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1、第二单元函数的概念及其性质 函数的基本概念 过双基 1.函数与映射的概念 函数 映射 两集合A, B设A, 是非空的数集设A, 是非空的集合 对应关系 A_B 如果按照某种确定的对应关系/, 使 对 于集合A中的任意一个数X,在 集合 B中都有唯一确定的数/U)与 之对应 如果按某一个确定的对应关系/, 使 对于集合A中的任意一个元素x,在 集合B中都有唯一确定的元素丿与 之对应 名称 称八为从集合A到集合B的 一个函 数 称对应八A-B为从集合A到集 合B的一个映射 记法y=f(x) f xeA对应/ ：A-B 2.函数的定义域、值域 在函数y=f(x), xA中，x叫做自变量，兀的取值范围
2、A叫做函数的定义域；与兀的值 相对应的J值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值览 (2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系. 3?表示函数的常用方法 列表法、图象法和解析法. 4.分段函数 在函数的定义域内，对于自变量兀的不同取值区间，有着不同的对应关系, 这种函数称为 分段函数 . 分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的衽集. 小题速通 1.若函数y=f(x)的定义域为A/=x| 2WrW2,值域为宀y|()WyW2,则函数丿 = /U)的图 象可能是 () 教材复习课“函数”相关基础知识一课过 知识点一 A B D 答案：B 2.下列函数中，与函数j=
3、x相同的函数是 () x2 c. j=ig i(r Y 解析：选C A. =x(x#=O)与y=x的定义域不同，故不是相同的函数; 3 3 B. J=(*/P ) 2=M与y=x的对应关系不相同，故不是相同的函数; C. j=lg 10 x=x 与的定义域 *值域与对应关系均相同，故是相同的函数; D?j=21og2X与y=x的对应关系不相同，故不是相同的函数. 所以/Q) =2+16扌=4, 则$0 =八4)=10誌4 =-2. /Qxl)=2x5,且/(a)=6,则a 等于( 解析：选A 令Z=|x-1,则兀=2/+2,几)=2(2/+2)5=4/1,则4一1=6,解得 清易错 1.解决函
4、数有关问题时，易忽视“定义域优先”的原则. 2.易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到 B的一个映射，4, B若不是数集，则这个映射便不是函数. 1. (2018-合肥八中棋拟 ) 已知函数ZU)=2x+l(lWxW3),贝!j( ) 3?已知函数? /U)= logp 2+163 ,xl, A. -2 C. 2 B.4 D. -1 解析：选A 12+16蔦 xl, xWl, 4?已知 7-4 4-3 Aea B. 7-4 4-3 D? j=2log2x ) 7 A? /(xl)=2x+2(0WxW2) B?f(x- l)=2x-l(2x4) C?f(x- l
5、)=2x-2(0x2) D?f(x- 1)= -2x+ l(2x4) 解析：选B因为/(x)=2x+l,所以f(x-l)=2xL因为函数/U)的定义域为13,所 以1 Wx-lW3,即2W兀W4,故/lr-l)=2x-l(2WxW4)? 2.下列对应关系： 4 = 1,4,9, B= 3, -2, 一1,1,2,3, /： x-x 的平方根 ; A=R, B=R, /：x-x的倒数； 4=R, B=R, /： xx 22； A = -1,O,1, =一1,0,1, / ：4 中的数平方 . 其中是A到的映射的是（） A. B. C.D. 解析：选C由映射的概念知中集合B中有两个元素对应，中集合
6、A中的0元素 在集 合3中没有对应，是映射. 故选C? 函数定义域的求法 过双基 函数丿 =/ （兀）的定义域 用表格给出一 _ -| 用图象给出 _ y = /Cr ）一 用解析式给岀一 由实际问题给出一 小题速通 1 ?函数心）=且。工1）的定义域为 _ 故所求函数的定义域为（0,2. 答案：（0,2 2.函数j=lg （l-2 x）+VTH 的定义域为 _ 知识点二 表格中实数丄的集合图象 在工轴上的投影所覆盖 的实数王的集合使解析式 有意义的实数工的集合 由实际问题的意义确定 解析: 由4 QX-IHO =00, 解析：由题意可知 , 、 求解可得一3WxvO, lx+3M0, 所以函
7、数j=lg(l-2 x)+Vr+3 的定义域为3,0)? 答案:-3,0) 清易错 1?求复合型函数的定义域时：易忽视其满足内层函数丽义的条件. 2?求抽象函数的定义域时，易忽视同一个对应关系后的整体范围. 1. (2018?辽宁锦州棋拟)已知函数则/U)的定义域为 _ x+3 Q1或/“引) ，那 么就说函数JU)在区间D上是减 函 数 图象描述 卩 E) I/W 十) 一o| 兀1 ?2 自左向右看图象是上升的 呼) ”+7 =9x+ 基本不等式得9工+牛一7N2 8 6a7Ma+l,即 刁 结合aW 1,所求a的取值范围是 ( 一 8, 解析：依题意知：函数 /( 兀)为奇函数且周期为2
8、, 则? /U)+爪一1)=0, /(-1)=/(1),即/U)=0? ?/?+/U)+Q+/l2)+X|) =X1)+y( 一 ) +八 )+X1) =)-)+ 用)+XB =/?+何=2|-1+2 -1 =y2-l. 答案：2-1 三、解答题 ax+b9 x0. 从而可知函数y=f(x)的图象关于直线x=l对称. 又当0WxW 1时，f(x)=x f 且/tr)的图象关于原点成中心对称，则./U)的图象如图所示 . 设当一4WxW4时，/( 兀) 的图象与x轴围成的图形面积为S, 则S=4SAOA=4X当x0时，/(x)=ln(x+l)0,所以f(x)ax化 简为ln(x+l)ax恒成立，
9、由函数图象可知aWO,综上， 当一2WaW0时，不等式f(x)ax恒 成立，故选D? rn 咼考达标检测 一、选择题 1. (2018?广东棋拟) 设函数心 ) 满足yQzp=l+x,则7U)的表达式为 () A _J_ o 2 A T+ B i+x 2 1-X2 CT+P 3. 1X D T+ 1x1t （1 Xt 2 令不=/, 则尸币，代入右石戶1+兀，得几）=1+丙=讦？即 2 故选 A. 3. (2018-46调研) 设函数R-R 满足用 )=1,且对任意x,jeR 都有f(xy+l)=f(x)f(y) - f(y)-x+2 f 贝0/(2 017)=( ) A? 0 B. 1 C?
10、 2 017 解析：选D 令x=j=O,则/ll)=/(01A0)-/(0)-0+2=lX 1-1-04-2=2,令j=O, 则/(1)=几皿0) /(0)工+2,将用)=1,几1)=2 代入，可得f(x) = l+x f 所以/(2 017)=2 01 对于， ?爲=+兀=?心 ) 工几兀 ) ，不满足题意； 冗r)=x+；/ )= 故岛=fz满足题意 . 答案： 14.水库的储水量随时间而变化，现用/ 表示时间，以月为单位，以年初为起点，根据 历年数据，某水库的储水量（单位：亿立方米）关于（的近似函数关系式为: fx 33x, xWa, 12. (2016-北京髙考 ) 设函数f(x)=
11、2x, xa. 若a=0,则/U）的最大值为 _ 若./U）无最大值，则实数a的取值范围是 _ 解析：当xWa 时，由 f （X）=3X23=0,得x=l?如图是函数 y=x 33x 与y=2x在没有限制条件时的图象. 若a=0,则f （x）max=f（-l ）=2. 当a l时，/ （兀）有最大值； 当a（丘一3 兀）,! “, 以av1. 答案：2（一 8, -1） 三、解答题 ? 13.已知 /(x)=x 2-l, g(x)= ，? 求张）与g（A2）； 求血（工）与g（/U）的表 达式. 解：（1）由已知，g=1,八 因此张 (2)=/(1)=0, g(/(2)=g(3)=2?当 Q0
12、 时，g(x)=x-l f 故 f(g(x)=(X l) 21=X22x; 当x0, x24x+3, xl或x0, 故=f(x) 1 =x 22; 当一ivxvi 时，yu)vo, 故 g(/U)=2 ZU)=3 /? 所以 X 22, X1 或XV 1, r+15 51)e z+50, 0v( W9, Q(f)=( KU 4(/-9)(3/-41)+50, 9VW12? (1)该水库的储水量小于50的时期称为枯水期，问：一年内哪几个月份是枯水期? (2)求一年内该水库的最大储水量? ( 取回的值为4.6计算，疋的值为20计算 ) 解：(1)当0VW9 时，p(/)=(-/ 2+ 15/-51
13、)er +500? 15+何上15何 解得/ 2 或(V 2 ， 当9V/W12 时，v(t) =4(/- 9)(3/- 41)+500, e单调递增； 当?9,10)时,v (01在定义域0, +呵上单调递增，且对于任意3 M0,方程心 )=刁有且只有一个实数解，则函数p? =心) 一X在区间0?仇丘 ) 上的所有零点 的和为 () 从而Ov/v 15_回 2 5?2? 咻+1) A?2 (1+2“)2 2 B?22L1+2I D? 2“ 1 2*1, OWxWl, 解析：选B 因为函数/U)= , 在定义域0, +8)上单调递增，所以 xl 又因为对于任意aO ,方程f(x) = a有且只
14、有一个实数解，且函数/U) = 2X-1, OWxWl, 当兀=1时，y=4,因此 I c x 函数J=X 3+3X2 不是奇函数 . 对于选项B,注意到当x=0时，y=lHO,因此函数丿 = 不是奇 函数. 对于选项C,注意到当兀 =号时，丁 =号；当兀 =号时，y=号，因此函数J=xsin X不是奇函数 . 对于选项D,由訂令0得一33成立的x的取值范围为 () A. ( 一8, -1) B. (-1,0) C. (0,1) 解析:选C D. (1, +8) ?VU)为奇函数，?A-x)=-/U), 2“+1 即厂 - 厂? 2“+1 -2*_0化简可得么一1, ,2 V +1 则亍二3,
15、 “ 2 x +l3X2 x +3 即尸, 2 x-2 ? ? ”一 1bc B- acb C. bacD. cba 解析：选C 由f(x-l)=f(x+l)可知，函数的最小正周期为2,由f(x+l)=f(l-x)可 知，函数 的图象关于直线兀 =1对称，又因为当xE1,0时，f(x)=e x 9所以a=f( y2) =只 2+屈=血 一 2)W, b=f(3)=f(-l)=et c=A8)=/(0)=l, 则bac? 2.(2016?江苏离考) 设/U)是定义在R上且周期为2的函数，在区间一1,1)上，f(x)= 典例 函数的周期性 j-x , O0V1,其中aWR?若/(-|)=/(D，则
16、/15a)的值是 解析：因为函数血 :) 的周期为2,结合在一1,1)上/U)的解析式，得 XS =X4+S=7?=IHI=W - 由 / 一0=/?，得2 +a=W 解得 32 所以Jl5a)=J3)=f(4一1)=人 一1) = 一1 +T=一g. 答案： 高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单 调性的综合考査 常见的命题角度有： (1)单调性与奇偶性结合； (2)周期性与奇偶性结合； (3)单调性、奇偶性与周期性结合. 角度一：单调性与奇偶性结合 1.定义在R上的奇函数心 ) 满足J(x-2)=-f(x) f且在0,1上是增函数，贝9有() A.石
17、)0,则x 的取值范围是 _ ? 解析：由题可知，当一20,则一Ij0,贝！J( ) B sin x sin j0 D Inx+ln y0 解析：选C A项，考查的是反比例函数在( ， +8)上单调递减，因为xj0, 所以三一gvO,所以A错误；B项，考查的是三角函数j=sin x在(0, +8)上的单调性，y 兀y =sin兀在(0, +8)上不单调，所以不一定有sin xsin j,所以B错误；C项，考查的是指数函数丿 =份在(0，+8)上单调递减，因为xj0,所以有份 j0时，xy0,不一定有In xy0,所以 D错误. 4. (2016?山东离考) 已知函数/U)的定义域为R?当xVO
18、时，当一lWxWl 时，f(-x)= fix) ；当 时， +2)=2) 则/0, .I tan寻vcos寻vsin守. ?函数/U)是R上的奇函数，且在区间0, +8)上单调递增， ?函数/U)是R上的增函 数，: ? c af(2xl)等价于|2xl|/(_辽) ，则a的取值范围是 _ . 解析：?7仗) 是偶函数，且在 ( 一 8, 0)上单调递增， ?/U)在(0, +8)上单调递减，八一血=祁), .?/21 “-1|)八迄) ，?.2円10,即俘 譽V0, X X2 X2 Xi 所以函数/U)在0, +8)上是减函数 . 又因为 / 一=*, 所以 坏og|Jvl= 所以|log|
19、x|,即log|x|或10g|x2, 即x的取值范围为(0, )U(2, +8). 答案：(0,U(2, +8) 12. (2017?江苏离考) 已知函数/U)=x-2x+e*吉，其中e是自然对数的底数 .若弘 一1)+爪2/)00,则实数a的取值范围是 _ ? 解析：由f(x)=x 3-2x+ex f 得fi-x)= -x 3+2x+-ex = -fix), 所以JU)是R上的奇函数 . 又f (x)=3x 2-2+ex+3x2-2+2yJex -=3x 20 f 当且仅当x=0 时取等号 , 所以/U)在其定义域内 单调递增 . 因为几z-l)+/0,2xi +兀210, 即f(Xi)f(
20、X2) f 故/U)在(0,1)上是减函数 . 1.已知奇函数f(x)(xD) f 当co时，/U)WAI) =2?给出下列命题： D=-lzl；对兀GD, |/U)|W2；3x0en,使得/(xo)=O；使得/U1) 其中所有正确命题的个数是() A. 0 B. 1 C?2 D?3 解析：选A 由奇函数fix)(xD) 9当兀0时，/U)W/U)=2, 只说明函数有最值，与定义域无 关，故错误；对于，可能人3)= 3, /*(3)|=32,故错误；对于，当0不 在。中，且兀 轴为渐近线时，则不满足；当丿=1为渐近线时，不满足，因此选A. 2?已知函数心 ) 是定义在R上的奇函数，当兀M0时，f(x) =(xa +x 3a2), 若VxeR, 则实数a的取值范围为 () A-# i B誓, 割 I D ￥ 旳 解 析： 选D 当时 ，f(x) = x9 OWxv/, a 2 f a 2xtan ( 1)+2=1, 所以asin 1机an 1 = 1, 则/(l)=dsin 1 tan 1+2=3. 3. 已知f(x)=3ax 2 3 +bx-5a+b是偶函数，且其定义域为6-1, a,贝lj a+方=( ) A.| B. -1 C? 1 D. 7 解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a-l+a=0,所以?=|. 又/U)