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1、成都树德中学高2011 级第二期期中考试数学试题 考试时间 :120 分钟试卷满分： 150 分 一、选择题：本大题共12 个小题，每题5 分，共 60 分。每小题所给四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 请将所选答案代号填涂在机读卡的相应位置。 1. 若向量 1 (cos ,) 2 a的模为 2 2 ，则 cos2（） A 1 4 B 1 2 C 1 2 D 3 2 2. 如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在岸边选定一点C， 测得AC的距离为50m，ACB=45，CAB=105，则可计算出A、B两点间的距 离为（） A50 2mB503m C25 2mD 25 2 2
2、m 3. 等比数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a，若 1 4a， 2 2a， 3 a成等差数列，则 4 S（） A7 B 8 C16 D15 4我们把1，3，6，10，15，这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图）， 则第七个三角形数是（） A27 B 28 C29 D30 5已知ABC 三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca ，则 cosB（） A 1 4 B 2 4 C 3 4 D 2 3 6在ABC 中， 222 sinsinsinsinsinABCBC ，则A的取值范围是（） A(0, 6 B, ) 6 C(0,
3、3 D, ) 3 7已知数列 n a的前n项和为Sn，a1=1，当2n时， 1 2 nn aSn，则S2011=（） A1005 B 1006 C1007 D1008 8已知 n a是等比数列， 3 a， 8 a是关于x的方程 2 2 sin3sin0xx的两根，且 2 3829 ()26aaa a， 则锐角的值为（） A 6 B 4 C 3 D 5 12 9化简 2321 (1)2(2)2(3)2222 nn n Snnnn的结果是（） A 1 22 n nB 1 22 n nC22 n nD 1 22 n n 1 3 6 10 15 10. 数列 n a满足 1 1 2(0) 2 1 21
4、(1) 2 nn n nn aa a aa ，若 1 3 = 5 a，则 2011= a（） A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 11 已知 n a是等差数列， n S为其前n项和，若 214000 SS，O为坐标原点， 点(2,) n Pa、 2011 (2011,)Qa， 则O PO Q （） A2011 B 4022 C0 D1 12在数列 n a中， 1 2a， 1 1 (2) 2 () nn nn aanN，其中0 ，则 2011 a（） A 20112011 20112B 20102010 20102C 20102010 20112D 20112011 20102 二、
5、填空题：本大题共4 个小题，每题4 分，共 16 分。请将答案填在答题卷的相应位置。 13设数列 n a的通项公式为227 n an， n S是数列 n a的前n项和， 则当n时， n S取得最大值。 14. 已知 1 tan() 3 ，则 2cos() 4 cossin 。 15若两个等差数列 n a、 n b的前n项和分别为 n S、 n T，对任意的*nN都有 21 43 n n Sn Tn ，则 4 57 a bb 8 39 a bb = 。 16. 已知一非零“向量数列” n a满足： 1 (1,1)a， 1111 1 (,)(,) 2 nnnnnnn axyxyxy（2,*nnN）
6、 。给 出下列四个结论： 数列| n a是等差数列； 15 1 | | 2 aa； 设 2 2log| nn ba，数列 n b的前n项和为 n T，当且仅当n=2时， n T取得最大值； 记向量 n a与 1n a 的夹角为(2) n n，则均有 4 n 。 其中所有正确结论的序号是。 成都树德中学高2011 级第二期期中考试数学试题 答题卷 二、填空题： 13； 14 ；15；16。 三、解答题：本大题共6 个小题，共74 分。解答必须写出必要的文字说明或解答过程。 17 （12 分）已知为第二象限的角， 3 sin 5 ，为第三象限的角， 4 tan 3 。求： （）tan()的值； （
7、）cos(2)的值。 18 （12 分）设数列 n a满足 1 2a， 21 1 3 2 n nn aa。 （）求数列 n a 的通项公式； （）令 nn bna，求数列 n b的前n项和 n S。 19 （12 分）已知向量(sin,cos )axx，(6sincos ,7sin2cos )bxxxx。设函数( )f xa b。 （）求函数( )f x的最大值及此时x的取值集合； （）在角A为锐角的ABC 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，()6f A且ABC 的面积为3， 23 2bc，求a的值。 20 （12 分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅
8、游产业。根据规划， 本年度投入800 万元， 以后每年投入将比上年减少 1 5 。本年度当地旅游业收入估计为400万元， 由于该项建设对 旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 1 4 。 （）设n年内（本年度为第一年）总投入为 n a万元，旅游业总收入为 n b万元，写出 n a， n b的表达式； （）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 21 （12 分） 已知函数 1 ( )() 42 x fxxR ，点 111 ( ,)P x y、 222 (,)P xy是函数( )f x图象上的任意两点，且线段 12 P P的中点 P的横坐标为 1 2 。 （）求证：点P的纵
9、坐标为定值； （）在数列 n a中，若 1 1 ()af m , 2 2 ()af m , 3 3 ()af m ,() k k af m , 1 1 () m m af m ,() m m af m (*)mN，求数列 n a的前m项和 m S。 22 （14 分）已知数列 n a的前n项和为 n S, 且 2111 22 n Snn。数列 n b满足 21 20 nnn bbb(nN) ，且 3 11b， 129 153bbb。 （）求数列 n a， n b的通项公式； （）设 3 (211)(21) n nn c ab ，数列 n c的前n项和为 n T，求使不等式 57 n k T对一
10、切nN都成立的最 大正整数k的值； （） 设 (21,) ( ) (2 ,) n n anll f n bnl l N N ，是否存在mN ，使得(15)5()f mf m成立？若存在， 求出m 的值；若不存在，请说明理由。 成都树德中学高2011 级第二期期中考试数学试题 参考答案及评分标准 一、选择题：BADBC CBCDB BD 二、填空题：1313； 14. 2 ； 15 21 41 ；16. 。 三、解答题 17解：（）因为为第二象限的角， 3 sin 5 ，所以 24 cos1sin 5 1分 sin3 tan cos4 2 分 又 4 tan 3 ，所以 tantan7 tan(
11、) 1tantan24 4 分 （）因为为第三象限的角， 4 tan 3 ，所以 4 sin 5 ， 3 cos 5 6 分 又 24 sin22sincos 25 ， 27 cos212sin 25 10分 所以 73244753 cos(2)cos2cossin2sin()() 2552551255 12 分 18解： （）由已知，当1n时， 111211 ()()() nnnnn aaaaaaaa 2123 3(222)2 nn 212(1) 1 22 nn 。4分 而 1 2a，所以数列 n a的通项公式为 21 2(*) n n anN6分 （）由 21 2 n nn bnan知 3
12、521 1 22 23 22 n n Sn 从而 235721 21 22 23 22 n n Sn 8 分 - 得 2352121 (12 )22222 nn n Sn。10分 即 211(3 1)22 9 n n Sn。12分 19解：（） 22 ( )sin (6sincos )cos (7sin2cos )6sin2cos8sincosf xa bxxxxxxxxxx 4sin24cos2242sin(2)2 4 xxx4分 令22() 42 xkkZ得 3 () 8 xkkZ， max ( )422f x，此 时x的集 合为 3 |, 8 x xkkZ6分 （）由（ I ）可得()4
13、 2sin(2)26 4 f AA 2 sin(2) 42 A。 因为0 2 A，所以 3 2 444 A。从而2 44 A， 4 A8分 又 12 sin3 24 ABC SbcAbc6 2bc10分 又23 2bc， 22222 2cos()22 2 abcbcAbcbcbc 22 (23 2)12 226 210 2 10a12分 20解：（I ）第 1 年投入为800 万元，第2 年投入为 1 800(1) 5 万元，第n年投入为 11 800(1) 5 n 万元， 所以，n年的总收入为 111 800800(1)800(1) 55 n n a 1 1 1 800(1) 5 n k k
14、 4 40001( ) 5 n 3 分 第 1年旅游业收入为 400万元，第 2年旅游业收入为 1 400(1) 4 万元，第n年旅游业收人为 11 400(1) 4 n 万元。所以，n年内的旅游业总收入为 11 1 1115 400400(1)400(1)400(1)1600()1 4444 n nkn n k b 6 分 （）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此0 nn ba， 54 1600()140001( ) 0 45 nn 即， 44 5( )2( )70 55 nn 化简得9 分 4 ( ) 5 n x设，代入上式 2 5720xx，解此不等式得 2 ,1() 5 x
15、x舍去，5n由此得。 42 ( ) 55 n 即， 5n由此得。 答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。12分 21 （）证明：由题意， 1 2( x1x2) 1 2，所以 x1x211 分 此时y1y2 1 4 x 12 1 4 x 22 4 x 14 x 24 (4 x 12)(4 x 22) = 4 x 14 x 24 4 x 1 x 22(4 x 14 x 2) 4 4 x 14 x 24 2(4 x 14 x 24) 1 2 4 分 点P的纵坐标为定值 1 4。 5 分 （）解：由（）知，当x1x21 时，y1y2 1 2。由 P1、P2的任意性，且 k m mk m 1，有
16、f( k m ) f( mk m ) 1 2。 6 分 Sma1a2amf( 1 m ) f( 2 m ) f( m2 m ) f( m1 m ) f(1) 又Smf(1) f( m1 m ) f( m2 m ) f( 2 m ) f( 1 m ) 8分 得：2Sm2f(1) f( 1 m ) f( m1 m ) f( 2 m ) f( m2 2 ) f( m1 m ) f( 1 m ) ，且f(1) 1 42 1 6。 10 分 2Sm 1 3 m1 2 1 6(3 m1)。Sm 1 12(3 m1)。12 分 22解：（）当1n时, 11 6aS； 当2n时 , 22 1 111111 (
17、)(1)(1)5 2222 nnn aSSnnnnn。 而 1 6a 满足上式。 5(*) n annN 。 又 21 20 nnn bbb即 211nnnn bbbb， n b是等差数列。设公差为d。 又 3 11b， 129 153bbb 1 1 211 936153 bd bd 解得 1 5,3bd。 32 n bn. 6 分 （） 31111 () (211)(21)(21)(21)2 2121 n nn c abnnnn 12 111111 (1)()+() 2335212121 nn n Tccc nnn 1 11 0 2321(23)(21) nn nn TT nnnn n T单调递增， min1 1 () 3 n TT。令 1 357 k ，得19k max 18k。. 10 分 （） (21,) ( ) (2 ,) n n anll f n bnl l N N （1）当m为奇数时，15m为偶数。 347525mm，11m。 （2）当m为偶数时，15m为奇数。201510mm， 5 7 mN（舍去）。 综上，存在唯一正整数11m，使得(15)5 ()f mf m成立。.14 分