是 关 于x、y的 方 程 12ykx的一个解，求k的值 . 问题5 二元一次方程52yx的正整数解分别有 哪几个 ? 【学会实践】 1.若方程653 342ba yx是关于x、y的二元一次 方程 ,则._, ba 2.已 知1, 1 yx是 关 于x、y的 二 元 一 次 方 程 ykx23的一个解 ,则_k. 3.方程1043yx有 _个解 ,其中 _是其 中的一个 . 本题考察对二元一次方程 的解的理解,方法是把x、 y的 值 代 入 方 程 可 得 关 于k的一元一次方程. 本题有助于加深对二元一 次方程的解的理解和掌握. 注意 x2 是偶数 ,则y是小 于5
4、的奇数 ,用 实验法 就 可正确解出. 注 意 二 元 一 次 方 程 的 定 义. 4.在方程组 1 2 xy x 、 12 032 xy yx 、 2 3 x xy 、 1 4 2 xy xx 、 2 1 5 1 y x y x 中属于二元一次方程组的有 _个 . 5.解是 1 1 b a 的二元一次方程组是( ) (A) 53 2 ba ba (B) 43 1 ba ba (C) 32 32 ba ba (D) 423 32 ba ba 6. 1 2 y x 是方程组 8 1 aybx byax 的解 ,则( ) (A) 1 2 b a (B) 3 2 b a (C) 8 1 b a (
5、D) a、b的值不能确定 7.要把一张面值为10 元的人民币换成零钱,现有足够 的面值为2 元、 1 元的人民币 ,那么共有换法( ) (A)5 种(B)6 种(C)8 种(D)10 种 可设元列出二元一次方 程 ,分析方程的解的特 点. 【学会自检】 学会探究答案: 1.(C) 2.(B) 3.(D) 4.3 5. 3 1 , 1 2 y x y x 学会实践答案: 1.2, 5. 2ba 2.1k 3.无数个解 ,任填一个解 4.1 个 5.(C) 6.(B) 7.(B) 52 用代入法解二元一次方程组 【学会归纳】 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1 把一个方程里的一个未知数，用含
6、有表 示出来，在选元时，必须注意计算简便； 2把这个代数式代入而消去一个未知数， 得到一个一元一次方程； 3解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4把求得的这个未知数的值代入第一步所得的代数式 中，求出另一个未知数的值； 5把这两个未知数的值用 by ax 的形式写在一起，以 表示方程组的解。 【学会探究】 问题 1 用代入法解方程组 583 43 yx yx 问题2 用代入法解方程 组 83 1125 yx yx 把方程 （1）代入方程 （ 2） 就可把原二元一次方程组 化为一元一次方程组 通常，当某个未知数的系数的绝对值为1 时，将它所在 的方程变形 问题 3 用代入法解方程组 345
7、 1132 yx yx 问题 4 用代入法解方程组 3 34 13 23 yx yx 问题5 用代入法解关于 x、y方程组 abyx bayx 23 23 代入法消元法的通常是， 把方程组中的某个方程的 一个未知数（系数最为简 单的 ）用另一个未知数的 代数式来表示 应先把分数系数化为整数 系数，即把原方程组化简。 解字母系数的二元一次方程组与上述解问题的方法是一 致的 【学会实践】 1用代入法解方程组： 132 32 yx xy 2用代入法解方程组： 234 62 yx yx 3用代入法解方程组： 1394 132 yx yx 当你看到方程组中有一个 方程是关于“一个未知数 用含有另一个未知
8、数的代 数式来表示”时，就把它 代入另一个方程吧 你看，方程组中的第一个 方程中，含y的项的系数 多么简单，该知道如何解 决了吧 想消去哪个未知数？告诉你一个今人振奋的方法：由第 一个方程得yx312，把它代入第二个方程，你试 过这种方法吗？这叫整体代入法 4用代入法解方程组： 2 36 2 44 yx yx 【学会自检】 学会探究答案： 1. 1 1 y x 2 3 1 y x 3 7 5 y x 4 18 12 y x 5 )( 2 1 )( 2 1 bay bax 先化简吧，它能使你的解 题更简洁 学会实践答案： 1. 1 1 y x 2. 2 2 y x 3. 1 1 y x 4. 4
9、 4 y x 53 用加减法解二元一次方程组 【学会归纳】 用加减法解二元一次方程组的一般步骤： 1使方程组中的某个未知数的系数的相等。 2 把两个方程两边分别或， 消去一个未知数， 得到一个一元一次方程。 3解这个一元一次方程。 4 将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程 中，求出另一个未知数的值，从而求得方程组的解。 【学会探究】 问题 1 用加减法解方程组： 1152 1952 yx yx 问题2 用加减法解方程 组： 775 1965 yx yx 本问题可用加法求出x的 值，用减法用求y的值 有相同系数的未知数该“倒霉”了 问题 3 用加减法解方程组： 4124 1632 yx
10、 yx 问题 4 用加减法解方程组： 1256 834 yx yx 问题5 用加减法解方程 组： 25.1%15%25 32 yx yx 要想消去某个未知数，就 请主它们的系数的绝对值 相等吧 还是先考虑代简吧 【学会实践】 1用加减法解方程组： 623 1225 yx yx 2用加减法解方程组： 1534 2552 yx yx 3用加减法解方程组： 52109 4153 yx yx 4用加减法解方程组： 557 832 yx yx 5用加减法解方程组： 70%10%60%30 70 yx yx 6用加减法解方程组： 16)2(4)( 3 1 43 )(2 yxyx yxyx 【学会自检】 学
11、会探究答案： 1. 3 2 y x 2. 2 4. 1 y x 3. 2 5 y x 4. 0 2 y x 5. 19 75 19 50 y x 学会实践答案： 1. 5 .1 3 y x 2. 5 0 y x 3. 7 2 y x 4. 6 5 y x 5. 3 140 3 350 y x 6. 1 5 23 y x 54 三元一次方 程组的解法 【学会归纳】 方程组有个未知数， 每个方程的未知项的次数 都是次，并且一共有 个方程，这样的方程组是 三元一次方程组；解三元 一次方程组的指导思想是 “” ，利用代入法 或加减法消去一个或两个 未知数，把三元一次方程 组化成二元一次方程组或 一元一
12、次方程，注意在消 元的过程中每个方程至少 用一次。 【学会探究】 问 题1 解 方 程 组 542 822 9311 zyx zyx yx 问题 2 102 423 332 zyx zyx zyx 在这个方程组中，方程（1）只含有两个未知数x、y ，所以只要由 （2） （ 3）消去z，一就可以得到只含有x、 y的二元一次方程组 用加减法解时，应选择消 去系数绝对值最小的最小 公倍数的最小的未知数 问 题3 解 方 程 组 4:5: 2:3: 1 1 1 zy xy zyx 【学会实践】 1 522 34 73 zx zy yx 2 0865 11523 9342 zyx zyx zyx 还记得
13、吗？题中的2:3: xy就是 2 3 x y 3 66 4:5: 2:3: zyx zy yx 【学会自检】 学会探究答案： 1. 2 3 0 z y x 2. 5 2 1 z y x 3. 36 45 30 z y x 学会实践答案： 1. 2 1 1 2 z y x 2. 85 5 142 z y x 3. 16 20 30 z y x 55 一次方程的 应用 【学会归纳】 运用一次方程组解应用题 的步骤是（1）审题（ 2） 设未知数， 找等量关系（ 3） 列方程组（4） 解方程组（ 5） 检验并写出答案 【学会探究】 问题1 甲、乙两个人相 距，甲骑自行车，乙步 行，二人同时出发，相同
14、而行，甲 5 小时可追上乙； 相向而行2 小时相遇，二 人平均速度各是多少？ 问题 2 李明以两种形式分别储蓄了元和1000 元，一年 后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92 元.已知 这两种储蓄利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率 各是百分之几？ （注：公民应交利息所得税=利息金额 问题 3 八十年代， A 市改革开放的十年，工农业总产 值由 175 亿元上升到423 亿元，其中工业产值是十年前 的 2.7 倍，农业产值是十年前的1.8 倍.求十年前A 市的 工业、农业产值各为多少亿元？ 不能用已知量（路程）和设元（速度）作等量关系，只 能用时间作等量关系，找出两句关于时间的句
15、子，那可 是列两个方程的依据 纳税可是每人公民应 尽的光荣义务 问 题4 要 配 制 浓 度 是 6%的某种药液700 克，已 有浓度为5%的这种药液， 还需要再加入浓度是8% 的药液和水各多少克？ 问题5 有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字 大 5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数 与原数的和是143，求这个两位数. 【学会实践】 1. 据新华日报消息，巴西医生马廷恩经过研究后得 出结论，卷入腐败行为的人容易得癌症、心血管病。如 果将犯有贪污、受贿罪的580 名官员与600 名廉洁官员 进行比较，可发现，后者的健康人数比前者的健康人数 多 272 人，两者患病（包括致死）者共
16、444 人。试问： 犯有贪污、受贿罪的官员的健康人数占580 名官员的百 分之几？廉洁官员的健康人数占600 名官员的百分之 几？ 2 已知甲 乙两种商品的 原单价和为100 元，因市 场 变 化 ， 甲 商 品 降 价 10，乙商品提价5， 调价后，甲、乙两种商品 的单价和比原单价和提高 了 2，求甲乙两种商 品的原单价各是多少元？ 3某工厂在规定天数内生产一批抽水机支援抗 旱，如果每天生产25 台，那么差50 台不能完成任务； 如果每天生产28 台，那么可以超额40 台完成任务，问 这批抽水机有多少台？规定几天完成任务？ 4把含盐40%的食盐水和含盐15%的食盐水混合制成 含盐 25%的食盐水5 公斤，应取这两种食盐水各多少公 斤？ 【学会自检】 学会探究答案： 1. 甲速 7 千米 /小时、乙速3 千米 /小时 2. 2.25、 0.99 3. 工业产值为1 农业产值为55 亿元 4. 400 克、 100 克 5. 49 学会实践答案： 1. 49、 84 2. 80 元 3. 800 台、 4. 2 公斤、 3 公斤