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1、第七章平面向量 1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 2掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律 3掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件 4了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算 5掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度 和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 6掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握 平移公式 7掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 向 量 概念 向量的模相等的向量 单位向量 零向量 运算 向量的加法 向量的减法 实数
2、与向量的乘积 向量的数量积 平面向量的坐标运算 平移公式 线段的定比分点 解三角形 余弦定理 正弦定理 任意三角形的面积公式 向量由于具有几何形式与代数形式的“ 双重身份 ” ， 使它成为中学数学知识的一个交汇点， 成为多项内容的媒介 主要考查： 1平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则 2向量的坐标运算及应用 3向量和其它数学知识的结合如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用 4正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的 形状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明 第 1 课时向量的概念与几何运算
3、1向量的有关概念 基础过关 知识网络 考纲导读 高考导航 既有又有的量叫向量 的向量叫零向量的向量，叫单位向量 叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量 且的向量叫相等向量 2向量的加法与减法 求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按法则或 法则进行加法满足律和律 求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的重合，连结两向量 的，方向指向 3实数与向量的积 实数与向量a的积是一个向量，记作a它的长度与方向规定如下： | a| 当0 时，a的方向与a的方向； 当0 时，a的方向与a的方向； 当0 时，a ( a) ()a (ab) 共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有
4、一个实数 使得 4 平面向量基本定理：如果 1 e、 2 e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平 面内的任一向量a，有且只有一对实数 1、2，使得 设 1 e、 2 e是一组基底，a 2111 eyex，b 2212 eyex，则a与b共线的充要条件 是 例 1已知 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点设aAB，bAC，求BE 解：BEAEAB 4 1 (ABAC)AB 4 3 a 4 1 b 变式训练1.如图所示， D 是 ABC 边 AB 上的中点，则向量CD等于（） ABCBA 2 1 BBCBA 2 1 CBCBA 2 1 DBC BA 2 1 解:A
5、典型例题 A D B C 例 2. 已知向量 2132eea，2132eeb，2192eec，其中1e、2e不共线，求实数、，使 bac 解:cab2 1 e9 2 e(2 2) 1 e(3 3) 2 e2 2 2，且 3 3 9 2，且 1 变式训练2：已知平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点，点 P为平面上任意一点，求证： POPDPCPBPA4 证明PAPC2PO，PBPD2POPAPBPCPD 4PO 例 3. 已知 ABCD 是一个梯形， AB、CD 是梯形的两底边，且AB 2CD，M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，若aAB，bAD，试用a、b表示BC和MN 解： 连 NC
6、，则bADNCbaCNABCNMCMN 4 1 4 1 ；abNBNCBC 2 1 变式训练3： 如图所示，OADB 是以向量OAa，OBb为邻边的平行四边形，又BM 3 1 BC， CN 3 1 CD，试用a、b表示OM，ON，MN 解:OM 6 1 a 6 5 b，ON 3 2 a 3 2 b， MN 2 1 a 6 1 b 例 4. 设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同， t R，t 为何值时，a，tb， 3 1 (ab) 三向量的终点在一条直线上？ 解： 设 )( 3 1 baabta (R)化简整理得： 0) 3 1 () 1 3 2 (bta 不共线与 ba， 2 1 2 3
7、 0 3 01 3 2 tt 故 2 1 t时，)( 3 1 ,babta三向量的向量的终点在一直线上 变式训练4：已知,OAa OBb OCc ODd OEe，设t R，如果3,2,acbd ()et ab，那么 t为何值时，,C D E三点在一条直线上？ 解： 由题设知，23 ,(3)CDdcba CEectatb，,C D E三点在一条 直线上的充要条件是存在实数k，使得CEkCD，即(3)32tatbkakb， 整理得(33 )(2)tk akt b. 若,a b共线，则t可为任意实数； 若,a b不共线，则有 330 20 tk tk ，解之得， 6 5 t. B O A D C N
8、 M 综上，,a b共线时，则t可为任意实数；,a b不共线时， 6 5 t. 1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中 的证明 2注意O与 O 的区别零向量与任一向量平行 3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明ABCD，需证ABCD，且 AB 与 CD 不共线要证A、B、C 三点共线，则证ABAC即可 4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连； 向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点 第 2 课时平面向量的坐标运算 1平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于一个向量
9、a，有且只有 一对实数x、y，使得axiyj我们把 (x、y)叫做向量a的直角坐标，记作并 且|a| 2向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系 3平面向量的坐标运算： 若a(x1、 y1)，b(x2、 y2)， R，则： ab ab a 已知 A(x1、 y1)，B(x2、y2)，则 AB 4两个向量a(x1、y1)和b(x2、y2)共线的充要条件是 例 1.已知点 A（2， 3） ，B（ 1， 5） ，且AC 3 1 AB，求点 C 的坐标 解AC 3 1 AB(1， 3 2 )，OCACOA(1, 3 11 )，即 C(1, 3 11 ) 变式训练1.若(2,8)OA，( 7,2)O
10、B，则 3 1 AB= . 解: ( 3, 2)提示：( 9,6)ABOBOA 例 2. 已知向量a(cos 2 ，sin 2 )，b(cos 2 ，sin 2 )， |ab| 5 52 ，求 cos( )的值 解:|ab| 5 52 22 5 52 )cos( 2 cos22 5 52 5 52 22 5 52 )cos(cos 2 5 3 cos( ) 25 7 变式训练2.已知a2b (3，1)，2ab (1，2)，求ab 小结归纳 典型例题 基础过关 解a (1，1)，b(1，0)，ab(0， 1) 例 3. 已知向量a(1, 2)，b(x, 1)， 1 ea2b， 2 e2ab，且
11、1 e 2 e，求 x 解: 1 e(12x，4)， 2 e (2x，3)， 1 e 2 e3(12x)4(2 x)x 2 1 变式训练3.设a(ksin , 1)，b(2cos, 1) (0 f(c d)的解集 平面向量章节测试题参考答案 一、 BCDBA ；DDADB ；BD 二、 13.等边三角形； 14.大小是 4km/h,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a2b ; 16. 三、 17.| AB |=2|CD|DCAB2 2 1 2 1 ABDCa,BCb 2 1 a , MN= 4 1 a b 18. BDBCCD5e1+5e2=AB5, BDAB /又有公共点B,A、B、D
12、 共线 设存在实数 使 ke1+e2= (e 1+ke2) k= 且 k =1 k=1 19.由0ACAB可知ACAB即 ABAC 设 D（x,y）,)2, 1(),5 ,5(),4,2(yxBDBCyxAD BCAD5(x-2)+5(y-4)=0 BCBD /5(x+1) 5(y+2)=0 2 5 2 7 y x D( 2 5 , 2 7 ) ) 2 3 , 2 3 (AD 20. 2 26 |), 2 5 , 2 1 () 2 3 , 2 5 (CMCMM 设 P（x,y） 44|22 , 59|33 APQAPQ BPQCABC SS AP APAB SSAB )1,3( 3 2 )2,
13、 1(yx) 3 4 ,3(P 21. 当 b 与 a+ b( R)垂直时， b (a+ b)=0, = - 2 a b b | a+ b |= 222 2ba ba= 2222 22 ()() a ba b ba bb 当 = - 2 a b b 时， | a+ b |取得最小值 . 当 b 与 a+b(R)垂直时， a+b 的模取得最小值. 22. (1）a b=2sin 2x+1 1 c d=2cos 2x+1 1 （2） f(1-x)=f(1+x) f(x)图象关于x=1 对称 当二次项系数m0 时, f(x) 在（ 1，）内单调递增， 由 f(a b)f(c d)a b c d, 即
14、 2sin 2x+12cos2x+1 又 x0, x 3 (,) 44 当二次项系数mf(c d)a b c d, 即 2sin 2x+10 时不等式的解集为 3 (,) 44 ;当 m =b a ?cos(90 0 ) =ba?sin,即为以a，b为邻边的平 行四边形的面积. 23. （ 2009 重庆卷理）已知1,6,()2aba ba，则向量a与向量b的夹角是（） A 6 B 4 C 3 D 2 答案 C 解析因为由条件得 22 2,23cos1 6cos,a baa baa b所以 1 cos 23 所以，所以 24.（ 2009 重庆卷文）已知向量(1,1),(2, ),xab若a+
15、 b与4b2a平行，则实数x的值是 （） A-2 B0 C1 D2 答案 D 解法 1 因为(1 ,1),(2, )abx，所以(3,1),42(6,42),abxbax 由于ab与42ba平行，得6(1)3(42)0xx，解得2x。 解法 2 因为ab与42ba平行，则存在常数，使(42 )abba，即 (21)(41)ab，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故2x 25.(2009湖北卷理 ) 函数cos(2)2 6 yx的图象F按向量a平移到 F, F的函数解析式 为( ),yfx当( )yf x为奇函数时，向量a可以等于( ) .(, 2) 6 A.(,2) 6 B.(,2) 6
16、C.(,2) 6 D 答案 B 解析直接用代入法检验比较简单. 或者设(,)ax y v ，根据定义 cos2()2 6 yyxx，根据 y 是奇函数，对应求出x，y 26.（2009 湖北卷文） 函数2) 6 2cos( xy的图像 F按向量 a 平移到 F / ， F / 的解析式y=f(x), 当 y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于( ) A.)2, 6 ( B.)2, 6 ( C.)2, 6 ( D.)2, 6 ( 答案 D 解析由平面向量平行规律可知，仅当(,2) 6 a时， F：()cos2()2 66 f xx=sin2x为奇函数，故选D. 26. （ 2009 广 东 卷
17、 理 ）若平面向量a，b满足1ba，ba平行于x轴， )1, 2(b ， 则a . 答案 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1) 解析 )0, 1(ba 或)0 ,1(，则 )1 , 1() 1,2()0 , 1(a 或) 1 , 3() 1, 2()0 , 1(a. 27. （2009 江苏卷）已知向量a和向量b的夹角为30o，| | 2,| |3ab，则向量a和向量b的数 量积a b = . 答案 3 解析考查数量积的运算。 3 233 2 a b 28. （ 2009 安徽卷理）给定两个长度为1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为120 o . 如图所示，点C在以 O为圆心的圆弧AB
18、上变动 . 若,OCxOAyOB其中,x yR,则xy 的最大值是 _. 答案 2 解析设AOC , , OCOAxOAOAyOBOA OCOBxOAOByOBOB ，即 0 1 cos 2 1 cos(120) 2 xy xy 0 2coscos(120)cos3 sin2sin()2 6 xy A B C P 29. （ 2009 安徽卷文）在平行四边形ABCD中， E和 F 分别是边CD和 BC的中点，或 =+，其中，R ，则+= _. 答案 4/3 解析设BCb、BAa则 1 2 AFba , 1 2 AEba ,ACba 代入条件得 24 33 uu 30. （ 2009 江西卷文）
19、已知向量(3,1)a，(1,3)b，( ,2)ck，若()acb则 k= 答案0 解析因为(3,1),ack所以0k. 31. （ 2009 江西卷理）已知向量(3,1)a，(1,3)b，( ,7)ck，若()acb，则 k= 答案5 解析 36 5 13 k k 32.（2009 湖南卷文） 如图 2， 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxABy AC， 则x，y . 图 2 答案 3 1, 2 x 3 . 2 y 解析作DFAB,设12ABACBCDE， 60DEB, 6 , 2 BD 由45DBF解得 623 , 222 DFBF故 3 1, 2 x 3 . 2 y 33. （
20、2009 辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD的边 AB DC,AD BC,已知点 A(2，0) ，B（6， 8） ，C(8,6),则 D点的坐标为 _. 答案（0， 2） 解析平行四边形ABCD中, OBODOAOC ODOAOC OB ( 2,0) (8,6) (6,8) (0, 2) 即 D点坐标为 (0, 2) 34.(2009年广东卷文 ) （已知向量)2,(sina与)cos, 1 (b互相垂直，其中) 2 ,0( （1）求sin和cos的值 （2）若cos53)cos(5，0 2 , 求cos的值 解（）ab v v Q,sin2cos0a b v vg , 即s
21、in2cos 又 2 sincos1, 22 4coscos1, 即 2 1 cos 5 , 2 4 sin 5 又 2 5 (0,)sin 25 , 5 cos 5 (2) 5cos()5(coscossinsin)5 cos2 5sin3 5 cos cossin , 222 cossin1cos , 即 2 1 cos 2 又0 2 , 2 cos 2 35. （ 2009 江苏卷）设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos, 4sin)abc （1）若a与2bc垂直，求tan()的值； （2）求|bc的最大值 ; （3）若tantan16，求证：ab. 解析本小题主要考
22、查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、 两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14 分。 36. （ 2009 广 东 卷 理 ）已知向量)2,(sina与)cos, 1(b互相垂直， 其中(0,) 2 （1）求sin和cos的值； （2）若 10 sin(),0 102 ，求cos的值 解（1）a与b互相垂直，则0cos2sinba，即 cos2sin ，代入 1cossin 22 得 5 5 cos, 5 52 sin，又(0,) 2 ， 5 5 cos, 5 52 sin. （2） 2 0， 2 0， 22 ， 则 10 103 )(sin1)
23、cos( 2 ， 37. （ 2009 湖南卷文）已知向量(sin,cos2sin),(1,2).ab （1）若/ /ab，求tan的值； （2）若| |,0,ab求的值。 解（1） 因为/ /ab，所以2sincos2sin, 于是4sincos，故 1 tan. 4 （2）由| |ab知， 22 sin(cos2sin)5, 所以 2 12sin 24sin5. 从而2sin 22(1cos2 )4，即sin2cos21， 于是 2 sin(2) 42 . 又由0知， 9 2 444 ， 所以 5 2 44 ，或 7 2 44 . 因此 2 ，或 3 . 4 38.(2009湖南卷理 )
24、在 ABC，已知 2 233AB ACABACBC，求角 A，B，C的大 小. 解设,BCa ACb ABc 由23AB ACABAC得2cos3bcAbc，所以 3 cos 2 A 又(0,),A因此 6 A 由 2 33ABACBC得 2 3bca，于是 2 3 sinsin3sin 4 CBA 所以 53 sinsin() 64 CC， 133 sin(cossin) 224 CCC，因此 2 2sincos2 3sin3,sin 23 cos20CCCCC，既sin(2)0 3 C 由 A= 6 知 5 0 6 C，所以 3 ， 4 2 33 C，从而 20, 3 C或2, 3 C，既
25、, 6 C或 2 , 3 C故 2 , 636 ABC或 2 , 663 ABC。 39.（2009 上海卷文）已知 ABC的角 A、B、 C所对的边分别是a、 b、 c， 设向量( , )ma b， (sin,sin)nBA，(2,2)pba . （1）若m/n，求证： ABC为等腰三角形； （2）若mp，边长 c = 2 ，角 C = 3 ，求 ABC的面积 . 证明：（1）/,sinsin,mnaAbB u vv Q 即 22 ab ab RR ，其中 R是三角形ABC外接圆半径，abABC为等腰三角形 解（ 2）由题意可知/0,(2)(2)0mpa bb a u vu v 即 abab
26、 由余弦定理可知， 222 4()3abababab 2 ()340abab即 4(1)abab舍去 11 sin4 sin3 223 SabC 20052008 年高考题 一、选择题 1.（2008 全国 I ） 在ABC中，ABc，ACb 若点D满足2BDDC， 则AD（） A 21 33 bcB 52 33 cbC 21 33 bcD 12 33 bc 答案 A 2. （2008 安徽）在平行四边形ABCD中， AC为一条对角线， 若(2,4)AB，(1,3)AC, 则BD （） A （ 2， 4）B （ 3， 5）C （3，5）D （2， 4） 答案 B 3. （2008 湖北）设)2
27、, 1(a,)4, 3(b,)2, 3(c则cba)2(（） A.( 15,12) B.0 C.3 D.11 答案 C 4. （2008 湖南）设D 、E、F分别是ABC的三边BC 、CA 、AB上的点，且 2,DCBD2,CEEA2,AFFB则ADBECF与BC( ) A.反向平行B. 同向平行 C.互相垂直D. 既不平行也不垂直 答案 A 5. （2008 广东）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE 的延长线与CD交于点F若ACa，BDb，则AF（） A 11 42 abB 21 33 abC 11 24 ab D 12 33 ab 答案 B 6. （200
28、8 浙江）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0)()(cbca, 则c的最大值是( ) A.1 B.2 C.2 D. 2 2 答案 C 7.（2007 北京） 已知O是ABC所在平面内一点,D为BC边中点 , 且2OAOBOC0， 那么（） AOOD2AOOD 3AOOD2AOOD 答案 8. （2007 海南、宁夏）已知平面向量(11)(11)，ab，则向量 13 22 ab（） ( 21)，( 21)， ( 1 0)，(12)， 答案 9. （2007 湖北）设(4 3)，a，a在b上的投影为 5 2 2 ，b在x轴上的投影为2，且| |14b， 则b为（） A(2 1
29、4)， B 2 2 7 ， C 2 2 7 ， D(2 8)， 答案 10. （ 2007 湖南）设，ab是非零向量，若函数( )() ()fxxxabab的图象是一条直线， 则必有（） AabBabC| |abD| |ab 答案 A 11.（2007 天津）设两个向量 22 (2cos)，a和sin 2 m m， b， 其中m， ， 为实数若 2ab，则 m 的取值范围是（） -6 ，1 4 8， （-6，1 -1 ，6 答案 12. （ 2007 山东）已知向量(1)( 1)nn，ab，若2ab与b垂直，则a（） A1B2 C2D4 答案 13. （ 2006四川）如图，已知正六边形，下列
30、向量的数量积中最大的是（） A. 1213 ,PPPP B. 1214 ,PP PP C. 1215 ,PPPP D. 1216 ,PP PP 答案A 14. （ 2005 重庆）设向量a=（ 1， 2） ，b=（2， 1） ，则（ab） （a+b）等于 14. （） A （1，1）B （ 4， 4） C 4 D （ 2， 2） 答案 B 二、填空题 15. （ 2008 陕西）关于平面向量， ，ab c有下列三个命题： 123456 PP P P P P 若a b= a c，则bc若(1)( 2 6)k，ab，ab，则3k 非零向量a和b满足| | |abab，则a与ab的夹角为60 其中真
31、命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 答案 16.（ 2008 上海）若向量a，b满足12ab，且a与b的夹角为 3 ，则ab 答案7 17. （ 2008 全国 II ）设向量(12)(2 3)，ab，若向量ab与向量( 47)，c共线， 则 答案 2 18. （ 2008 北京）已知向量a与b的夹角为120，且 4ab ，那么(2)bab的值为 答案 0 19. （ 2008 天津）已知平面向量(2,4)a，( 1,2)b若()caa b b，则 |c_ 答案28 20. （ 2008 江苏）a，b的夹角为120，1a，3b则5ab 答案 7 21.（2007 安徽）在四面体OABC中，
32、OAOBOCD，abc为BC的中点，E为AD 的中点，则OE（用， ，abc表示） 答案 111 244 abc 22. （ 2007 北京）已知向量2 411，a =b =若向量()ba +b，则实数的值是 答案 -3 23. （ 2007 广东）若向量a、b满足baba与, 1的夹角为120，则 baba . 答案 2 1 24.(2005上海 ) 直角坐标平面xoy中，若定点)2, 1(A与动点),(yxP满足4OAOP，则点 P 的轨迹方程是_. 答案x+2y-4=0 25.(2005江苏 ) 在ABC中， O为中线 AM上一个动点， 若 AM=2 ，则)(OCOBOA的最小值 是_。 答案2 三、解答题 26. （ 2007 广东）已知ABC顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(cCBA、. (1 ）若5c，求 sin A的值 ; （2）若A是钝角，求c的取值范围 . 解 (1) ( 3, 4)AB , (3,4)ACc 当c=5时， (2, 4)AC 6 161 coscos, 5 2 55 AACAB 进而 22 5 sin1cos 5 AA (2) 若 A 为钝角，则ABAC= -3(c-3)+( -4) 2 3 25 显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为 3 25 ，+)