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1、空间直线、平面的平行与垂直问题 一、 “线线平行”与“线面平行”的转化问题， “线面平行”与“面面平行”的转 化问题 知识点： 一）位置关系：平行：没有公共点 相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上 相交包括垂直相交和斜交 二）平行的判定： （）定义：没有公共点的两个平面平行（常用于反证） （）判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行（线面 平行得面面平行） （）垂直于同一条直线的两个平面平行 （）平行于同一个平面的两个平面平行 （）过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个 三）平行的性质： （） 定义：两个平行平面没有公共点（常用于
2、反证） （）性质定理一： 若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行（面面平行得线线平 行，用于判定两直线平行） （） 性质定理二： 两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面（面面平行 得线面平行，用于判定线面平行） （） 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面 （用来判定直线与 平面垂直） 一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然 （） 夹在两个平行平面间的平行线段相等特别地，两个平行平面间的距离处处相等 二、 “线线垂直”到“线面垂直” “线面垂直”到“线线垂直”及三垂线定理 1、斜线长定理从平面外一点所引的垂线段和斜线段中 射影相等的两条斜
3、线段相等，射影较长的斜线段也较长； 相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； 垂线段比任何一条斜线段都短 2、直线与平面所成的角 一条直线若是平面的斜线，那么它和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所 成的角。特别地，若这条直线是平面的垂线，那么这条直线与平面所成的角是直角;如果这条 直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是 0。900 结论：斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 3、三垂线定理及逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和 这条斜线垂直。 逆定理：在平面内的一条直线
4、和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平 面内的射影垂直。 其主要作用有：证明问题：如线线、线面、面面垂直的证明； 线线平行 线面平行 平行公理等角定理 空间四边形有关概念 线面的空间位置关系 线面平行的定义、判定、性质 面面平行面面平行的定义判定、性质 线线垂直 线面垂直 线面垂直的定义、 判定定理、 性质定理 面面垂直的定义、 判定定理、 性质定理 面面垂直 点 、 线 、 平 面 、 空 间 几 何 体 空 间 几 何 体 柱、锥、台、 球的结构特征 柱、锥、台、球 的表面积和体积 直观图和三视图的画法 点 线 面 之 间 的 位 置 关 系 平面的基本性质及其应用 空 间
5、 的 平 行 关 构成几何体 的基本元素 直线、平面间平行 与垂直的直观认识 平行投影与 中心投影 空 间 几 何 体 空 间 的 垂 直 关 系 空 间 向 量 与 立 体 几 何 共线面向量定理 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 向量夹角与距离 空间向量的加减运算 空间向量的数乘运算 空间向量数量积运算 空间向量的坐标运算 空 间 向 量 及其运算 立体几何中的向量方法 直线的方向向量和平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角、距离 例题 1、 （将线面平行转变为线线平行）：如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD中， ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中
6、点 . （）求证： /PB 平面AEC； （） 2、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的 交点，面 CDE是等边三角形，棱/ 1 2 EFBC （1）证明FO/ 平面CDE； （线面平行时用） （2）设3BCCD，证明EO平面CDF （线面垂 直时用） 3 、 （ 将 线 面 平 行 转 变 为 面 面 平 行 ） 如 图 , 长 方 体 ABCD- 1111 DCBA中， E、 P 分别是BC、 11 A D的中点 ,M 、 N 分别是AE、 1 CD的中点， 1 AD=AA,a AB=2 ,a （）求证： 11/MNADD A平面； 4、如图，已知四棱锥P-ABCD的
7、底面 ABCD为等腰梯形，/,ABDC ,ACBD AC与BD相 交 于 点O， 且 顶 点P在 底 面 上 的 射 影 恰 为O点 ， 又 2,BO2,POPBPD.（） 设点 M 在棱PC上，且, PM MC 问为何值时，PC 平面BMD。 5 、 （ 将 面 面 垂 直 转 变 为 线 面 垂 直 ） 如 图 ， 四 棱 锥PABCD的 底 面 是 正 方 形 ， PDABCD底面，点 E在棱 PB上. （）求证：平面AECPDB平面； （可用空间向量做） 6、 （线线垂直先证线面垂直）：如图： 三棱锥ABCv中，AH 侧面 VBC且 H 是 VBC的重心， BE是 VC边上的高 （1）求证：ABVC 7、如图， P是边长为1 的正六边形ABCDEF所在平面外一点， 1PA ，P在平面 ABC内的射 影为 BF的中点 O。 （）证明PABF； 8、 （利用空间向量解决线面平行垂直问题）如图，平面 PAC 平面 ABC，ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，,E F O分别为PA， PB，AC的中点，16AC，10PAPC （I）设G是OC的中点，证明：/ /FG平面BOE；