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1、第九讲函数与方程 知识梳理： 1函数的零点 (1) 函数的零点的概念 对于函数yf(x) ，把使f(x) 0 的实数x叫做函数yf(x) 的零点 (2) 函数的零点与方程的根的关系 方程f(x) 0 有实数根 ? 函数yf(x) 的图象与x轴有交点 ? 函数yf(x) 有零点 注意： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。 （2）函数的零点也就是函数)(xfy的图象与x轴的交点的横坐标。 （3）一般我们只讨论函数的实数零点。 （4）求零点就是求方程0)(xf的实数根。 (3) 零点存在性定理 如果函数yf(x) 满足：在闭区间a，b上连续；f(a) f(b)
2、0；则函数yf(x) 在(a，b) 上存在零 点，即存在c(a，b) ，使得f(c) 0，这个c也就是方程f(x) 0 的根 2二分法 对于在区间 a，b 上连续不断且f(a) f(b) 0 的函数yf(x) ，通过不断地把函数f(x) 的零点所在的区 间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 考点一函数零点的求解与应用： 方法： (1) 直接求零点：令f(x) 0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 (2) 零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b 上是连续不断的曲线，且f(a) f(b) 0，还必 须结合函数的图象与性质( 如单调性、奇偶性)才能
3、确定函数有多少个零点 (3) 利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不 同的值，就有几个不同的零点 1. 若一次函数baxxf)(有一个零点2，则二次函数axbxxg 2 )(的零点是。 2. 求函数67 3 xxy的零点 3. 方程 lgx+x-3=0 的解所在区间为（） A(0， 1) B(1 ， 2) C(2 ，3) D(3 ，+) 4. 若函数fx的零点与422 x g xx的零点之差的绝对值不超过0.25 ，则fx是（） A. 41fxx B. 2 (1)fxx C. 1 x fxe D. 1 2 fxInx 5. 函数f(x) 1 x
4、log 2x的一个零点落在区间( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 6. 函数f(x) 1xlog2x的零点所在区间是( ) A. 1 4， 1 2 B 1 2，1 C (1,2) D(2,3) 7. 函数设函数 ,0, 3 ,0, )( 2 x xcbxx xf若2)2(),0()4(fff，则函数xxfy)(的零点的个数为（） A1 B 2 C3 D4 8.f(x) ln xx 22x， x0， 4x1，x0 的零点个数是_ 9. 设函数 ( )f x 对 x R 都满足 (3)(3)fxfx , 且方程 ( )0f x 恰有 6 个不同的实数根，则这6 个实根的
5、和 为（） A0 B9 C12 D18 10. 已知函数 ( ) ()yf xxR 满足(3)(1)f xf x，且x 1,1 时，( )|f xx，则方程xxf 5 log)( 的 解个数是 ( ) A 3 B4 C5 D6 考点二根据函数零点的存在情况，求参数： 1 已知函数f(x) 2x 1，x0， x22x，x0， 若函数 g(x) f(x)m有 3 个零点，则实数 m的取值范围是_ 2. 已知函数f(x) |2x 1| ，x 2， 3 x1，x2， 若方程f(x)a0 有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ( ) A(1,3) B(0,3) C(0,2) D(0,1) 3.已
6、知 函 数， 当时 ， 函 数的 零 点 , 则_ 4. 已知函数f(x) x 22ex m 1，g(x) xe 2 x (x0) (1) 若yg(x) m有零点，求m的取值范围； (2) 确定m的取值范围，使得g(x) f(x) 0 有两个相异实根 考点三二分法求函数零点： 1. 如图，下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( ) 2. 已知函数)(xf的图象是连续不间断的，有如下的)(,xfx对应值表（） x1 2 3 4 5 6 )(xf123.56 21.45 7.82 11.57 53.76 -126.49 函数)(xf在区间6 , 1 上的零点至少有（） A2
7、 个B 3个C4 个D5 个 3. 设833xxf x , 用二分法求方程2, 10833xx x 在内近似解的过程 中得, 025.1, 05. 1,01fff则方程的根落在区间（） A(1,1.25) B(1.25,1.5) C(1.5,2) D不能确定 4. 根据下表，能够判断方程)()(xgxf有实数解的区间是 x1 0 1 2 3 )(xf-0.677 3.011 5.432 5.980 7.651 )(xg-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 考点四：二次函数有关的零点分布（二次方程根的分布） 方法：抓住二次函数的零点与二次方程根的关系 1. 若关于x的方程
8、 3x 25xa0 的一个根在 (2,0) 内，另一个根在 (1,3) 内，求a的取值范围 2. 已知关于x的二次方程x 2 2mx2m10. (1) 若方程有两根，其中一根在区间( 1,0) 内，另一根在区间(1,2) 内，求m的范围； (2) 若方程两根均在区间(0,1) 内，求m的范围 3. 是否存在这样的实数a，使函数f(x)x 2(3 a2)xa1 在区间 1,3 上恒有一个零点，且只有一个零 点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由 4. 若关于x的方程 2 2210 xx aa有实根，求实数a的取值范围 5. 已知关于 x的方程 211 3(1)(31)(3) 30 xxx mm 有两个不同的实根，求 m的取值范围 6. 方程 2 210(0axxa ，且 1)a 在区间 1,1 上有且仅有一个实根，求函数 2 3xx ya 的单调区间